18，湖南省衡阳市衡南县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份18，湖南省衡阳市衡南县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 总分：120分
请考生注意：请把答案写在2~6页的答卷上
一、选择题（本大题共12小题，共36分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＞2B. x＞－2C. x≥2D. x≥－2
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数即可求解．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
即x≥2，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
2. 下列四组图形中，不是相似图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A.形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
B.形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
C.形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
D.形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意．
故选：D．您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 免费下载【点睛】本题考查的是相似形的定义，掌握相似性的定义是解题的关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式加法法则计算并判定A，根据二次根式减法法则计算并判定B、C，根据二次根式除法法则计算并判定D．
【详解】解：A、没有同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
B、3-=2，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、=2，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的加减、除法运算，熟练掌握二次根式四则运算法则是解题的关键．
4. 关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A. k＝4B. k＝﹣4C. k≥﹣4D. k≥4
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝42﹣4k＝16﹣4k＝0，
解得：k＝4．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．
5. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】A、＝2，不是最简二次根式，故该选项错误；
B、＝，不是最简二次根式，故该选项错误；
D、＝|a|，不是最简二次根式，故该选项错误．
故选C．
【点睛】此题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
6. Rt的各边长都扩大3倍，则锐角A的余弦值和正切值（ ）
A. 都扩大3倍B. 都缩小为原来的
C. 都不变D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据的各边长都扩大3倍后，所得的三角形与原三角形相似，即可解答．
【详解】解：的各边长都扩大3倍，
所得的三角形与原三角形相似，
的大小没有改变，
锐角的余弦值和正切值都不变，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形，根据已知判断所得的三角形与原三角形相似是解题的关键．
7. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：，，，，故选B．
8. 某地区居民2018年年人均收入为200美元，预计2020年年人均收入将达到1000美元，设2018年到2020年该地区居民人均收入平均年增长率为x，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将2019年的收入表示成200（1+x），则2020年的收入就为200（1+x）2，据此列方程即可．
【详解】解：∵2019年的收入为：200（1+x）
∴2020年的收入为：200（1+x）2
∵2020年收入为1000美元
∴列出方程为：200(1＋x)2＝1000．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、找出题目的等量关系是解答本题的关键．
9. 下列事件发生的概率为0的是（ ）
A. 随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上
B. 今年冬天耒阳会下雪
C. 随意掷一枚均匀的正方体骰子两次，两次朝上面的点数之和为1
D. 一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘指针停红色区域
【答案】C
【解析】
【分析】概率为0说明是不可能发生事件，结合选项进行判断即可．
【详解】解：A、是随机事件，概率大于0并且小于1，不符合题意；
B、是随机事件，概率大于0并且小于1；不符合题意；
C、是不可能事件，概率= 0，符合题意；
D、是随机事件，概率大于0并且小于1，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：，其中必然发生的事件的概率P(A)=1；不可能发生事件的概率P(A) = 0；随机事件发生的概率大于0并且小于1．事件发生的可能性越大，概率越接近于1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
10. 如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A. ∠ABD=∠CB. ∠ADB=∠ABCC. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】∵∠A是公共角，
∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求；
当AB：AD=AC：AB时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求；
AB：BD=CB：CD时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求，
故选：C．
11. 河堤横断面如图所示，提高米，迎水坡AB的坡比是，则AC的长是（ ）
A. 米B. 8米C. 10米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】Rt△ABC中，已知了坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比，通过解直角三角形即可求出水平宽度AC的长．
【详解】Rt△ABC中，BC=4米，tanA=1：；
∴AC=BC÷tanA=4米；
故选A．
【点睛】此题主要考查了坡度坡角及三角函数的运用能力，掌握坡比的定义是解题的关键．
12. 如图，菱形ABCD的周长为40cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA=，则下列结论正确的有（ ）①DE=6cm；②BE=2cm；③菱形面积为60cm2；④BD=4cm．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵菱形ABCD周长为40cm，
∴AD=AB=BC=CD=10．
∵DE⊥AB，垂足为E，
sinA=,
∴DE=6cm，AE=8cm，BE=2cm．
∴菱形的面积为：AB×DE=10×6=60cm2．
连接BD，
∵在三角形BED中，BE=2cm，DE=6cm，
∴BD=2cm
∴①②③正确，④错误；
∴结论正确的有三个．
故选C．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13. 已知，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】利用比例的性质进行计算即可解答．
【详解】解∶∵，
∴，
∴．
故答案为∶2．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
14. 如图，DE是的中位线，，则______．
【答案】8
【解析】
【分析】由DE是的中位线，可得，继而得，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：DE是的中位线，
，
，
，
，
，
故答案为：8．
【点睛】本题考查三角形中位线及相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
15. 关于x的方程x2+5x–m=0的一个根是2，则m=__________．
【答案】14
【解析】
【详解】试题解析：把x=2代入方程：x2+5x-m=0可得4+10-m=0，
解得m=14．
16. 如图，已知RtABC中，斜边BC上的高AD＝4，csB，则AC＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，则，即可求得．
【详解】解： RtABC中，
故答案为：
【点睛】本题考查了同角的余角互余，余弦的定义，求得是解题的关键．
17. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】2018
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．据根与系数的关系可得出，，将其代入中即可得出结论．
【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：．
18. 观察并分析下列式子，寻找规律：，，，，，，，则第10个式子应该是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先还原二次根式的被开方数，找到规律：第个式子的被开方数为3的倍，即可得出第10个式子．
【详解】解：因已知式子：，，，，，，，….
可转化为：，，，，，，，…….
可发现规律：被开方数为3的倍数，且第个式子的被开方数为3的倍，
第个式子为，
第10个式子为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数式的规律探索及二次根式，熟练掌握二次根式的性质并理解题意找出数式的规律是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 如图1，在中，，，，点P从点C出发沿线段以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发沿线段以每秒的速度运动．设运动时间为t秒．
（1）填空： ______；
（2）t为何值时，与相似；
【答案】（1）
（2）秒或秒
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形相似的性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．
（1）根据勾股定理求出的值即可；
（2）分两种情况进行讨论：当或时，求出结果即可．
【小问1详解】
解：∵在中，，，，
∴．
故答案为：．
【小问2详解】
解：由题意可知：，，则，
∵，
当或时，与相似，
当时，，
解得，，
当时，，
解得，，
当或2.5秒时，与相似．
20. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】先利用负整数指数幂，零指数幂，特殊角锐角三角函数值，二次根式的性质化简，再合并，即可求解．
【详解】解：原式

.
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角锐角三角函数值，二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了单项式乘以多项式，完全平方公式及代数式的值．熟练掌握运算法则是解题的关键．
先算单项式乘以多项式和利用完全平方公式展开，再去括号，合并同类项计算，最后代入求值即可．
【详解】解：，
当时，原式．
22. 在不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色外都相同，其中红色卡片2张，黄色卡片1张，现从中任意抽出一张是红色卡片的概率为．
（1）试求箱子里蓝色卡片的张数；
（2）第一次随机抽取一张卡片（不放回），第二次再随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽到的都是红色卡片的概率．
【答案】（1）蓝色卡片有1张
（2）
【解析】
【分析】（1）设箱子里蓝色卡片有x张，根据概率的定义和任意抽出一张是红色卡片的概率为得到，然后解方程得到x=1；
（2）先画出树状图展示所有12种等可能的结果，其中两次抽到的都是红色卡片占2种，根据概率的概念得到P（两次抽到的都是红色卡片）=．
【小问1详解】
解：设蓝色卡片有x张，则，
解得．
答：蓝色卡片有1张．
【小问2详解】
解∶画树状图如下：
共有12种等可能的结果，两次抽到的都是红色卡片占2种，
P（都是红色）．
答：两次抽到都是红色的概率是．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，解题的关键是利用列表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可能出现的结果数n，再找出其中某一事件所出现的可能数m，然后根据概率的定义可计算出这个事件的概率=．
23. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E、F在AB边上，连接DE，CF交AD于G，点E是BF中点．
（1）求证：△AFG∽△AED
（2）若FG=2，G为AD中点，求CG的长．
【答案】（1）见解析；（2）6
【解析】
【分析】（1）根据AD是BC边上的中线，点E是BF中点，得到BD=CD，BE=EF，根据三角形的中位线的性质得到DE∥CF，即可得到结论；
（2）由G为AD中点，FG∥DE，得到AF=EF，求得DE=2FG=4，根据三角形的中位线的性质得到CF=2DE=8，即可得到结论．
【详解】解：（1）证明：∵AD是BC边上的中线，点E是BF中点，
∴BD=CD，BE=EF，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE∥CF，
∴DE∥FG，
∴△AFG∽△AED；
（2）解：∵G为AD中点，FG∥DE，
∴AF=EF，
∴FG是△ADE的中位线，
∴DE=2FG=4，
∴CF=2DE=8，
∴CG=FC﹣FG=8﹣2=6．
24. 如图，在和中，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）9．
【解析】
【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定即可得证；
（2）根据相似三角形的性质即可得．
【详解】证明：（1），
，即，
在和中，，
；
（2）由（1）已证：，
，
，，
，
解得或（不符题意，舍去），
则的长为9．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
25. 如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地当他由A地出发时，发现他的北偏东方向有一电视塔P，他由A地向正北方向骑行了到达B地，发现电视塔P在他北偏东方向，然后他由B地向北偏东方向骑行了到达C地．
（1）求A地与电视塔P的距离；
（2）求C地与电视塔P的距离．
【答案】（1）AP=；（2）6
【解析】
【分析】（1）由题意知：∠A=45°，∠NBC=15°，∠NBP=75°，过点B作BE⊥AP于点E，求出AE=BE=3；
（2）先利用三角函数求出BP=6，继而根据方位角求得∠CBP=60°，结合BC=6，即可证得△BCP是等边三角形，从而求得答案．
详解】（1）由题意知：∠A=45°，∠NBC=15°，∠NBP=75°，
过点B作BE⊥AP于点E，如图，
在Rt△ABE中，∠ABE=90°-45°=45°，
∴AE=BE，
∵，
∴AE=BE=3，
在Rt△BEP中，∠EBP=180°-∠ABE-∠NBP=60°，
∴PE=，
∴AP=AE+PE=；
（2）∵BE=3，∠BEP=90°，∠EBP=60°，
∴BP=，
又∵∠CBP=∠NBP-∠NBC=75°-15°=60°，BC=6，
∴△BCP是等边三角形，
∴CP=BP=6．
【点睛】此题考查锐角三角函数的实际应用，方位角的运用，等边三角形的判定及性质，根据题意明确各角度及线段，正确计算即可解决问题．
26. 如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，设移动时间为．
（1）当时，求的面积；
（2）当为多少时，的面积是？
（3）当为多少时，与是相似三角形？
【答案】（1）
（2）秒或秒
（3）当为或秒钟，使与相似．
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际运用，相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．
（1）用含的代数式表示线段和，代入求得、，利用三角形的面积计算公式求得答案；
（2）由（1）得到，，根据三角形的面积公式得出方程解答即可；
（3）要使与相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似得到第一种情况和第二种情况代入求出即可．
【小问1详解】
解：∵点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，
∴，，
∴，
当时，，，的面积；
【小问2详解】
解：由题意得，
即，
答：当为或秒，使的面积为．
小问3详解】
解：设经过秒钟，使与相似，
，
第一种情况：当时，与相似，即，
解得：，
第二种情况：当时，与相似，即，
解得：．
答：当为或秒钟，使与相似．