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2022-2023学年湖南省湘西州花垣县华鑫教育集团九年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖南省湘西州花垣县华鑫教育集团九年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省湘西州花垣县华鑫教育集团九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2023的相反数是( )
A. −12023 B. −2023 C. 12023 D. 2023
2. 据国家海洋研究机构统计，中国有约1200000平方公里的海洋国土处于争议中，1200000可用科学记数法表示为( )
A. 1.2×105 B. 1.2×106 C. 1.2×107 D. 1.2×108
3. 下列计算正确的是( )
A. 2x+1=2x2 B. x2⋅x3=x5 C. (x2)3=x5 D. (2x)3=2x3
4. 掷一枚质地均匀的骰子，下列事件是不可能事件是( )
A. 向上一面点数是奇数 B. 向上一面点数是偶数
C. 向上一面点数是大于6 D. 向上一面点数是小于7
5. 如图，两个一次函数图象的交点坐标为(2,4)，则关于x，y的方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解为( )
A. x=2y=4 B. x=4y=2 C. x=−4y=0 D. x=3y=0
6. 下列函数中，图象经过原点的是( )
A. y=3x B. y=1−2x C. y=4x D. y=x2−1
7. 平面内三条直线a、b、c，若a⊥b，b⊥c，则直线a、c的位置关系是( )
A. 垂直 B. 平行 C. 相交 D. 以上都不对
8. 如图，点O是▱ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的是( )
A. OE=OF B. AE=BF
C. ∠DOC=∠OCD D. ∠CFE=∠DEF
9. 已知一元二次方程x2+kx−3=0有一个根为1，则k的值为 ( )
A. −2 B. 2 C. −4 D. 4
10. 二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图，则下列说法正确的有( )
①abc>0；②2a−b=0；③a−b+c≥am2+bm+c；④当x<1时，y>0；⑤9a−3b+c=0．
A. 5个
B. 4个
C. 3个
D. 2个
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 分解因式：x3−2x2y+xy2=______．
12. 计算：1a+1+aa+1= ．
13. 函数y=1x+1的自变量x的取值范围是______ ．
14. 如图，点A(4,t)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，cosα=45，则t的值是______ ．
15. 在半径为12cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长等于______ ．
16. 华鑫学校运动队要从甲、乙、丙、丁四名跳高运动员中随机抽取一人参加比赛，甲的平时成绩最好，请问抽取甲参加比赛的概率是______ ．
17. 如图，已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，∠C=90°，我们把关于x的形如y=a+bcx的一次函数称为“勾股正比例函数”，若点P(1, 2)在“勾股正比例函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是9，则c的值是______ ．
18. 如图，△ABC与△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，DE交AC于点F，且AB=5，AD=3 2.当△CEF是直角三角形时，BD= ______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
19. 在一次数学综合实践活动中，小明计划测量一座城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°，请你依据测量的数据求出楼顶到地面的距离．(参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25)
四、解答题（本大题共7小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题6.0分)
计算：(12)−1−(2023−π)0+tan60°+|2− 3|．
21. (本小题8.0分)
先化简(1+2x−3)÷x2−1x2−6x+9，再从整数1、2、3中选一个合适的x的值代入求值．
22. (本小题8.0分)
如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．
(1)求证：△CDP≌△POB；
(2)连接OD，当四边形BPDO是菱形时，求∠PBA的度数．
23. (本小题10.0分)
为了解花垣县居民“绿色出行”方式的情况，华鑫学校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了花垣县部分出行居民的主要出行方式(参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类)，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
种类
A
B
C
D
E
出行方式
共享单车
步行
公交车
的士
私家车
根据以上信息，回答下列问题：
(1)参与本次问卷调查的居民共有______ 人，其中选择B类的人数有______ 人；
(2)在扇形统计图中，求A类对应扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图；
(3)花垣县约有18万人出行，若将A，B，C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该县“绿色出行”方式的人数．
24. (本小题10.0分)
为创建国家级生态市，遵义市政府决定对市区周边水域的水质进行改善，这项工程由甲、乙两个工程队承包.已知甲工程队每天的施工量是乙工程队的3倍，若先让乙工程队单独施工14天后甲工程队加入，甲、乙两个工程队合作4天后，可完成总工程的12．
(1)求甲工程队单独完成这项工程需要多少天；
(2)甲工程队每天需支付的工程款为10万元，乙工程队每天需支付的工程款为3万元，若工程费用不超过190万元，则甲工程队最多工作多少天？
25. (本小题12.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=45，AB=10，点O为AC上一点，以OA为半径作⊙O交AB于点D，BD的中垂线分别交BD，BC于点E，F，连结DF．
(1)求证：DF为⊙O的切线；
(2)若AO=x，DF=y，求y与x之间的函数关系式．
26. (本小题14.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(−2,0)，B(4,0)，C(0,8)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求△CBF的最大面积及此时点E的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：−2023的相反数为2023．
故选：D．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题主要考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】B
【解析】解：1200000=1.2×106，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：A、2x+1无法计算，故此选项错误；
B、x2⋅x3=x5，正确；
C、(x2)3=x6，故此选项错误；
D、(2x)3=8x3，故此选项错误．
故选：B．
直接利用幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则和同底数幂的乘法运算法则分别化简求出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则和同底数幂的乘法运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【解答】
解：A、向上一面点数是奇数是随机事件；
B、向上一面点数是偶数是随机事件；
C、向上一面点数是大于6是不可能事件；
D、向上一面点数是小于7是必然事件，
故选：C．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两个函数交点坐标就是二元一次方程组的解可直接得到答案．
本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
【解答】
解：∵直线y1=k1x+b1与y2=k2x+b2的交点坐标为(2,4)，
∴二元一次方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解为x=2y=4，
故选：A．
6.【答案】A
【解析】解：∵函数的图象经过原点，∴点(0,0)满足函数的关系式；
A、当x=0时，y=3×0=0，即y=0，∴点(0,0)满足函数的关系式y=3x；故A选项正确；
B、当x=0时，y=1−2×0=1，即y=1，∴点(0,0)不满足函数的关系式y=1−2x；故B选项错误；
C、y=4x的图象是双曲线，不经过原点；故C选项错误；
D、当x=0时，y=02−1=−1，即y=−1，∴点(0,0)不满足函数的关系式y=x2−1；故D选项错误；
故选：A．
将点(0,0)依次代入下列选项的函数解析式进行一一验证即可．
本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例图象上的点的坐标特征．经过函数图象上的某点，该点一定满足该函数的解析式．
7.【答案】B
【解析】解：∵a⊥b，b⊥c，
∴a//b，
故选B．
根据平行线的判定得出即可．
本题考查了平行线的判定，能灵活运用平行线的判定定理进行推理是解此题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO=CO，BO=DO，AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCOAO=CO∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，AE=CF，∠CFE=∠AEF，
又∵∠DOC=∠BOA，
∴选项A正确，选项B、C、D不正确，
故选：A．
证△AOE≌△COF(ASA)，得OE=OF，AE=CF，∠CFE=∠AEF，进而得出结论．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：把x=1代入方程得1+k−3=0，
解得k=2．
故选：B．
根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k的一次方程1−3+k=0，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10.【答案】B
【解析】解：由抛物线开口向下，即a<0；对称轴−b2a<0，则b<0，c=3>0，
∴abc>0，选项①正确
∵对称轴x=−b2a=−1，
∴b=2a，
∴2a−b=0，选项②正确；
∵当x=−1时，函数的值最大，
∴a−b+c≥am2+bm+c，选项③正确；
∵抛物线对称轴为直线x=−1，与x轴的一个交点为(1,0)，
∴另一个与x的交点为(−3,0)，
∴9a−3b+c=0，选项⑤正确；
∵图象与x轴的交点(−3,0)和(1,0)知−30，选项④错误；
故选：B．
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴的交点的确定是解题的关键．
11.【答案】x(x−y)2
【解析】解：x3−2x2y+xy2，
=x(x2−2xy+y2)，
=x(x−y)2．
故答案为：x(x−y)2．
先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12.【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查分式的加法．掌握分式加法法则是解题的关键．
根据同分母分式加法法则，直接让分子相加即可．
【解答】
解：原式=1+aa+1=1．
故答案为：1．
13.【答案】x≠−1
【解析】解：由题意得：x+1≠0，
解得：x≠−1，
故答案为：x≠−1．
根据分母不为0可得：x+1≠0，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
14.【答案】3
【解析】解：如图，作AH⊥x轴于H．
∵cosα=OHOA=45，OH=4，
∴OA=5，
∴AH= OA2−OH2=3，
∴t=3，
故答案为：3．
如图，作AH⊥x轴于H.根据cosα=OHOA=45，OH=4，求出OA，再利用勾股定理求出AH即可解决问题．
本题考查解直角三角形，坐标图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
15.【答案】8π
【解析】解：设弧长为l，
l=120π×12180=8π，
故答案为8π．
根据弧长公式直接解答．
本题考查了弧长公式，直接代入公式解答即可．
16.【答案】14
【解析】解：从甲、乙、丙、丁四名跳高运动员中随机抽取一人参加比赛，抽取甲参加比赛的概率是14．
故答案为：14．
直接根据概率公式求解即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】6
【解析】解：∵点P(1, 2)在“勾股正比例函数”y=a+bcx的图象上，
∴ 2=a+bc，即a+b= 2c，
∵Rt△ABC的面积是9，且已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，
∴12ab=9，即ab=18，a2+b2=c2，
∴c2=a2+b2=(a+b)2−2ab，
∴c2=( 2c)2−36，
解得c=±6，(−6舍去)，
故答案为：6．
由题意得到2个关系式：a+b= 2c，ab=18，结合勾股定理，完全平方公式变形即可求解．
考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给定义和完全平方公式是解答本题的关键．
18.【答案】 13或1
【解析】
【分析】
解：∵△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵∠BAD=∠BAC−∠CAD=90°−∠CAD，
∠CAE=∠DAE−∠CAD=90°−∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，
①如图1，∠CFE=90°时，AF⊥DE，
∴AF=EF= 22AE= 22×3 2=3，
CF=AC−AF=5−3=2，
在Rt△CEF中，CE= EF2+CF2= 32+22= 13，
∴BD=CE= 13；
②如图2，∠CEF=90°时，∠AEC=135°，
由①得，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=135°，
∵∠ADB+∠ADE=135°+45°=180°，
∴点B、D、F三点共线，
过点A作AG⊥DE，
则AG=DG= 22AD= 22×3 2=3，
在Rt△ABG中，BG= AB2−AG2= 52−32=4，
∴BD=BG−DG=4−3=1，
综上所述，BD= 13或1．
故答案为： 13或1．
【分析】
本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，难点在要分情况讨论，∠CEF=90°时证明得到点B、D、F三点共线是解题的关键．
根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，再求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CE，再分①∠CFE=90°时，根据等腰直角三角形的性质可得AF=EF= 22AE，再求出CF的长，然后利用勾股定理列式求出CE，从而得解；②∠CEF=90°，求出∠AEC=135°，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=135°，然后求出点B、D、F三点共线，过点A作AG⊥DE，根据等腰直角三角形的性质求出AG=DG= 22AD，再利用勾股定理列式求出BG，然后根据BD=BG−DG计算即可得解．
19.【答案】解：(1)作AF⊥BC交BC于点F，交DE于点E，如图所示，
由题意可得，CD=EF=3米，∠B=22°，∠ADE=45°，BC=21米，DE=CF，
∵∠AED=∠AFB=90°，
∴∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠ADE，
∴AE=DE，
设AF=a米，则AE=(a−3)米，
∵tanB=AFBF，
∴tan22°=a21+(a−3)，
∴25≈a21+(a−3)，
解得，a=12，
答：楼顶到地面的距离是12米．
【解析】作AF⊥BC交BC于点F，交DE于点E，然后根据题意和锐角三角函数可以求得城门大楼的高度．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
20.【答案】解：(12)−1−(2023−π)0+tan60°+|2− 3|
=2−1+ 3+2− 3
=3．
【解析】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值计算即可．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．
21.【答案】解：(1+2x−3)÷x2−1x2−6x+9
=x−1x−3×(x−3)2(x+1)(x−1)
=x−3x+1，
∵要使原分式有意义，
∴ x可取2．
∴原式=2−32+1=13．
【解析】先将原式化简，再根据分式有意义的条件选取2代入即可．
本题主要考查了分式的化简求值问题，掌握分式有意义的条件是解决本题的关键．
22.【答案】解：(1)∵点D是AC的中点，PC=PB，
∴DP//DB，DP=12AB，
∴∠CPD=∠PBO．
∵BO=12AB，
∴DP=OB，
在△CDP和△POB中CP=PB∠PBO=∠CPDPD=OB，
∴△CDP≌△POB(SAS)；
(2)连接OD，
∵由(1)得DP=AO=OB，DP//OB，
∴四边形BPDO是平行四边形，
∴当OB=BP时，四边形BPDO是菱形，
∵PO=BO，
∴△PBO是等边三角形，
∴∠PBA=60°．
【解析】(1)根据三角形中位线定理可得DP//DB，DP=12AB，进而可得∠CPD=∠PBO，然后再证明BO=DP，可利用SAS判定：△CDP≌△POB；
(2)连接OD，根据全等可得DP=OB，再由AO=BO可得DP=AO=OB，再由DP//OB可得四边形BPDO是平行四边形，然后再利用菱形的性质可得OB=BP，从而证明△PBO是等边三角形，进而可得答案．
此题主要考查了菱形的性质，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握菱形邻边相等，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
23.【答案】800 240
【解析】解：(1)参与本次问卷调查的市民共有：200÷25%=800(人)，
其中选择B类的人数有：800×30%=240(人)，
故答案为：800，240；
(2)∵A类人数所占百分比为：1−(30%+25%+14%+6%)=25%，
∴A类对应扇形圆心角α的度数为360°×25%=90°，A类的人数为800×25%=200(人)，
补全条形图如下：
(3)280×(25%+30%+25%)=280×80%=224(万人)，
答：该市“绿色出行”方式的人数约为224万人．
(1)根据C种出行方式的人数和所占的百分比可以求得参与本次问卷调查的市民人数，再根据B类所占的百分比，即可求得B类的人数；
(2)根据扇形统计图中的数据可以求得A类所占的百分比，从而可以求得A类对应扇形圆心角α的度数和A类的人数，并补全条形统计图；
(3)根据统计图中的数据可以计算出我市“绿色出行”方式的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】解：(1)设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要3x天，
依题意得：4x+14+43x=12，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意．
答：甲工程队单独完成这项工程需要20天．
(2)由(1)可知乙工程队单独完成这项工程所需时间为20×3=60(天)．
设甲工程队工作m天，则乙工程队工作1−m20160=(60−3m)天，
依题意得：10m+3(60−3m)≤190，
解得：m≤10．
答：甲工程队最多工作10天．
【解析】(1)设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要3x天，根据“甲工程队工作4天，乙工程队工作(14+4)天，可完成总工程的12”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)由(1)可得出乙工程队单独完成这项工程所需时间，设甲工程队工作m天，则乙工程队工作(60−3m)天，根据总工程费用=每天支付给甲工程队的工程费×甲工程队工作的时间+每天支付给乙工程队的工程费×乙工程队工作的时间，结合总工程费用不超过190万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】(1)连接OD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵EF是BD的中垂线，
∴DF=BF．
∴∠FDB=∠B，
∵∠C=90°，
∴∠OAD+∠B=90°．
∴∠ODA+∠FDB=90°．
∴∠ODF=90°，
又∵OD为⊙O的半径，
∴DF为⊙O的切线，
(2)连接OF．
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，sinA=45，AB=10，
∴AC=6，BC=8，
∵AO=x，DF=y，
∴OC=6−x，CF=8−y，
在Rt△COF中，
OF2=(6−x)2+(8−x)2
在Rt△ODF中，
OF2=x2+y2
∴(6−x)2+(8−x)2=x2+y2，
∴y=−34x+254(0
(2)连接OF，由题意可知：AO=x，DF=y，OC=6−x，CF=8−y，然后在Rt△COF中与Rt△ODF中利用勾股定理分别求出OF，化简原式即可求出答案．
本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，勾股定理、垂直平分线的性质等知识，综合程度较高．
26.【答案】解：(1)由题意得：
4a−2b+c=016a+4b+c=0c=8，
解得：a=−1b=2c=8．
∴抛物线解析式为y=−x2+2x+8；
(2)存在使△PCD是等腰三角形，理由：
∵y=−x2+2x+8=−(x−1)2+9，
∴抛物线对称轴为直线x=1，
∴D(1,0)，且C(0,8)，
∴OD=1，OC=8．
∴CD= OC2+OD2= 65，
当PC=CD时，如图，
过点C作CE⊥DP于点E，则DE=PE，
∵DE=OC=8，
∴PD=2DE=16，
∴P(1,16)；
当PD=CD= 65时，此时有两解，如图，
则有P1(1,− 65)或P2(1, 65)；
当PC=PD时，过点P作PF⊥CD于点F，如图，
∵点P在对称轴上，
∴可设P(1,m)，则PD=m，
∵PC=PD，PF⊥CD，
∴DF=12CD= 652．
∵PD//OC，
∴∠OCD=∠FDP．
∵∠DOC=∠PFD=90°，
∴△COD∽△DFP．
∴OCCD=DFDP．
∴8 65= 652m，
∴m=6516．
∴P(1,6516).
综上，P点坐标为(1,16)或(1, 65)或(1,− 65)或(1,6516)；
(3)设直线EF交x轴于点H，如图，
∵B(4,0)，
∴OB=4．
设直线BC的解析式为y=kx+n，则：
4k+n=0n=8，
解得：k=−2n=8．
∴直线BC的解析式为y=−2x+8．
∵EF⊥x轴，
∴设E(p,−2p+8)，则F(p,−p2+2p+8)，
∴EH=−2p+8，FH=−p2+2p+8．
∴EF=FH−EH=−p2+4p．
∴S△BCF=S△FCE+S△FBE
=12EF×BO
=12(−p2+4p)×4
=−2p2+8p
=−2(p−2)2+8．
∵−2<0，
∴当p=2时，S△BCF，有最大值8，
此时点E的坐标为(2,4)．
∴当E运动到BC的中点时，△CBF的面积最大，最大面积为8，此时E点坐标为(2,4)．
【解析】(1)由A、B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
(2)可设出P点坐标，则可表示出PC、PD和CD的长，分PD=CD、PC=CD、PC=PD三种情况分别得到关于P点纵坐标的方程，可求得P点坐标；
(3)由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，可设出E点坐标，则可表示出F点的坐标，从而可表示出EF的长，可表示出△CBF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点E的坐标．
本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，等腰三角形的判定与性质，二次函数的极值，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
2022-2023学年湖南省湘西州花垣县华鑫教育集团九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2023的相反数是( )
A. −12023 B. −2023 C. 12023 D. 2023
2. 据国家海洋研究机构统计，中国有约1200000平方公里的海洋国土处于争议中，1200000可用科学记数法表示为( )
A. 1.2×105 B. 1.2×106 C. 1.2×107 D. 1.2×108
3. 下列计算正确的是( )
A. 2x+1=2x2 B. x2⋅x3=x5 C. (x2)3=x5 D. (2x)3=2x3
4. 掷一枚质地均匀的骰子，下列事件是不可能事件是( )
A. 向上一面点数是奇数 B. 向上一面点数是偶数
C. 向上一面点数是大于6 D. 向上一面点数是小于7
5. 如图，两个一次函数图象的交点坐标为(2,4)，则关于x，y的方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解为( )
A. x=2y=4 B. x=4y=2 C. x=−4y=0 D. x=3y=0
6. 下列函数中，图象经过原点的是( )
A. y=3x B. y=1−2x C. y=4x D. y=x2−1
7. 平面内三条直线a、b、c，若a⊥b，b⊥c，则直线a、c的位置关系是( )
A. 垂直 B. 平行 C. 相交 D. 以上都不对
8. 如图，点O是▱ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的是( )
A. OE=OF B. AE=BF
C. ∠DOC=∠OCD D. ∠CFE=∠DEF
9. 已知一元二次方程x2+kx−3=0有一个根为1，则k的值为 ( )
A. −2 B. 2 C. −4 D. 4
10. 二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图，则下列说法正确的有( )
①abc>0；②2a−b=0；③a−b+c≥am2+bm+c；④当x<1时，y>0；⑤9a−3b+c=0．
A. 5个
B. 4个
C. 3个
D. 2个
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 分解因式：x3−2x2y+xy2=______．
12. 计算：1a+1+aa+1= ．
13. 函数y=1x+1的自变量x的取值范围是______ ．
14. 如图，点A(4,t)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，cosα=45，则t的值是______ ．
15. 在半径为12cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长等于______ ．
16. 华鑫学校运动队要从甲、乙、丙、丁四名跳高运动员中随机抽取一人参加比赛，甲的平时成绩最好，请问抽取甲参加比赛的概率是______ ．
17. 如图，已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，∠C=90°，我们把关于x的形如y=a+bcx的一次函数称为“勾股正比例函数”，若点P(1, 2)在“勾股正比例函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是9，则c的值是______ ．
18. 如图，△ABC与△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，DE交AC于点F，且AB=5，AD=3 2.当△CEF是直角三角形时，BD= ______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
19. 在一次数学综合实践活动中，小明计划测量一座城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°，请你依据测量的数据求出楼顶到地面的距离．(参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25)
四、解答题（本大题共7小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题6.0分)
计算：(12)−1−(2023−π)0+tan60°+|2− 3|．
21. (本小题8.0分)
先化简(1+2x−3)÷x2−1x2−6x+9，再从整数1、2、3中选一个合适的x的值代入求值．
22. (本小题8.0分)
如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．
(1)求证：△CDP≌△POB；
(2)连接OD，当四边形BPDO是菱形时，求∠PBA的度数．
23. (本小题10.0分)
为了解花垣县居民“绿色出行”方式的情况，华鑫学校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了花垣县部分出行居民的主要出行方式(参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类)，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
种类
A
B
C
D
E
出行方式
共享单车
步行
公交车
的士
私家车
根据以上信息，回答下列问题：
(1)参与本次问卷调查的居民共有______ 人，其中选择B类的人数有______ 人；
(2)在扇形统计图中，求A类对应扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图；
(3)花垣县约有18万人出行，若将A，B，C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该县“绿色出行”方式的人数．
24. (本小题10.0分)
为创建国家级生态市，遵义市政府决定对市区周边水域的水质进行改善，这项工程由甲、乙两个工程队承包.已知甲工程队每天的施工量是乙工程队的3倍，若先让乙工程队单独施工14天后甲工程队加入，甲、乙两个工程队合作4天后，可完成总工程的12．
(1)求甲工程队单独完成这项工程需要多少天；
(2)甲工程队每天需支付的工程款为10万元，乙工程队每天需支付的工程款为3万元，若工程费用不超过190万元，则甲工程队最多工作多少天？
25. (本小题12.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=45，AB=10，点O为AC上一点，以OA为半径作⊙O交AB于点D，BD的中垂线分别交BD，BC于点E，F，连结DF．
(1)求证：DF为⊙O的切线；
(2)若AO=x，DF=y，求y与x之间的函数关系式．
26. (本小题14.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(−2,0)，B(4,0)，C(0,8)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求△CBF的最大面积及此时点E的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：−2023的相反数为2023．
故选：D．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题主要考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】B
【解析】解：1200000=1.2×106，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：A、2x+1无法计算，故此选项错误；
B、x2⋅x3=x5，正确；
C、(x2)3=x6，故此选项错误；
D、(2x)3=8x3，故此选项错误．
故选：B．
直接利用幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则和同底数幂的乘法运算法则分别化简求出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则和同底数幂的乘法运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【解答】
解：A、向上一面点数是奇数是随机事件；
B、向上一面点数是偶数是随机事件；
C、向上一面点数是大于6是不可能事件；
D、向上一面点数是小于7是必然事件，
故选：C．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两个函数交点坐标就是二元一次方程组的解可直接得到答案．
本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
【解答】
解：∵直线y1=k1x+b1与y2=k2x+b2的交点坐标为(2,4)，
∴二元一次方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解为x=2y=4，
故选：A．
6.【答案】A
【解析】解：∵函数的图象经过原点，∴点(0,0)满足函数的关系式；
A、当x=0时，y=3×0=0，即y=0，∴点(0,0)满足函数的关系式y=3x；故A选项正确；
B、当x=0时，y=1−2×0=1，即y=1，∴点(0,0)不满足函数的关系式y=1−2x；故B选项错误；
C、y=4x的图象是双曲线，不经过原点；故C选项错误；
D、当x=0时，y=02−1=−1，即y=−1，∴点(0,0)不满足函数的关系式y=x2−1；故D选项错误；
故选：A．
将点(0,0)依次代入下列选项的函数解析式进行一一验证即可．
本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例图象上的点的坐标特征．经过函数图象上的某点，该点一定满足该函数的解析式．
7.【答案】B
【解析】解：∵a⊥b，b⊥c，
∴a//b，
故选B．
根据平行线的判定得出即可．
本题考查了平行线的判定，能灵活运用平行线的判定定理进行推理是解此题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO=CO，BO=DO，AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCOAO=CO∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，AE=CF，∠CFE=∠AEF，
又∵∠DOC=∠BOA，
∴选项A正确，选项B、C、D不正确，
故选：A．
证△AOE≌△COF(ASA)，得OE=OF，AE=CF，∠CFE=∠AEF，进而得出结论．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：把x=1代入方程得1+k−3=0，
解得k=2．
故选：B．
根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k的一次方程1−3+k=0，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10.【答案】B
【解析】解：由抛物线开口向下，即a<0；对称轴−b2a<0，则b<0，c=3>0，
∴abc>0，选项①正确
∵对称轴x=−b2a=−1，
∴b=2a，
∴2a−b=0，选项②正确；
∵当x=−1时，函数的值最大，
∴a−b+c≥am2+bm+c，选项③正确；
∵抛物线对称轴为直线x=−1，与x轴的一个交点为(1,0)，
∴另一个与x的交点为(−3,0)，
∴9a−3b+c=0，选项⑤正确；
∵图象与x轴的交点(−3,0)和(1,0)知−3
故选：B．
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴的交点的确定是解题的关键．
11.【答案】x(x−y)2
【解析】解：x3−2x2y+xy2，
=x(x2−2xy+y2)，
=x(x−y)2．
故答案为：x(x−y)2．
先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12.【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查分式的加法．掌握分式加法法则是解题的关键．
根据同分母分式加法法则，直接让分子相加即可．
【解答】
解：原式=1+aa+1=1．
故答案为：1．
13.【答案】x≠−1
【解析】解：由题意得：x+1≠0，
解得：x≠−1，
故答案为：x≠−1．
根据分母不为0可得：x+1≠0，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
14.【答案】3
【解析】解：如图，作AH⊥x轴于H．
∵cosα=OHOA=45，OH=4，
∴OA=5，
∴AH= OA2−OH2=3，
∴t=3，
故答案为：3．
如图，作AH⊥x轴于H.根据cosα=OHOA=45，OH=4，求出OA，再利用勾股定理求出AH即可解决问题．
本题考查解直角三角形，坐标图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
15.【答案】8π
【解析】解：设弧长为l，
l=120π×12180=8π，
故答案为8π．
根据弧长公式直接解答．
本题考查了弧长公式，直接代入公式解答即可．
16.【答案】14
【解析】解：从甲、乙、丙、丁四名跳高运动员中随机抽取一人参加比赛，抽取甲参加比赛的概率是14．
故答案为：14．
直接根据概率公式求解即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】6
【解析】解：∵点P(1, 2)在“勾股正比例函数”y=a+bcx的图象上，
∴ 2=a+bc，即a+b= 2c，
∵Rt△ABC的面积是9，且已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，
∴12ab=9，即ab=18，a2+b2=c2，
∴c2=a2+b2=(a+b)2−2ab，
∴c2=( 2c)2−36，
解得c=±6，(−6舍去)，
故答案为：6．
由题意得到2个关系式：a+b= 2c，ab=18，结合勾股定理，完全平方公式变形即可求解．
考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给定义和完全平方公式是解答本题的关键．
18.【答案】 13或1
【解析】
【分析】
解：∵△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵∠BAD=∠BAC−∠CAD=90°−∠CAD，
∠CAE=∠DAE−∠CAD=90°−∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，
①如图1，∠CFE=90°时，AF⊥DE，
∴AF=EF= 22AE= 22×3 2=3，
CF=AC−AF=5−3=2，
在Rt△CEF中，CE= EF2+CF2= 32+22= 13，
∴BD=CE= 13；
②如图2，∠CEF=90°时，∠AEC=135°，
由①得，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=135°，
∵∠ADB+∠ADE=135°+45°=180°，
∴点B、D、F三点共线，
过点A作AG⊥DE，
则AG=DG= 22AD= 22×3 2=3，
在Rt△ABG中，BG= AB2−AG2= 52−32=4，
∴BD=BG−DG=4−3=1，
综上所述，BD= 13或1．
故答案为： 13或1．
【分析】
本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，难点在要分情况讨论，∠CEF=90°时证明得到点B、D、F三点共线是解题的关键．
根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，再求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CE，再分①∠CFE=90°时，根据等腰直角三角形的性质可得AF=EF= 22AE，再求出CF的长，然后利用勾股定理列式求出CE，从而得解；②∠CEF=90°，求出∠AEC=135°，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=135°，然后求出点B、D、F三点共线，过点A作AG⊥DE，根据等腰直角三角形的性质求出AG=DG= 22AD，再利用勾股定理列式求出BG，然后根据BD=BG−DG计算即可得解．
19.【答案】解：(1)作AF⊥BC交BC于点F，交DE于点E，如图所示，
由题意可得，CD=EF=3米，∠B=22°，∠ADE=45°，BC=21米，DE=CF，
∵∠AED=∠AFB=90°，
∴∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠ADE，
∴AE=DE，
设AF=a米，则AE=(a−3)米，
∵tanB=AFBF，
∴tan22°=a21+(a−3)，
∴25≈a21+(a−3)，
解得，a=12，
答：楼顶到地面的距离是12米．
【解析】作AF⊥BC交BC于点F，交DE于点E，然后根据题意和锐角三角函数可以求得城门大楼的高度．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
20.【答案】解：(12)−1−(2023−π)0+tan60°+|2− 3|
=2−1+ 3+2− 3
=3．
【解析】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值计算即可．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．
21.【答案】解：(1+2x−3)÷x2−1x2−6x+9
=x−1x−3×(x−3)2(x+1)(x−1)
=x−3x+1，
∵要使原分式有意义，
∴ x可取2．
∴原式=2−32+1=13．
【解析】先将原式化简，再根据分式有意义的条件选取2代入即可．
本题主要考查了分式的化简求值问题，掌握分式有意义的条件是解决本题的关键．
22.【答案】解：(1)∵点D是AC的中点，PC=PB，
∴DP//DB，DP=12AB，
∴∠CPD=∠PBO．
∵BO=12AB，
∴DP=OB，
在△CDP和△POB中CP=PB∠PBO=∠CPDPD=OB，
∴△CDP≌△POB(SAS)；
(2)连接OD，
∵由(1)得DP=AO=OB，DP//OB，
∴四边形BPDO是平行四边形，
∴当OB=BP时，四边形BPDO是菱形，
∵PO=BO，
∴△PBO是等边三角形，
∴∠PBA=60°．
【解析】(1)根据三角形中位线定理可得DP//DB，DP=12AB，进而可得∠CPD=∠PBO，然后再证明BO=DP，可利用SAS判定：△CDP≌△POB；
(2)连接OD，根据全等可得DP=OB，再由AO=BO可得DP=AO=OB，再由DP//OB可得四边形BPDO是平行四边形，然后再利用菱形的性质可得OB=BP，从而证明△PBO是等边三角形，进而可得答案．
此题主要考查了菱形的性质，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握菱形邻边相等，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
23.【答案】800 240
【解析】解：(1)参与本次问卷调查的市民共有：200÷25%=800(人)，
其中选择B类的人数有：800×30%=240(人)，
故答案为：800，240；
(2)∵A类人数所占百分比为：1−(30%+25%+14%+6%)=25%，
∴A类对应扇形圆心角α的度数为360°×25%=90°，A类的人数为800×25%=200(人)，
补全条形图如下：
(3)280×(25%+30%+25%)=280×80%=224(万人)，
答：该市“绿色出行”方式的人数约为224万人．
(1)根据C种出行方式的人数和所占的百分比可以求得参与本次问卷调查的市民人数，再根据B类所占的百分比，即可求得B类的人数；
(2)根据扇形统计图中的数据可以求得A类所占的百分比，从而可以求得A类对应扇形圆心角α的度数和A类的人数，并补全条形统计图；
(3)根据统计图中的数据可以计算出我市“绿色出行”方式的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】解：(1)设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要3x天，
依题意得：4x+14+43x=12，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意．
答：甲工程队单独完成这项工程需要20天．
(2)由(1)可知乙工程队单独完成这项工程所需时间为20×3=60(天)．
设甲工程队工作m天，则乙工程队工作1−m20160=(60−3m)天，
依题意得：10m+3(60−3m)≤190，
解得：m≤10．
答：甲工程队最多工作10天．
【解析】(1)设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要3x天，根据“甲工程队工作4天，乙工程队工作(14+4)天，可完成总工程的12”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)由(1)可得出乙工程队单独完成这项工程所需时间，设甲工程队工作m天，则乙工程队工作(60−3m)天，根据总工程费用=每天支付给甲工程队的工程费×甲工程队工作的时间+每天支付给乙工程队的工程费×乙工程队工作的时间，结合总工程费用不超过190万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】(1)连接OD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵EF是BD的中垂线，
∴DF=BF．
∴∠FDB=∠B，
∵∠C=90°，
∴∠OAD+∠B=90°．
∴∠ODA+∠FDB=90°．
∴∠ODF=90°，
又∵OD为⊙O的半径，
∴DF为⊙O的切线，
(2)连接OF．
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，sinA=45，AB=10，
∴AC=6，BC=8，
∵AO=x，DF=y，
∴OC=6−x，CF=8−y，
在Rt△COF中，
OF2=(6−x)2+(8−x)2
在Rt△ODF中，
OF2=x2+y2
∴(6−x)2+(8−x)2=x2+y2，
∴y=−34x+254(0
(2)连接OF，由题意可知：AO=x，DF=y，OC=6−x，CF=8−y，然后在Rt△COF中与Rt△ODF中利用勾股定理分别求出OF，化简原式即可求出答案．
本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，勾股定理、垂直平分线的性质等知识，综合程度较高．
26.【答案】解：(1)由题意得：
4a−2b+c=016a+4b+c=0c=8，
解得：a=−1b=2c=8．
∴抛物线解析式为y=−x2+2x+8；
(2)存在使△PCD是等腰三角形，理由：
∵y=−x2+2x+8=−(x−1)2+9，
∴抛物线对称轴为直线x=1，
∴D(1,0)，且C(0,8)，
∴OD=1，OC=8．
∴CD= OC2+OD2= 65，
当PC=CD时，如图，
过点C作CE⊥DP于点E，则DE=PE，
∵DE=OC=8，
∴PD=2DE=16，
∴P(1,16)；
当PD=CD= 65时，此时有两解，如图，
则有P1(1,− 65)或P2(1, 65)；
当PC=PD时，过点P作PF⊥CD于点F，如图，
∵点P在对称轴上，
∴可设P(1,m)，则PD=m，
∵PC=PD，PF⊥CD，
∴DF=12CD= 652．
∵PD//OC，
∴∠OCD=∠FDP．
∵∠DOC=∠PFD=90°，
∴△COD∽△DFP．
∴OCCD=DFDP．
∴8 65= 652m，
∴m=6516．
∴P(1,6516).
综上，P点坐标为(1,16)或(1, 65)或(1,− 65)或(1,6516)；
(3)设直线EF交x轴于点H，如图，
∵B(4,0)，
∴OB=4．
设直线BC的解析式为y=kx+n，则：
4k+n=0n=8，
解得：k=−2n=8．
∴直线BC的解析式为y=−2x+8．
∵EF⊥x轴，
∴设E(p,−2p+8)，则F(p,−p2+2p+8)，
∴EH=−2p+8，FH=−p2+2p+8．
∴EF=FH−EH=−p2+4p．
∴S△BCF=S△FCE+S△FBE
=12EF×BO
=12(−p2+4p)×4
=−2p2+8p
=−2(p−2)2+8．
∵−2<0，
∴当p=2时，S△BCF，有最大值8，
此时点E的坐标为(2,4)．
∴当E运动到BC的中点时，△CBF的面积最大，最大面积为8，此时E点坐标为(2,4)．
【解析】(1)由A、B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
(2)可设出P点坐标，则可表示出PC、PD和CD的长，分PD=CD、PC=CD、PC=PD三种情况分别得到关于P点纵坐标的方程，可求得P点坐标；
(3)由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，可设出E点坐标，则可表示出F点的坐标，从而可表示出EF的长，可表示出△CBF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点E的坐标．
本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，等腰三角形的判定与性质，二次函数的极值，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
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