2021-2022学年湖南省长沙市华鑫教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省长沙市华鑫教育集团八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共40分）

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 已知一直角三角形的木版，三边的平方和为，则斜边长为

A.  B.  C.  D.

3. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

4. 下列条件中，不能判定是直角三角形的是

A.  B. ：：：：
C.  D. ：：：：

5. 直角三角形两条直角边长分别是和，则斜边上的中线长为

A.  B.  C.  D.

6. 下列选项中，不能用来证明勾股定理的是

A.  B.  C.  D.

7. 下列说法中正确的是

A. 有一个角是直角的四边形是矩形
B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D. 两条对角线相等的菱形是正方形

8. 如图，、两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了、间的距离：先在外选一他点，然后测出，的中点、，并测量出的长为，由此他就知道了、间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是

A.  B.  C.  D.

9. 已知：，，则与的关系是

A.  B.  C.  D.

10. 设等式在实数范围内成立，其中、、是三个不同的实数，则的值是

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共8小题，共32分）

11. 计算：______．
12. 已知是正整数，则满足条件的的最小值是______．
13. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了______步路．假设步为米
     

14. 有一组勾股数，知道其中的两个数分别是和，则第三个数是______ ．
15. 已知：，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离为______．
16. 如图，在▱中，过对角线上一点作，，则图中面积相等的平行四边形有______对．
17. 如图，在中，，，，为边上不与、重合的一动点，过点分别作于点，于点，则线段的最小值是______．
     

18. 在中，是边上的高线，是边上的中线，，且若，，则______．

三．解答题（本题共8小题，共78分）

19. 计算：．
20. 如图，在中，，，，，求的长．
    
     

21. 座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期单位，表示摆长单位，取，假如一台座钟的摆长为．
    它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？
22. 一辆装满货物的卡车，高米，宽米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为，长方形的另一条边长是．
    此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由．
    为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为，高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少？
23. 如图，在▱中，的平分线交于，．
    求、的度数；
    若，，求的长．
     

24. 城市绿化是城市重要的基础设施，是城市现代化建设的重要内容，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，，，．
    
    技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据；
    现计划在空地内种草，若每平方米草地造价元，这块地全部种草的费用是多少元？
25. 如图：在中，、分别平分与它的邻补角，于，于，直线分别交、于、．
    求证：四边形为矩形；
    试猜想与的关系，并证明你的猜想；
    如果四边形是菱形，试判断的形状，直接写出结果，不用说明理由．

26. 如图，平行四边形中，点是线段的中点．过点作交于点，延长线交于点且．
    如图，若．
    求证：≌
    求的值；
    如图，连接求证：．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式逐一判断即可得．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，
根据勾股定理得：，
，
，即，
则．
故选B．
设出直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，利用勾股定理列出关系式，再由三边的平方和为，列出关系式，联立两关系式，即可求出斜边的长．
此题考查了勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，即直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

3.【答案】

【解析】解：式子在实数范围内有意义，
则，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式的定义得出的取值范围．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
 

4.【答案】

【解析】解：、，，
，
为直角三角形，故此选项不合题意；
B、设，，，
，
能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，即，
，
能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、设，，，
，
解得：，
则，
不是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：．
根据三角形内角和定理可分析出、的正误；根据勾股定理逆定理可分析出、的正误．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

5.【答案】

【解析】解：直角三角形两条直角边长分别是和，
斜边，
斜边上的中线长．
故选：．
利用勾股定理求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了勾股定理的证明方法，属于基础题．根据图形的面积得出 ， ， 的关系，分别分析得出即可．【解答】

解： 中根据面积得到 ；
中根据面积得到 ，整理得 ；
中根据面积得到 ，整理得 ．
D 、不能利用图形面积证明勾股定理．
故选 D ．

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了矩形、菱形和正方形的判定，正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
依据矩形、菱形和正方形的判定方法，即可得到正确结论．
【解答】
解： 有一个角是直角的平行四边形四边形是矩形，故本选项错误；
B. 两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；
C. 两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形，故本选项错误；
D. 两条对角线相等的菱形是正方形，故本选项正确．
故选 D ．   

8.【答案】

【解析】解：，，
，，
，
，
故A、、D正确，
故选：．
根据三角形的中位线定理即可判断；
本题考查的是三角形的中位线定理在实际生活中的运用，锻炼了学生利用几何知识解答实际问题的能力．
 

9.【答案】

【解析】解：分母有理化，可得，，
，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项正确；
，，
，故D选项错误；
故选：．
先分母有理化求出、，再分别代入求出、、、、，求出每个式子的值，即可得出选项．
本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：由于根号下的数要是非负数，
，，，，
和可以得到，
和可以得到，
只能等于，将代入等式得
，
，
即：，
由于，，是三个不同的实数，
，．
将代入原式得：
原式．
故选：．
根据根号下的数要是非负数，得到，，，，推出，，得到，代入即可求出，把代入原式即可求出答案．
本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出、、的值和代入求分式的值是解此题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：，
，
，
故答案为．
先判断的符号，然后再进行化简．
此题主要考查二次根式的性质和化简，是一道基础题．
 

12.【答案】

【解析】解：当是正整数且取最小正整数时，
此时，
解得：，
所以的最小值是．
故答案为：．
由取最小正整数时，的值最小，从而求解．
本题主要考查了二次根式的定义，涉及的知识点：如果是正整数，那么是一个完全平方数．
 

13.【答案】

【解析】解：，，，
，
则，
他们仅仅少走了步，
故答案为：．
在中，利用勾股定理求出的长，根据步为米，即可得出少走的步数．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理知识是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：设第三个数为，
是一组勾股数，
，
解得：，
，
解得：不合题意，舍去，
故答案为：．
设第三个数为根据勾股定理的逆定理：，再解即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

15.【答案】或

【解析】解：如图，当在、之间时，
与之间距离为；
如图，在、之间时，
与之间距离为；
故答案是：或．
本题主要利用平行线之间的距离的定义作答．要分类讨论：当在、时；在、之间时．
此题很简单，考查的是两平行线之间的距离的定义，即两直线平行，则夹在两条平行线间的垂线段的长叫两平行线间的距离．
 

16.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
是平行四边形的对角线，
，
是平行四边形的对角线，
．
，即，
，
同理．
即：，，
故答案为：．
根据平行四边形的性质得出面积相等的三角形，然后利用等量关系推出面积相等．
本题考查的是平行四边形的性质，平行四边形的一条对角线可以把平行四边形分成两个全等的三角形，两条对角线把平行四边形的面积一分为四，同时充分利用等量相加减原理解题．
 

17.【答案】

【解析】解：如图，连接．
，，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，
此时，，
即，
解得．
故答案为：．
连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
 

18.【答案】

【解析】解：取的中点，连接，

为的中线，
为的中点，
为的中位线，
，，
是边上的高，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
故答案为．
取的中点，连接，根据三角形的中位线定理可得，，由中线的定义结合中点的定义可求得，的长，进而求得的长，再利用勾股定理可求解的长．
本题主要考查勾股定理，三角形的中位线定理，三角形的中线，高线，作的中位线是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

．

【解析】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
 

20.【答案】解：在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
．

【解析】在中，与中，由勾股定理即可得出结果．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：


．
次．
答：在分钟内，该座钟大约发出次滴答声．

【解析】由给出的公式先计算出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到滴答次数．
本题主要考查了二次根式的应用，计算出钟摆的周期是解决本题的关键．
 

22.【答案】解：如图，，为卡车的宽度，
过，作的垂线交半圆于，，过作，为垂足，
米，米，
由作法得，米，
又米，
在中，米，
．
这辆卡车能通过．
如图：
根据题意可知：米，米，米，
米
根据勾股定理有：米，
米，
桥洞的宽至少增加到米．

【解析】过，作的垂线交半圆于，，过作，为垂足，根据卡车的宽和半圆的直径和勾股定理求出的长，再根据长方形的一边长和卡车的高即可得出答案；
根据已知条件求出的长，再根据勾股定理求出的长，从而得出答案．
本题考查了垂径定理和勾股定理：掌握垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，建立数学模型，善于观察题目的信息是解题的关键．
 

23.【答案】解：在▱中，的平分线交于，，
，
，
，
，
，
在▱中，，，
，，
，
的长是．

【解析】利用角平分线的性质以及平行线的性质得出，进而利用平行四边形的性质得出：、的度数；
根据等角对等边可得，即可得的长．
此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
 

24.【答案】解：测量的是点，之间的距离；
依据是：如果是三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形；
连接，
由得，
在中，，
在中，，，
，
，
，
平方米，
元，
答：这块地全部种草的费用是元．

【解析】根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
连接，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论．
此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．
 

25.【答案】证明：于，于，
，
又、分别平分与它的邻补角，
，，
，
三个角为直角的四边形为矩形．

结论：且．
证明：四边形为矩形，
对角线相等且互相平分，
，
，
，
又矩形的对角线相等且互相平分，
是的中点，
若不是的中点，则可在取中点，连接，
则是的中位线，，
而，即为点，
所以是的中位线也可以用平行线等分线段定理，证明
；
法二：延长至，使，
因为对角线互相平分，
所以是平行四边形，，因为，
所以是平行四边形，，
所以

解：是直角三角形．
理由：四边形是菱形，
，
，
，
即是直角三角形．

【解析】证明三个角是直角即可解决问题；
结论：且只要证明是的中位线即可；
是直角三角形；
本题考查矩形的判定和性质、菱形的性质．三角形的中位线定理、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

26.【答案】解：证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
≌；
≌，
，，
，
点是线段的中点．
，
，
；

证明：如图，过点作于，交的延长线于过点作交的延长线于，连接，设交于．

，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
≌，
，
，，
平分，
，
，，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，，
，
．

【解析】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，题目有一定难度．
根据平行四边形的性质以及等腰三角形的性质可得出，，由，利用即可证明≌；
根据全等三角形的性质推出，可得结论．
过点作于，交的延长线于过点作交的延长线于，连接，设交于证明是等腰直角三角形，≌即可解决问题．