湖南省花垣县华鑫教育集团2023-2024学年八年级下学期月考数学试题（原卷版+解析版）

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时量：120分钟 分值：120分
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A. 2，2，2B. 6，8，10C. 1，1，D. 0.4，0.3，0.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股数的定义：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数；据此解答即可．
【详解】解：A、，不是勾股数，不符合题意；
B、，是勾股数，符合题意；
C、不是整数，不是勾股数，不符合题意；
D、0.4，0.3，0.5不是整数，不是勾股数，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股数的定义，熟记定义是解本题的关键．
2. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答；
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
【详解】A、，故不符合题意，
B、，故不符合题意，
C、，故不符合题意，
D、属于最简二次根式，故符合题意；
故选：D．
3. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数大于等于零得出，求解即可，熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题的关键．
【详解】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
解得：，
故选：D．
4. 下列计算正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据二次根式的运算法则计算出各项结果，然后再判断即可．
【详解】解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意；
B. ，计算正确，符合题意；
C. 与不是同类二次根式，不能合并，故选项C计算错误，不符合题意；
D.，故选项D计算错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
5. 如图，一木杆在离地面处折断，木杆顶端落在离木杆底端处，则木杆折断之前的高度是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【详解】解：∵一木杆在离地面处折断，木杆顶端落在离木杆底端处，
∴折断的部分长为：，
∴折断前高度为．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
6. 的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股逆定理以及三角形内角和性质，据此逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、设，则
解得，则，故该选项是符合题意的；
B、因为，所以，解得，故该选项是不符合题意的；
C、设，则，即，所以是直角三角形，故该选项是不符合题意的；
D、因为，所以是直角三角形，该选项是不符合题意的；
故选：A
7. 如图，已知线段长为2，过点B作，使；连接，以点C为圆心，长为半径作弧，交线段于点D，再以点A为圆心，长为半径作弧，交线段于点E，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得，再根据已知易得，然后在中，利用勾股定理可得，再根据题意可得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
故选：B．
8. 古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，所对的边分别记为，若，则的面积为（ ）

A. 16B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用阅读材料，先计算出的值，然后根据海伦公式计算的面积．
【详解】解：，，．
，
的面积；
故选：B．
【点睛】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算．
9. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A. 72B. 52C. 80D. 76
【答案】D
【解析】
【分析】结合题意，根据勾股定理的性质计算，即可得到答案.
【详解】如图，根据题意得：，
∴
∴
∴这个风车的外围周长
故选：D.
【点睛】本题考查了勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解.
10. 如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上，若，空白部分面积为10，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，正方形的性质，完全平方公式，解题的关键是证明 ，得到四边形的面积的面积，得出空白部分的面积正方形的面积的面积，①，，②，由①和②得，即可得出答案．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，，
，
的面积的面积，
四边形的面积的面积，
空白部分的面积正方形的面积的面积，
①，
，
，
，
，
②，
由①和②得，
（舍去负值）．
故选：A．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：_____．
【答案】两直线平行，同位角相等
【解析】
【分析】把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题．
【详解】解：命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．
所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．”
故答案为“两直线平行，同位角相等”．
【点睛】本题考查了命题与定理，掌握命题的基本知识是解题的关键．
12. 比较大小：________ （填“＞”或“＜”＝）．
【答案】>
【解析】
【分析】先将两个数平方，再比大小即可．
【详解】∵，，
又∵18>12，
∴．
故答案为：>．
【点睛】此题主要考查二次根式的大小比较．掌握比较二次根式大小的方法是解题关键．
13. 与最简二次根式是可以合并的二次根式，则_______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．
【详解】解：由题意可得与最简二次根式是同类二次根式，且，
∴，解得：．
故答案为2．
14. 若计算的结果为正整数，则无理数的值可以是__________．（写出一个符合条件的即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据为12，即可得到一个无理数的值．
详解】解：∵，
∴时的结果为正整数，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次根式，注意是解题关键．
15. 已知，则yx＝_____．
【答案】16
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，分别求出x、y，根据有理数的乘方法则求出yx即可．
【详解】解：由题意得，x-2≥0，2-x≥0，
解得，x=2，
则y=-4，
∴yx=（-4）2=16，
故答案为：16．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
16. 如图，在中，，，分别以为边作正方形，面积分别记为，则______．

【答案】64
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．在中，利用勾股定理求出的值，根据，分别表示正方形面积，求出的值即可．
【详解】解∶ 在中，，，
∴，
∴
．
故答案为∶64．
17. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示的“垂美”四边形的对角线，交于点，若，，则______．

【答案】41
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．在和中，根据勾股定理得，，进一步得，再根据，可求得的值．
【详解】解：，
，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
，，
．
故答案为：41．
18. 如图，在直角三角形中，，点D是边上的一点（不与B、C重合），连接，将沿折叠，使点C落在点E处，当是直角三角形时，的长为_____________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是根据勾股定理得到，根据已知条件得到当是直角三角形时，或，①当时，则，根据折叠的性质得到，于是得到，②当时，根据折叠的性质得到，，，推出点在上，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：在中，，，
，
，
，
点是边上的一点，
，
当是直角三角形时，或，
①当时，则，
将沿折叠，使点落在点处，
，
，
②当时，
将沿折叠，使点落点处，
，，，
，
点在上，如图，
，，，
，
，
，
，
综上所述，的长为 6或，
故答案为：6或．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分）
19. 计算∶
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）先利用二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可；
（2）根据二次根式混合运算法，结合平方差公式和完全平方公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
．
20. 已知，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】先根据题意求出a-b的值和ab的值，然后把已知的式子变形为完全平方和a-b及ab的整体形式，然后整体代入即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴
＝
＝
＝
＝．
【点睛】此题考查了整式的乘法公式：完全平方公式及平方差公式的应用，熟记公式并熟练应用是解题的关键．
21. 如图，每个小正方形的边长为1．
（1）求四边形的面积和各边边长．
（2）是直角吗？说明理由．
【答案】（1），，，，；
（2）是直角，理由见详解；
【解析】
【分析】（1）本题考查勾股定理，根据勾股定理直接求解及割补法求解即可得到答案；
（2）本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理直接判断即可得到答案；
【小问1详解】
解：由题意可得，
，，，，
综上所述：，，，，
由图形可得，
；
【小问2详解】
解：是直角，理由如下，
由勾股定理得，
，
∵，
∴是直角．
22. 定义：已知都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”．
（1）4与是______关于3的“实验数”，与______是关于3的“实验数”．
（2）若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由．
【答案】（1），；
（2）与是关于3的“实验数”．理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算．掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
（1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与-1是关于3的“实验数”；
（2）把代入计算与的和，根据所求得结果即可判断．
【小问1详解】
解：，
所以与是关于的“实验数”，
，
所以与是关于的“实验数”
故依次填：，；
【小问2详解】
解：与是关于的“实验数”．理由如下：
∵，
∴
∴与是关于的“实验数”．
23. 如图所示，汉江是长江最大的支流，它流经美丽的荆门，汉江一侧有一村庄，江边原有两个观景台，其中，现建设美丽乡村，决定在汉江边新建一个观景台（点在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．

（1）是不是从村庄到江边的最短路线？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线的长．
【答案】（1）是，理由见解析；
（2）5千米．
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【小问1详解】
解：是，
理由是：在中，，，
，
，
所以是从村庄到河边的最近路；
【小问2详解】
解：设，
在中，由已知得，，，
由勾股定理得：，
，
解这个方程，得，
答：原来的路线的长为5千米．
【点睛】此题考查勾股定理及其逆定理应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．
24. 观察下列等式，解答下列问题：
；
．
应用计算：
（1）利用上面的方法进行化简：；
（2）根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：______；
（3）计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了分母有理化．熟练掌握平方差公式，二次根式的性质，二次根式的加减，是解决问题的关键．
（1）分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算化简；
（2）利用（1）小题的计算结果找出规律求解；
（3）先利用上面的规律对每一个分母有理化，然后再进行二次根式的加减，即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
；
故答案为：；
【小问3详解】
原式
．
25. 如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜．此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，求：该圆柱底面周长？

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题关键．将容器的侧面展开，建立点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度为爬行最短距离，然后根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：将圆柱的侧面展开，为上底面圆周长的一半，作点A关于的对称点，连接交于点F，

则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，
即，
延长，过作于点D，
∵，
∴，
中，
由勾股定理可得
则该圆柱底面周长为．
26. 如图，已知在中，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动，设点的运动时间为，连接．
（1）当秒时，求的面积；
（2）若平分，求的值；
（3）过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？
【答案】（1）；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】（）根据动点的运动速度和时间先求出，再利用三角形的面积计算公式解答即可求解；
（）作于，利用角平分线的性质分别求得，再利用勾股定理 ，解得，最后利用，求得的值即可；
（）根据动点运动的不同位置利用勾股定理解答即可求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理，三角形的面积，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意可得，，
∵，，
∴，
∴，
∴当秒时，求的面积为；
【小问2详解】
解：当线段恰好平分时，作于，如图，
∵线段平分，， ，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∵ ，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
解得；
【小问3详解】
解：点在线段上时，过点作于，连接，如图，
则，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得；
点在线段的延长线上时，过点作于，如图，
同得 ，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得；
综上所述，在点的运动过程中，当的值为或时，能使．
27. 已知是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边在右侧作等腰，．探究并解决下列问题：
（1）如图1，若点在线段上，求证：；
（2）如图2，若点在线段的延长线上，其它条件不变，画出图形，猜想，，之间的数量关系，并证明；
（3）若动点满足，直接写出的值为________．
【答案】（1）证明见解析
（2），证明见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可证得，，进而证得结论；
（2）过点作，垂足为，则，，可证明，由于在中，，由此可证得结论；
（3）根据点所在的位置画出图形，然后根据已知用表示出的长，再结合勾股定理求出和的长度即可．
【小问1详解】
如图①所示：
和均为等腰直角三角形，
，，，，
．
在和中，
，
．
，
．
【小问2详解】
．理由如下：
如图②：过点作，垂足为．
为等腰直角三角形，，
．
．
，
，
，
．
为等腰直角三角形，
．
．
【小问3详解】
如图③：过点作，垂足为．
①当点位于点处时．
，
．
．
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
．
②当点P位于点处时．
，
．
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
．
综上所述，的比值为或；
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，添加恰当的辅助线，熟练运用勾股定理，构造合适的全等三角形是解本题的关键．