湖南省郴州市嘉禾县坦坪镇田心中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．全卷满分150分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列实数中，最大的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较，关键要熟记：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．直接根据实数的大小比较法则比较数的大小即可．
【详解】解：，，，，
∴最大，
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂除法，幂的乘方，积的乘方，完全平方式，解题关键是掌握乘方相关的运算法则，根据同底数幂相除，底数不变指数相减，即可判断A；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，即可判定B；根据积的乘方，先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘，即可判断C；根据完全平方公式，即可判断D．
【详解】解：A、，故选项A错误，不符合题意；
B、，，故，选项B正确，符合题意；
C、，故选项C错误，不符合题意；
D、，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
3. 若一组数据“”的中位数大于众数，则的值可能为（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查中位数定义，众数定义．根据题意分别写出各选项的中位数和众数，即可求解．
【详解】解：A、中位数为3，众数为2，，符合题意；
B、中位数为2，众数为2，，不符合题意；
C、中位数为2，众数为2，，不符合题意；
D、中位数为2，众数为2，，不符合题意；
故选：A．
4. 如图所示的是由若干个棱长为1的小正方体搭成的一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查观察几何体的三视图还原几何体，求几何体体积．根据题意可知几何模型底部有4个小正方体块，中间部分有2个正方体块，最上边有1个正方体块，共计7个正方体块，即可求得体积．
【详解】解：由题意得：
几何模型底部有4个小正方体块，中间部分有2个正方体块，最上边有1个正方体块，共计7个正方体块，
∴体积为：，
故选：C．
5. 若实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查数轴及实数的运算根据数轴可得，，由此可排除选项．
【详解】解：由数轴可得，，
∴，，，，
观察四个选项，故B选项错误，符合题意；
故选：B．
6. 如图，是的直径，是的弦，于点是上一动点，连接是的中点，连接，则的最大值为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中位线定理，垂径定理，勾股定理等．根据题意可知当为直径时，有最大值，再利用中位线定理求出即可．
【详解】解：∵是的直径，是的弦，于点，
∴连接，
∴，，
∴当为直径时，有最大值，
∴，
∵是的中点，
∴是中位线，
∴，
故选：C．
7. 如图，在中，分别为的中点，连接相交于点，连接．下列结论不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质以及中位线的判定与性质，关键是掌握相似三角形的性质．由分别为的中点，得到是的中位线，推出，，由相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：∵分别为的中点，
∴是的中线，
是的中位线，
，，
，
，，，
，故A选项是正确的；
，
∴，
故B选项是正确的；
，
，
，
，
，
，
，
，
故选项是错误；
，
结论成立的是，
故C选项是正确的；
故选：．
8. 已知满足方程，则的值可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查同底数幂相乘变形．根据题意两式相加可得，两式相减可得，再将得到的两式相乘即可得到本题答案．
【详解】解：∵，
∴两式相加：，即：，
两式相减：，即：，
∴，
故选：A．
9. 方程不相等的实数根的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，将作为一个整体，解方程，再根据根的判别式，进行判断，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
当时，，方程由两个相等的实数根；
当时，，方程没有实数根；
故选A．
10. 已知抛物线（是常数）开口向下，过两点且．下列四个结论：
①顶点在第一象限；
②；
③若，则；
④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象及性质．根据题意逐一对序号进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵抛物线（是常数）开口向下，
∴，
∵过两点且，
∴函数开口向下与轴有两个交点，
∴对称轴为，
∴，即②正确；
∴函数顶点在第一象限，即①正确；
∵，
∴对称轴为，
∴，即，故③正确；
当时，抛物线与轴交点在上方，
∵抛物线开口向下，
∴抛物线与直线有两个交点，
∴关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，
故④正确，
故选：D．
二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，先提取公因数2，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 如图，在菱形中，，对角线在轴上，为原点，点的坐标为，将菱形绕点顺时针旋转至菱形，则点的对应点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，旋转的性质，过点作交于点，根据菱形的性质，等边三角形的判定，则是等边三角形，根据三线合一，勾股定理求得，，再根据旋转的性质，即可．
【详解】过点作交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点，
∵菱形顺时针旋转得到菱形，
∴，，
∵点在第四象限，
∴点．
故答案为：．
13. 已知是方程的两个实数根，则的值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查根与系数的关系，完全平方公式变形．根据题意先将通分得，再计算和的值，代入通分式子即可．
【详解】解：∵，
∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：．
14. 甲、乙两人在果园摘草莓，甲每小时比乙每小时多摘个，乙摘个所用时间比甲摘个所用时间多分钟，求甲摘个草莓、乙摘个草莓时间分别为多少小时．设甲摘个草莓时间为小时，则可列分式方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式方程知识，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，即可
【详解】设甲摘个草莓时间为小时，
分钟等于小时，
．
故答案为：．
15. 如图，点分别在反比例函数的图象上．若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数上的点的特征，相似三角形，勾股定理，解题关键是掌握反比例函数中的几何意义，合理添加辅助线，构造相似三角形找到对应线段的比例关系．根据勾股定理及，求得，过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，构造相似三角形得，进而得，然后根据反比例函数中的几何意义得，结合三角形相似比得到，设，则，，根据，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
点在反比例函数上，
，即，
，
点在反比例函数上，
设，则，，
，
，
故答案为：．
16. 已知关于的方程的解为，则关于的方程的解为______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，把分式方程化为整式方程解题的关键，分式方程一定要进行检验．
将代入关于x的方程中，求出，再将，代入关于y的方程中，求出，再进行检验即可得出答案．
【详解】解：∵方程的解为，
∴，解得：
当时，关于y的方程是：，
∴，
∴，
经检验：是关于y的方程的解．
故答案为：
17. 代数式的最小值为______
【答案】17
【解析】
【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．作，过点B作，过点D作，使，，连接交于点C，设，则，说明的长即为代数式的最小值，然后构造矩形，利用矩形和直角三角形的性质可求得的值即可．
【详解】解：作，过点B作，过点D作，使，，连接交于点C，设，则，如图所示，
在和中根据勾股定理得：
，，
∴，
∴当最小时，最小，
∴当、C、E三点共线时最小，即的最小值为的长，
∴最小值为的长，
过点A作交的延长线于点F，
∵，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
即的最小值为17．
故答案为：17．
18. 如图，是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在线段上的点处，连接，当为等腰三角形时，的长为______
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查翻着变换，勾股定理，相似三角形判定及性质，等腰三角形性质等．根据题意可得，继而可得，再分三种情况讨论，利用相似三角形判定及性质即可得到本题答案．
【详解】解：由翻折变换的性质，得，
，
，
又，
，
设，则，
分三种情况讨论：
①时，，解得，
，
，
，
；
②当时，在的垂直平分线上，
为的中点，
，
，
，
，
，
；
③当时，如图，作于点，
，
∴，
，又，
，
，
，
即，解得，
，
，
，
∴综上所述，当为等腰三角形时，的长为或或．
三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及到的知识点有特殊角的三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算、零次幂、负整数指数幂、有理数的乘方及绝对值，先根据特殊角的三角形函数值、有理数的乘方、负整数指数幂、零次幂及绝对值的运算法则进行计算，再进行合并即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
．
20. 如图，为正五边形，以为圆心，为半径作弧，以为圆心，为半径作弧，两弧相交于点，连接，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】连接，如图所示，由正多边形性质，等边三角形的判定与性质得到，再由等腰三角形性质几何三角形内角和定理即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：
为正五边形，
．
又为与的交点，
，
∴为等边三角形，
，
．
又，
，
．
【点睛】本题考查正多边形求角度，涉及正五边形性质、圆的基本性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理等知识，熟练掌握正多边形判定与性质，熟记求角度的方法是解决问题的关键．
21. 某校为了解八年级学生的身高状况，随机抽取40名男生、40名女生进行身高调查．根据所得数据绘制如下统计图表．根据图表中提供的信息，回答下列问题：
（1）求身高在之间的男生人数，并补全直方图．
（2）男生身高的中位数落在______组，女生身高的中位数落在______组．（填组别字母序号）
（3）已知该校八年级共有男生400人，女生420人，请估计八年级身高不足的学生数．
【答案】（1）4人，补全图见解析
（2）D；C （3）八年级身高不足的学生约有537人
【解析】
【分析】（1）将位于这一小组内的频数相加即可求得结果．
（2）根据中位数的定义解答即可．
（3）分别表示出男、女生的人数，相加即可得解．
【小问1详解】
（人），
身高在之间的男生有4人．
补全的直方图如下：
【小问2详解】
∵在样本中，共有40人，
∴中位数是第20和第21人的平均数，
∴男生身高的中位数落在D组．
A：（人），
B：（人），
C：（人），
∵在样本中，共有40人，
∴中位数是第20和第21人的平均数，
∴女生身高的中位数落在C组．
故答案为：D；C．
【小问3详解】
（人），
∴八年级身高不足的学生约有537人．
【点睛】本题考查了读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能做出正确的判断和解决问题．
22. 【阅读理解】已知，在任意中，分别是的对边，则有．
【初步应用】
（1）在中，分别是的对边．已知，求．
【综合应用】
（2）如图，为海岸线上两点，点在点的正北方向，，有一条小船在点处，若，求小船到点的距离．（结果保留小数点后一位，）
【答案】（1）；（2）小船到点的距离约为
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外角定理，特殊角的三角函数值，阅读理解，新定义题型，正确理解题意，运用新知是解题的关键，其背景是高中的正弦定理的应用．
（1）由即可求解；
（2）先求，，再代入即可．
【详解】解：（1），
，
，
．
（2），，，
，即，解得，
小船到点的距离约为．
23. 如图，是直线在第一象限上的点，过两点分别作轴的平行线交双曲线于两点．
（1）若，求的值．
（2）当时，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质，待定系数法求反比例函数解析式等．
（1）延长交轴于点，延长交轴于点，可得是等腰直角三角形，继而求出点的坐标为，即可求出本题答案；
（2）设点继而表示出，再由勾股定理，得，即可得到本题答案．
【小问1详解】
解：如图，延长交轴于点，延长交轴于点，则是等腰直角三角形，
，
，
，
点的坐标为，
双曲线过点，
；
【小问2详解】
解：当时，则反比例函数解析式为，
设点
，
，
又，
，
两边平方得，即，
由勾股定理，得，
．
24. 某超市销售一种水杯，购进时进价为每件20元．销售过程中发现，当每件售价为30元时月销量为200件，每涨价1元月销量减少10件，每降价1元月销量增加10件．已知销售过程中销售单价不低于进价，且每件的利润率不超过．
（1）直接写出每月销售水杯数量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式，及的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
（3）如果超市销售水杯想要每月获得的利润不低于2000元，那么超市每月的成本最多需要多少元？
【答案】（1），
（2）当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润2160元
（3）想要每月获得的利润不低于2000元，超市每月的成本最多需要4000元
【解析】
【分析】本题考查一次函数实际应用，二次函数实际应用，二次函数图象及性质．
（1）根据题意分情况列出关于的一次函数即可；
（2）设每月销售水杯的利润为元，列出关于利润的二次函数解析式，再利用二次函数图象及性质可知结果；
（3）取，得，即可解得的值，再设每月的成本为元，列出关于的一次函数解析式，利用性质即可得到本题答案．
【小问1详解】
解： ∵销售过程中销售单价不低于进价，且每件的利润率不超过，
∴，解得：，
∴，
当时，，
当时，，
∴综上所述：，；
【小问2详解】
解：设每月销售水杯的利润为元，则，
整理，得，
，抛物线开口向下，
当时，随着的增大而增大，
当时，有最大值2160，
答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润2160元；
【小问3详解】
解：取，得，解得，
当时，，
，
当时，，
设每月的成本为元，由题意得，
随的增大而减小，
当时，的值最大，最大值为4000．
答：想要每月获得的利润不低于2000元，超市每月的成本最多需要4000元．
25. 如图1，在中，，以线段为直径作交于点为的中点，连接，过点作B交的延长线于点．
（1）求证：是的切线．
（2）如图2，连接交于点，连接交于点，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，，利用等边对等角可得，从而证明结论；
（2）连接，作于M，由垂直平分线的性质可得，由，可是的垂直平分线，从而得出，从而解决问题．
【小问1详解】
连接，，
∵为的直径，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴∠，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴直线是的切线；
小问2详解】
解：如图所示，连接，作于M，
∵点D为的中点，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴
在中，，，
∵
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的判定定理，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，证明是解题的关键．
26. 综合与实践，如图，以为边向两侧作和为的中点，连接．

（1）如图1，若，，，求长．
（2）如图2，连接交于点为上一点，，，．猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
（3）如图3，是以为斜边的等腰直角三角形，若，请直接写出当取最大值时，的面积．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）的面积为
【解析】
【分析】（1）过点作，交延长线于点，得到是等腰直角三角形，再用勾股定理即可得到；
（2）延长相交于点，作，垂足为，判定，得到是等边三角形，再判定，即可得到；
（3）取的中点，连接，再判定，再连接，作于点，在Rt中应用勾股定理即可得到．
【小问1详解】
解：如图，过点作，交延长线于点，

，，
是等腰直角三角形，，
，
是等腰直角三角形，
是的中点，
，
，
；
【小问2详解】
解：，理由如下：
如图，延长相交于点，作，垂足为，

，
，
，
∴，
，
，
是等边三角形，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，即，
，
，
；
【小问3详解】
解：的面积为，
如图，取的中点，连接，

是的中点，
，
点在以为圆心，半径是2的上运动，在上截取，
，
，
，
，
，
当三点在一条直线上时，的值最大，即的值最大，
如图，连接，作于点，

由，易得，
设，在Rt中，，
，
（舍去），
，
．
【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，全等三角形判定及性质，勾股定理，相似三角形判定及性质，圆的有关概念和性质．
组别
身高