山东省济宁市兖州区东方中学教育集团联盟校2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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（内容：第16章~18.1.1 满分：100 时间：90分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＞2B. x≥2C. x＜2D. x=2
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴2x﹣4≥0，解得：x≥2，则实数x的取值范围是：x≥2．
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．
2. 下列等式成立是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的化简等概念分别判断．
【详解】解：A. ,本选项不成立；
B. ，本选项不成立；
C. =，本选项不成立；
D. ，本选项成立.
故选：D.
【点睛】本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键．
3. 设，是有理数，且，满足等式，则的平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据合并同类项法则列出关于x与y的方程组，求解方程组得到，，代入计算即可求出的平方根．
【详解】解：，是有理数，且，满足等式，
，
解得：，
，
的平方根是，
故选A．
【点睛】本题考查了实数的运算，二元一次方程组的应用，代数式求值，平方根的定义，掌握实数的性质构造二元一次方程组是解题关键．
4. 已知是整数，非负整数的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据是整数，得到是完全平方数，再利用二次根式有意义的条件即可得到答案．
【详解】解：，且是整数，
是整数，即是完全平方数，
，
的最小非负整数值为0，
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，解题关键是掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数．
5. 如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝1，则BD的长为( )
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】
【详解】在△ABC中，∠A=45°，CD⊥AB
∴△ACD是等腰直角三角形
∴CD=AD=1
又∵∠B=30°
∴Rt△BCD中，BC=2CD=2
∴BD=
故选C．
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（ ）
A. 4B. 4πC. 8πD. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20，
则阴影部分的面积＝
＝
＝4，
故选A．
【点睛】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键．
7. 如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【详解】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度==12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5=17（米）．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
8. 下列命题中是假命题的是( )
A. △ABC中，若∠B＝∠C－∠A，则△ABC直角三角形
B. △ABC中，若a2＝(b＋c)(b－c)，则△ABC是直角三角形
C. △ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则△ABC是直角三角形
D. △ABC中，若a∶b∶c＝5∶4∶3，则△ABC是直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形，两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，逐一分析即可．
【详解】解：A、∠B+∠A=∠C，所以∠C=90°，所以△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．
B、若a2=（b+c）（b-c），所以a2+c2=b2，所以△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．
C、若∠A：∠B：∠C=3：4：5，最大角为75°，故本选项符合题意．
D、若a：b：c=5：4：3，则△ABC是直角三角形，故本选不项符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查直角三角形的概念，和勾股定理的应用．
9. 如图 ，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ，AE⊥BC于E ，AB＝ ，AC＝2 ，BD＝4 ，则AE的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，然后根据平行四边形ABCD的面积即可求出．
【详解】解：∵AC=2，BD=4，四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∵，
∴，
∴．
故选D
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．
10. 如图，过▱ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的▱AEMG的面积S1与▱HCFM的面积S2的大小关系是( )
A. S1=S2B. S1>S2C. S1【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形GBEP、GPFD，证△ABD≌△CDB，得出△ABD和△CDB的面积相等；同理得出△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，相减即可求出答案．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，
∴AD=BC，AB=CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴四边形HBEM、GMFD都是平行四边形，
在△ABD和△CDB中
∵，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
即△ABD和△CDB的面积相等；
同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，
故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1=S2．
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ABD和△CDB的面积相等，△BEP和△PGB的面积相等，△HPD和△FDP的面积相等，注意：如果两三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 如图， 的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数等于___________．

【答案】##度
【解析】
【分析】如图所示，延长，过点作延长线于点，作的平行线，过点作的平行线，交于点，设小正方形网格的边长为，可得，，由此即可求证．
【详解】解：如图所示，延长，过点作延长线于点，作的平行线，过点作的平行线，交于点，设小正方形网格的边长为，

在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查网格中三角形角的关系，掌握等腰直角三角形的性质，平行线的性质是解题的关键．
12. 如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A，B，C，D的面积之和为_____________.

【答案】49
【解析】
【分析】根据勾股定理计算即可
【详解】解：最大的正方形的面积为，
由勾股定理得，正方形E、F的面积之和为，
∴正方形A、B、C、D的面积之和为，
故答案为49．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
13. 如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则M点所表示的数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键．
直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案．
【详解】解：∵轴，
∴，
∴是直角三角形，
∵，，
∴，
∴，
∴M点所表示的数为：．
故答案为：．
14. 如图，在中，，是的平分线．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、三角形的面积．作点Q关于的对称点，连接，则，利用点到直线垂直线段最短可得出当，点P为与的交点时，取得最小值，最小值为，再利用面积法可求出的值，进而可得出的最小值．
【详解】解：点Q关于的对称点，连接，如图所示：
∵平分，
∴点在直线上，，
∴，
∴当，点P为与的交点时，取得最小值，最小值为．
在中，，
∴，
∴，即，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
15. 计算______．
【答案】##
【解析】
【分析】先进行分母有理化，再进一步合并得出答案即可.
【详解】，
=
=
=.
故答案为.
【点睛】此题考查了分母有理化，运用分母有理化把二次根式化简，再进一步运算即可得解.
三、解答题（共55分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，零指数幂，负整数指数幂：
（1）先计算二次根式乘除法，再化简二次根式，最后计算二次根式加减法即可；
（2）先化简二次根式，再计算负整数指数幂和零指数幂，然后计算加减法即可．
【小问1详解】
解；
；
【小问2详解】
解：
．
17. 已知，，分别求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）19
【解析】
【分析】本题主要考查了代数式的化简求值．熟练掌握二次根式在加减乘法法则，配方，分解因式，整体代入求值，是解决问题的关键．
（1）先求出，，再由进行计算求解即可；
（2）先求出，，再由进行计算求解即可.
【小问1详解】
∵，，
∴，，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴，，
∴
．
18. 如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为，货船沿南偏东80°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里，求客船航行的方向．
【答案】客船航行的方向为北偏东
【解析】
【分析】先根据客船与货船的速度关系求出两条船的速度，进而求出，再利用勾股定理的逆定理求出，进而求出即可得到答案．
【详解】解：客船的速度为海里/小时，则货船的速度为海里/小时，
由题意得，
解得，
∴客船的速度为海里/小时，则货船的速度为海里/小时，
∵货船沿南偏东80°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，
∴海里，海里，,
又∵海里，
∴，
∴，
∴，
∴客船航行的方向为北偏东．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理的实际应用，正确求出两条船的速度是解题的关键．
19. 如图所示，在中，，，．
（1）求的周长；
（2）直接写出的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
（1）由四边形是平行四边形，可求得的长，然后由，，，利用勾股定理即可求得与的长，继而求得的周长；
（2）由，即可求得答案．
【小问1详解】
四边形是平行四边形，
，
，，
，，
，，
的周长为：；
【小问2详解】
．
20. 如图，在一张长方形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，求一只蚂蚁从点A爬过木块到达点C需要走的最短路程．
【答案】米
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，两点之间线段最短，解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．
【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽，
∴长为米；宽为米．
于是最短路径为：米．
21. 如图①，直角三角形的两条直角边长分别是a，，斜边长为c．

（1）探究：用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）．
①小正方形的边长为c，大正方形的边长为____________________________________；
②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式________________________，整理得__________________，从而验证勾股定理；
（2）应用：将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理．
【答案】（1）①；②，
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握利用数形结合的思想，证明勾股定理．
（1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可；
（2）利用等积法进行证明即可．
【小问1详解】
解：①由图和题意可知：大正方形的边长为；
故答案为：；
②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式，整理得；
故答案为：，；
小问2详解】
用两种不同的方法表示出梯形的面积，可得：，
∴，
∴．
22. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
，；
，；…
，；…
（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：______，______．
（2）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？
（3）求出的值．
【答案】（1）n，
（2）它是第32个三角形，见解析
（3）11.25
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，二次根式应用，规律探究，解题的关键是看清楚相邻两个三角形的各个边之间的关系．
（1）由勾股定理及直角三角形的面积求解；
（2）利用（1）的规律代入求出n即可；
（3）算出第一到第九个三角形的面积后求和即可．
【小问1详解】
因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：
，
，
，
…，
，
∴＝n．
Sn＝•1•＝
故答案为：n，
【小问2详解】
当时，即＝，
解得：n＝32
∴它第32个三角形．
【小问3详解】
＝+…+
＝11.25
∴的值为11.25．
23. (1)如图1，四边形的对角线于点．判断与的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，交点为．
①判断，的关系，并说明理由．
②连接．若，，请直接写出的长．
【答案】(1)，理由见解析；(2)①，，理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理得到 ，同理求出即可求解；
（2）①证明即可得到；进而得到，②在四边形中，根据（1）求得的结论即可求出的长．
【详解】解：（1）∵，∴，
∴在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
即；
（2）①∵四边形和四边形为正方形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上，，；
②
解析：在四边形中，，由（1）知
∵，，
∴
∴，
∴，
∴．
图2
【点睛】本题考查勾股定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握勾股定理，三角形全等的判定与性质是解题关键．