2024届高三数学二轮复习重难点2-6数列的通项公式求法（十四类考点题型）讲义

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【考情透析】
数列的通项公式的求解是高考热点题型，求解方法丰富多彩，是考查学生数学素养的重要载体。
【题型归纳】
核心考点题型一 观察法
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．
【例题1】．（2023秋·新疆喀什·高三统考期末）若数列的前6项为，则数列的通项公式可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】观察每项的特点，分别确定项的符号以及分子分母的取值的规律，即可找出数列的通项公式.
【详解】通过观察数列的前6项，可以发现有如下规律：
且奇数项为正，偶数项为负，故用表示各项的正负；
各项的绝对值为分数，分子等于各自的序号数，
而分母是以1为首项，2为公差的等差数列，
故第n项的绝对值是，
所以数列的通项可为，
故选：D
【例题2】（2023·山东烟台校联考模拟预测）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其各项规律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，记此数列为，则（ ）
A．650B．1050C．2550D．5050
【答案】A
【解析】由条件观察可得：，即，所以是以2为首项，2为公差的等差数列.
故，
故选：A
【变式1-1】．（2023·甘肃中学校张掖联考二模）已知无穷数列满足，写出满足条件的的一个通项公式：___________.（不能写成分段数列的形式）
【答案】（或）（答案不唯一）
【分析】根据猜想.
【详解】由，，，
猜想.
故答案为：.（答案不唯一）
【变式1-2】（2023·辽宁统考三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（ ）
A．22B．24C．25D．26
【答案】B
【解析】设该数列为，
当为奇数时，
所以为奇数；
当为偶数时，
所以为偶数数；
所以，
故选:B.
【变式1-3】．（2023·四川成都模拟预测）将石子摆成如图的梯形形状．称数列为“梯形数”．根据图形的构成，则数列的第项________．
【答案】77
【分析】根据前面图形中，编号与图中石子的个数之间的关系，分析他们之间存在的关系，并进行归纳，用得到一般性规律，即可求得结论．
【详解】由已知的图形我们可以得出：图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：
n=1时，，
n=2时，，
n=3时，，
…
由此我们可以推断：.
∴，
故答案为：77.
【变式1-4】（2023·河南开封高三期末）某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1，2；第二行得到数列；第三行得到数列，则第5行从左数起第6个数的值为________.用表示第行所有项的乘积，若数列满足，则数列的通项公式为________.
【答案】 8
【解析】（1）根据题意，第5行的数列依次为：1,2,2,4,2,8,4,8,2,16,8,32,4,32,8,16,2
从左数起第6个数的值为8；
（2）,
, , ,
故有
则
故答案为：①8；②
核心考点题型二 由an与Sn的关系求通项
若已知数列的前n项和Sn与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解．用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
【例题1】．（2023·辽宁大连校考模拟预测）记为数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；(2)证明：．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）利用退一相减法可得数列的递推公式，再利用累乘法可得数列的通项公式；
（2）利用裂项相消法求数列的前项和，再根据，即可得证.
【详解】（1）由已知①，
所以当时，②，
①②得，整理可得，则，，，，，，
等式左右分别相乘得，
又，所以；
（2）由（1）得，
则，所以，
所以
，
又，所以，
所以，
即.
【例题2】．（2023·山西大同·三模）设正项数列的前n项和为，且，当时，．
(1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，且，求数列的通项公式．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据结合题意可得是以为首项，1为公差的等差数列，进而可得的通项公式；
（2）根据累加法与错位相减法求解即可.
【详解】（1）由，得，
因为，所以，
所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以，
所以，当时，，
当时，也满足上式，
所以数列的通项公式为．
（2）由知：
当时，，
①，
则②，
由得：，
化简得：，
当时，也满足上式，
所以数列的通项公式为．
【例题3】．（2023·陕西统考模拟预测）已知数列满足，等差数列的前n项和为，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)，；(2).
【分析】（1）根据给定的递推公式求出，再求出等差数列公差、首项即可求解作答.
（2）利用（1）的结论求出，再利用错位相减法求和作答.
【详解】（1）当时，，
，当时，，
两式相减，得，即，显然满足上式，因此，
设公差为，则，即，解得，
因此，
所以数列和的通项公式分别为，.
（2）由（1）知，，
则，
于是，
两式相减得：，
所以.
【变式2-1】．（2023·陕西榆林校联考模拟预测）已知数列的各项均不为0，其前n项和满足，，且.
(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据数列与的关系，转化为数列的递推公式，根据等差数列的定义，即可求解；
（2）首先数列，再利用裂项相消法求和.
【详解】（1）当时，，即，
因为，所以，
两式相减得，
因为，所以，
所以是以1为首项，4为公差的等差数列，
是以3为首项，4为公差的等差数列，
所以，，
故.
（2）因为，
所以，
因为，所以
【变式2-2】．（2023·山东青岛三模）已知为数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记的前项和为，证明：．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）根据数列递推式可得，采用两式相减的方法可得，从而构造数列，可求得的通项公式；
（2）由（1）的结论可得的表达式，利用裂项求和法，可得答案.
【详解】（1）当时，，则，
因为，
所以，
两式相减得： ，
所以，，
，，则，即也适合上式，
所以是以5为首项，公比为2的等比数列，
故：，
故；
（2）由（1）得
，
故
，
当时，，故.
【变式2-3】．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C．数列为等差数列 D．－5050
【答案】A
【分析】由可得－＝－1，即数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列可判断C，由求出可判断A，B；由等差数列的前n项和公式可判断D.
【详解】是数列的前n项和，且，
则， 整理得－＝－1（常数），
所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C正确；
所以，故．
所以当时，－，不适合上式，
故故B正确，A错误；
所以， 故D正确．
故选：A.
【变式2-4】．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）数列的前项的和为，已知，，当时，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前项和
【答案】(1) (2)
【分析】（1）当时，由已知变形可得，利用累加法可求得数列的通项公式；
（2）对任意的，计算得出，然后利用等差数列的求和公式可求得.
【详解】（1）解：当时，由可得，
即，因为，，所以时也满足，
当时，，
所以，，
当时，，也满足上式，所以.
（2）解：，对任意的，，
所以，.
核心考点三 累加法求通项
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
= 2 \* GB3 ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
= 3 \* GB3 ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；
= 4 \* GB3 ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．
【例题1】．（2024·陕西安康中学校考模拟预测）在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，故可得，，…，，及累加可得，
则，所以，
则．
故选：B．
【例题2】.（2024·福建泉州高三校联考模拟）已知数列满足，且，若，则正整数为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【答案】B
【解析】，故，，故，
.
故，，即，故，解得.故选：B
【例题3】（2024·河南安阳联考模拟）南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，5，10，17，26，37，则该数列的第19项为（ ）
A．290B．325C．362D．399
【答案】B
【解析】先由条件判断该高阶等差数列为逐项差数之差成等差数列，进而得到，再利用累加法求得，进而可求得.
设该数列为，则由，，，，…
可知该数列逐项差数之差成等差数列，首项为1，公差为2，故，
故，
则，，，…，，
上式相加，得，
即，故.
故选：B.
【变式3-1】．（2024·四川绵阳高三模拟）已知数列满足，，则的通项为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，则当时，，
将个式子相加可得，
因为，则，当时，符合题意，
所以.
故选：D.
【变式3-2】（2023·上海普陀统考一模）若数列满足，（，），则的最小值是 .
【答案】6
【解析】由已知，，…，，，
所以，，
又也满足上式，所以，
设，由对勾函数性质知在上单调递减，在递增，
因此在时递减，在时递增，
又，，所以的最小值是6.
【变式3-3】（2024·云南曲靖统考一模）已知数列满足，，且，若表示不超过的最大整数（例如，），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知等式可推导证得数列为等差数列，由等差数列通项公式可求得，采用累加法可求得，由此可得，分别讨论和时的取值，加和即可得到结果.
【详解】由得：，又，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，
，
，
；
又，当时，；当时，，
.
故选：C.
【变式3-4】．（2023·山东烟台模拟预测）已知数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
【答案】(1) (2)且
【分析】（1）由，利用累加法求数列通项公式，注意验证；
（2）由题设得，讨论的奇偶性分别求出对应前n项和即可.
【详解】（1），
当时
，检验知：当时上式也成立，
故．
（2）．
当为偶数时，；
当为奇数时，且，
又时满足上式，此时；
且.
【变式3-5】．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）设各项都为正数的数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设函数，且，求数列的前n项和．
【答案】(1)，；(2).
【分析】（1）由递推关系，根据累加法求数列的通项公式；
（2）由条件可得，利用错位相减法求数列的前n项和.
【详解】（1）由，可得，
当时，，
以上各式分别相加得，又，
所以当时，，
经检验符合，
所以，；
（2），
，
，
两式相减得：
，
所以，
故，
所以.
核心考点题型四 累乘法求通项
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
【例题1】（2023·山西太原模拟预测）已知数列满足，，则（ ）
A．2023B．2024C．4045D．4047
【答案】C
【解析】，
，
即，
可得，
.
故选：C.
【例题2】．（2023·陕西榆林一中校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，，且（且），若，则（ ）
A．46B．49C．52D．55
【答案】B
【解析】根据递推关系利用累乘法求数列的通项，然后代入计算即可.
因为当时，，即，
所以．
因为．
又，所以．
因为，所以，解得或（舍去）．
故选：B．
【例题3】．（2024·江苏镇江大港中学考二模）已知数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）运用累乘法计算；（2）运用裂项相消法求和.
（1）由题意： ，
，
，
，将代入上式也成立， ；
（2） ，
.
【变式4-1】（2023·四川模拟预测）已知数列满足，，则（ ）
A．2023 B．2024 C．4045 D．4047
【答案】C
【解析】，，即，可得.故选：C.
【变式4-2】（2023·甘肃天水一中模拟预测）若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】B
【解析】依题意，数列满足，，
，所以，
也符合，所以，是单调递增数列，
由，解得，
所以的最大值为.故选：B
【变式4-3】（2023·重庆八中高三模拟预测）已知正项数列的前n项积为，且，则使得的最小正整数n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】由题，，又，，，两式相除可得，
上式两边取对数，可得，即，，
，化简得，解得，
又，即，所以的通项公式为，
，
要使，即，解得，
且，所以满足题意的最小正整数的值为6.故选：C.
【变式4-4】（2024·山西运城高三模拟预测）设数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)对于任意的正整数，，求数列的前项和．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）当时，由可得，两式作差变形可得，利用累乘法可求得数列的通项公式；
（2）求出数列的通项公式，利用奇偶分组求和法、裂项相消法、等比数列的求和公式可求得.
【详解】（1）解：当时，由可得，
上述两个等式作差可得，所以，，则，
所以，，
也满足，故对任意的，.
（2）解：对于任意的正整数，，
所以，
.
核心考点题型五 构造法求通项
（一）型
设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．
【例题1】．（2023·江西南昌高三模拟）若数列满足，则数列的通项公式为________．
【答案】
【详解】
，，，．
是首项为，公比为2的等比数列．
所以．
故答案为 ．
【例题2】（2023·江苏徐州高三模拟）（多选题）已知数列满足，，则下列结论中错误的有（ ）
A．为等比数列B．的通项公式为
C．为递增数列D．的前项和为
【答案】AD
【解析】取倒数后由构造法得为等比数列，得通项公式后对选项逐一判定
由题意得，则，而，
故是首项为，公比为的等比数列，
，得，为递减数列，故A正确，B，C错误，
对于D，，的前项和为，故D正确，
故选：AD
【例题3】．（2023·河南洛阳高三模拟）设数列满足，.
（1）设，求证：是等比数列；
（2）设的前n项和为，求满足的n的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）10.
【分析】（1）代入递推公式证明为常数即可；
（2）根据（1）可得，再求和根据的单调性判断即可
【详解】（1）证明：因为，，所以，
从而，.
所以，
又，
所以是首项为1，公比为2的等比数列.
（2）由（1），得.
由，得，解得.
所以
.
显然为递增数列，
又当时，；
当时，，
所以满足的n的最大值是10.
【变式5-1】．（20244·河北石家庄高三模拟）已知数列满足，，则满足不等式的（为正整数）的值为（ ）．
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【解析】先求得的通项公式，然后解不等式求得的值.
依题意， ，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，
由得，
即，
即，
，
而在上递减，
所以由可知.
故选：D
【变式5-2】（2024·云南昆明高三模拟预测）若数列和满足，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依题意可得是以为首项，为公比的等比数列，即可求出的通项公式，再根据，得到，即可得到的通项公式，最后代入即可；
【详解】解：因为， ，
所以，即，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
又，即，
所以
所以；
故选：C
【变式5-3】．（2024·甘肃兰州高三模拟预测）在数列中，，．
(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由题知数列是首项为，公比为的等比数列，进而得；
（2）由题知为单调递减数列，再根据，，分和两种情况讨论求解即可；
【详解】（1）解：因为在数列中，，，
所以，，
所以，等式两边同加上得，
因为，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，．
（2）解：因为，即
所以，为单调递减数列，
因为，，
所以，时，，时，，
记的前项和为，则，
所以，当时，，；
当时，，，①
，②
所以，①②得：，即，
综上，
（二）型
【例题1】．（2024·山西大同高三模拟）已知数列满足，则数列的通项公式为_____________.
【答案】
【分析】解法一：利用待定系数法可得，结合等比数列分析运算；解法二：整理得，结合等比数列分析运算；解法三：整理得，根据累加法结合等比数列求和分析运算.
【详解】解法一：设，整理得，可得，
即，且，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即；
解法二：(两边同除以) 两边同时除以得：，
整理得，且，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即；
解法三：(两边同除以)两边同时除以得：，即，
当时，则
，
故，
显然当时，符合上式，故.
故答案为：.
【例题2】（2024·银川一中高三专题模拟）若是数列的前n项和，已知，,且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得当时，，设，得，又因为，，所以也满足上式，
所以数列是以首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
所以
故.故选：A.
【变式5-4】（2023·山西太原高三统考期中）（多选）已知数列中，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．是递增数列 C． D．
【答案】BD
【解析】由，可得，则，
又由，可得，所以数列表示首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，由，所以A不正确；
由，即，所以是递增数列，所以B正确；
由，所以C错误；
由，，所以，所以D正确.故选：BD.
【变式5-5】．（2023·陕西宝鸡高三模拟）已知在数列中，，，则______．
【答案】
【分析】由构造法可得，所以数列是以为首项，
为公比的等比数列，即可求出数列的通项公式.
【详解】因为，，所以，
整理得，所以数列是以为首项，
为公比的等比数列，所以，解得．
故答案为：.
【变式5-6】（2023·湖北模拟预测）已知数列的前项和为
（1）试求数列的通项公式；
（2）求.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意，两边同时除以，将其变形为，即，由等差数列的定义可知是以首项为、公差为的等差数列，
所以，即.
（2）由（1）可知，显然当时，有，
当时，有，
所以，两式相减得
.
而当时，也有，综上所述：，.
（三）型
【例题1】（2023·山西模拟预测）（多选）已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】由，可得：
所以数列是首项为，公比为2的等比数列，则，
故.
所以，，，.
则，所以选项A错误，选项B、D正确.
因为所以正确．故选：BCD．
【例题2】．（2023·云南曲靖一中高三专题模拟）已知数列是首项为.
(1)求通项公式；(2)求数列的前项和.
【解析】（1），设，
即，即，解得，
，故是首项为，公比为的等比数列.
，故.
（2），则
.
【变式5-7】．（2023·江西婺源高三专题模拟）已知：，时，，求的通项公式．
【解析】设，所以，
∴ ，解得：，
又 ，∴ 是以3为首项， 为公比的等比数列，
∴ ，∴ ．
【变式5-8】．（2024·江苏镇江高三专题检测）已知数列满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和
【解析】（1），
由此可得数列构成以为首项，公比的等比数列，
利用等比数列通项公式得： ，
所以数列的通项公式为：.
（2）由（1）得
，
（四）型
【例题1】．（2023·山西太原高三模拟）已知数列满足，，，求
【答案】=．+．
【分析】法1：构造为等比数列，求出其通项，再分奇偶讨论，利用累加法求解即可；法2：利用二阶特征根方程求解得到，根据，列方程组求出和即可.
【详解】法1：已知，所以，
则是首项为，公比为3的等比数列，
故，则，
得，
当n为奇数时，，，，，，
累加可得，，
所以，
当n为偶数时，，
综上，；
法2：由特征根方程得，，，
所以，其中，解得，，
.
【例题2】（2023·湖北高三模拟预测）已知数列满足：，设，．则__________．
【答案】
【解析】依题意，
，
所以数列是首项，公比为的等比数列，
所以，.
，也满足，
所以，
，
所以.
故答案为：
【例题3】．（2023·云南昆明高三模拟）已知数列满足，求数列的通项公式．
【答案】.
【解析】用待定系数法构造数列，再利用迭代法求通项公式；也可用数列的特征根求解.
解法一：（待定系数——迭加法）
由，得，且．
则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是,
把代入，得，,,，．
把以上各式相加，得.
所以．
解法二：（特征根法）：
数列：，
的特征方程是：．
所以
又由，于是，
故.
【变式5-9】（2023·湖南长沙高三模拟）数列满足，且，求通项.
【答案】
【解析】因为，所以，又，所以，由等比数列定义知，数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，
累加法可得：，
所以，又符合该式，故.
【变式5-10】（2023·江苏·统考三模）已知数列满足，，．
(1)证明：是等比数列；
(2)证明：存在两个等比数列，，使得成立．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）由构造出，用等比数列定义证明即可；
（2）通过两次构造等比数列，求出的通项公式，根据通项公式得出结论即可.
（1）由已知，，∴，
∴，
显然与，矛盾，∴，
∴，
∴数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）∵，∴，
∴，
显然与，矛盾，∴，
∴∴，
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴，①，
又∵由第（1）问，，②，
∴②①得，，
∴存在，，两个等比数列，， 使得成立．
（五）型
【例题1】（2023·广东茂名高三校考模拟）已知，，（，），为其前项和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由（，）可得，已知，，所以，
即是一个以3为首项，2为公比的等比数列，
所以，即，
，，，，，
，故选B.
【例题2】．（2023·山西太原高三模拟）(1)已知数列，其中，，且当时，，求通项公式；
(2)数列中，，，，求．
【解析】(1)由得：，
令，则上式为．
因此是一个等差数列，，公差为1，故．
由于，
又，，即．
(2)由递推关系式，得，
令，则，且．
符合该式，
，
令，则，即，
即，且，
故是以为首项，为公比的等比数列．
，即，
.
【变式5-11】．（2023·福建福州·统考模拟预测）已知数列满足，.
(1)若，求数列的通项公式；
(2)求使取得最小值时的值.
【答案】(1) (2)或
【分析】（1）根据可得，即，再利用累加法求解即可；
（2）根据数列的通项公式判断出数列的单调性，结合数列的单调性即可得解.
【详解】（1），
由，
得，即，
当时，
，
所以，
当时，上式也成立，所以；
（2）由（1）可知，，
当时，，即，当时，，即，
当或时，，即，
则数列在且上递减，在且上递增，，
所以取得最小值时或.
【变式5-12】．（2023·甘肃白银统考模拟预测）已知是数列的前项和，，，，求数列的通项公式___________.
【答案】
【分析】
根据已知条件构造，可得是公比为的等比数列，即，再由累加法以及分组求和即可求解.
【详解】
因为，
所以，
因此，
因为，，所以，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
所以当时，
，，，，，
以上各式累加可得：
，
因为，
所以；
又符合上式，所以.
故答案为：.
核心考点题型六 取倒数法
对于，取倒数得．
当时，数列是等差数列；当时，令，则，可用待定系数法求解．
【例题1】（2023·四川巴中高三模拟预测）已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为数列的首项，且各项满足公式，则，，，以此类推，对任意的，，
由可得，所以，，
所以，数列是等差数列，且首项为，公差为，
，因此，.故选：B.
【例题2】（2023秋·四川绵阳高三质检）已知数列中，，，则数列的前10项和（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】∵，∴，∴．
∴数列是首项为，公差为的等差数列，∴，∴．
∴，
∴数列的前10项和．故选:C
【例题3】．（2023春·新疆乌鲁木齐高三校考）已知数列中，，．则数列的通项
【答案】
【分析】首先证得是等差数列，然后求出的通项公式，进而求出的通项公式；
【详解】解：因为，
所以令，则，解得，
对两边同时除以，得，
又因为，
所以是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，
所以；
【变式6-1】（2023·河南郑州统考模拟预测）已知数列各项均为正数，，且有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
显然若，则，则，，与题意矛盾，
所以，，两边同时取倒数，得：，
设，，，，
因为，故，故，所以为等比数列，
所以，故，所以，
故，故选：D.
【变式6-2】．（2023·浙江金华统考模拟预测）已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式；(2)求证：数列的前n项和.
【解析】（1）因为，，故，
所以，整理得．
又，，，所以为定值，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，得.
（2）因为，
所以．
【变式6-2】（2023·江苏镇江市第二高级中学校考模拟预测）已知数列满足，则下列结论正确的有（ ）
A．为等比数列 B．的通项公式为
C．为递增数列 D．的前n项和
【答案】ABD
【分析】根据已知证明为定值即可判断A；由A选项结合等比数列的通项即可判断B；作差判断的符号即可判断C；利用分组求和法即可判断D.
【详解】因为，
所以+3，所以，
又因为，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；
，即，故B正确；
因为，
因为，所以，
所以，所以为递减数列，故C错误；
，
则，故D正确.
故选：ABD.
【变式6-3】．（2023·山东济南·模拟预测）已知数列满足．若，则______；若，则______．
【答案】 2604 【解析】由取倒数得，即，
则当时，，
当时，上式也成立，于是得，
当时，，有，于是得；
当时，，即，所以.
故答案为：2604；
【变式6-4】．（2023·山东济南·模拟预测）已知数列满足，，则数列的通项公式为______.
【答案】
【解析】将已知递推关系式变形为，令，采用倒数法可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得后，整理可得所求通项公式.
由得：，
设，则有，即，又，
数列是以，为公差的等差数列，，
，即，.
故答案为：.
核心考点题型七 取对数法
形如的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解．
【例题1】．（2023•安徽蚌埠三模）已知数列满足，若，则的最大值为 ．
【解析】解：数列满足，
．
，，变形为：，
．
数列是等比数列，首项为，公比为．
．
则．
，只考虑为偶数时，
时，．时，．
因此（4）取得最大值．最大值为．
故答案为：．
【例题2】．（2023•江苏南京二模）已知数列，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
令，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，进而可求得的值.
【详解】
由可得，
，根据递推公式可得出，，，
进而可知，对任意的，，
在等式两边取对数可得，
令，则，可得，则，
所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，
，
即.
故选：B.
【变式7-1】．（2023·陕西榆林联考模拟预测）已知正项数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前n项和，且．求数列的通项公式．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）利用换底公式和累乘法求出数列的通项公式；
（2）由作差法求出数列的通项公式．
【详解】（1）已知（且），
设，则，
所以，
当时，．
即，所以，
当时，符合上式，
所以；
（2），
当时，，
当时，，
则．
【变式7-2】．（2023·山西运城高三模拟检测）已知数列满足，则________
【答案】
【解析】
等价变形，换元设，得
，两边取对数，得是首项，公比的等比数列，求出可解 .
【详解】
，，
，设，则，，两边取对数，
， ，所以是首项，公比的等比数列， ， ，
故答案为：
【变式7-3】．（2023·四川成都高三模拟）已知为正项数列的前n项的乘积，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求证：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）由，两式相除结合对数运算得，代入数值可得数列是常数列，即可得通项公式；
（2）不等式由裂项相消法求和放缩即可证.
【详解】（1），
所以，所以，
所以，即，
所以，
当时，，解得，
所以，所以数列是常数列，
所以，所以，
所以．
（2）证明：因为，
所以
【变式7-4】．（2023·河南洛阳高三模拟）已知数列满足，.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和，求证：.
【解析】（1）因为，所以，
则，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
所以；
（2）由，得，
则，
所以，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以.
核心考点题型八 同除以指数
形如 ，）的递推式，当时，两边同除以转化为关于的等差数列；当时，两边人可以同除以得，转化为．
【例题1】．（2023·宁夏银川一中高三模拟）已知数列满足，则数列的通项公式为 .
【答案】
【解析】解法一：设，整理得，可得，
即，且，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即；
解法二：(两边同除以) 两边同时除以得：，
整理得，且，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即；
解法三：(两边同除以)两边同时除以得：，即，
当时，则
，
故，
显然当时，符合上式，故.
故答案为：.
【例题2】．（2023·河北保定高三模拟）数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为___________.
【答案】．
【分析】已知式两边同除以，构造一个等差数列，由等差数列的通项公式可得结论．
【详解】∵，所以，即，
∴是等差数列，而，
所以，
所以．
故答案为：．
【变式8-1】（2023·河北唐山·二模）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(3)求证：对任意的，.
【解析】(1)解：设等差数列的公差为，
因为，
则，
解得或（舍去），所以；
(2)证明：因为，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以；
(3)证明：由（2）得，
故，
所以.
【变式8-2】．（2023·重庆八中高三模拟）已知数列中，，则数列的通项公式为
【解析】解：由，
得：，∴，
即数列是首项为1，公差为2的等差数列，
∴，得．
【变式8-3】（2023·四川成都模拟预测）已知数列满足，.
(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和.
【解析】(1)因为，所以，
由于，
因此，
所以，即.
于是，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.
(2)由（1）知，故，
所以，
，
两式相减，得，
所以.
核心考点题型九 不动点法求通项
（1）定义：方程的根称为函数的不动点．
利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法．
（2）在数列中，已知，且时，（是常数），
= 1 \* GB3 ①当时，数列为等差数列；
= 2 \* GB3 ②当时，数列为常数数列；
= 3 \* GB3 ③当时，数列为等比数列；
= 4 \* GB3 ④当时，称是数列的一阶特征方程，
其根叫做特征方程的特征根，这时数列的通项公式为：；
（3）形如，，（是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为（*）．
（1）若方程（*）有二异根、，则可令（、是待定常数）；
（2）若方程（*）有二重根，则可令（、是待定常数）．
(其中、可利用，求得)
【例题1】（2023·四川成都高三专题检测）若（，且）则数列的通项公式为 ．
【答案】
【解析】根据迭代数列，构造函数，易知有唯一的不动点，
根据定理3可知，，，，
则，即数列是以首项，公差为的等差数列．
则对应的通项公式为，解得，
又也满足上式．
∴的通项公式为．
【例题2】（2023·云南昆明高三专题检测）已知数列满足性质：对于且求的通项公式.
【答案】
【解析】依定理作特征方程变形得其根为
故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有
，
∴
∴，即
【例题3】（2023·全国·陕西宝鸡高三专题检测）已知数列满足，．求数列的通项公式．
【答案】
【解析】依题，记，令，求出不动点或3
所以，，∴，
又，所以，……，，，
∴．
又，令，则数列是首项为，公比为的等比数列．
∴．由，得．
∴．
【变式9-1】．（2023·山东青岛高三专题检测）已知，，求的通项公式．
【答案】．
【分析】先将条件进行变形，化简为，进而变形为，然后通过等比数列的概念求得答案．
【详解】由题意，
，
所以，则，而，
故是以为首项，3为公比的等比数列．
于是．
【变式9-2】（2022·四川广元高三专题检测）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式．
【答案】
【解析】令．先求出数列的不动点，解得．
将不动点代入递推公式，得，
整理得，，
∴．
令，则，．
∴数列是以为首项，以1为公差的等差数列．
∴的通项公式为．
将代入，得，∴．
【变式9-3】．（2023·江苏连云港高三专题检测）已知，，则的通项公式为______．
【答案】
【分析】根据递推公式构造得到数列是等比数列，根据等比数列求通项公式.
【详解】，①．②
由得．
又因为，所以是公比为，首项为的等比数列，从而，即．
故答案为：
核心考点题型十 周期数列
【例题1】．（2023·四川成都高三模拟）已知数列满足，若，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】由得
，
所以数列的周期为3，所以．
故选：B
【例题2】（2023·山西太原一中校考模拟预测）已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】∵，，∴，故A错误；
，，
∴数列是以3为周期的周期数列，∴，故B错误；
∵，，
∴，故C正确；
，故D错误．
故选：C．
【变式10-1】．（2023·云南曲靖一中校考模拟预测）已知数列满足：，，，，则（ ）.
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】 即
又 是以为周期的周期数列.
故选：C
【变式10-2】．（2023·天津南开中学校考模拟）已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，
，，，，，
数列是以为周期的周期数列．
又， ．
故选：B．
【变式10-3】．（2023秋·河南洛阳高三校考期末）已知数列满足且，为数列的前n项和，则=________．
【答案】2026
【分析】根据递推公式推出数列是以3为周期的数列，求出和，则，代入相应值计算即可．
【详解】由得，则，
则，所以数列是以3为周期的数列，
在中，令，得，得，得，
在中，令，得，得，得，
所以+
.
故答案为：
核心考点题型十一 等和数列
【例题1】．（2023·河北石家庄二模）已知为数列的前项和，，，则（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2024
【答案】C
【解析】当时， ，
当时，由得，
两式相减可得 ，即，
所以，可得，所以.
故选：C.
【例题2】．（2023·山东烟台高三模拟）设数列的前n项和为，，且，若，则n的最大值为（ ）
A．50B．51C．52D．53
【答案】B
【解析】已知式变形后得出是以－1为公比的等比数列，从而可求出通项公式，然后由分组求和法求得，结合函数单调性可得结论．
∵，∴，
∵是以－1为公比的等比数列，∴，
,
∴，
当n为偶数时，无解，当n为奇数时，，
∴，又，∴，即，
即，在上是增函数，又n为奇数，，，
故n的最大值为51.
故选：B.
【例题3】．（2023·陕西榆林一中校考一模）数列满足，则___________.
【答案】
【分析】根据题意得利用的值，结合等差数列求和公式求解.
【详解】由题可得
因为
，
又因为，
故答案为：.
【变式11-1】．（2023·山西运城高三模拟）已知数列中，，，，则（ ）
A．4B．2C．-2D．-4
【答案】D
【解析】根据递推关系可得数列是以3为周期的数列，即可求出.
因为，，，所以，
则，，，…，
所以数列是以3为周期的数列，
则.
故选：D.
【变式11-2】．（2023·云南曲靖高三模拟）数列满足，，且其前项和为.若，则正整数（ ）
A．99B．103C．107D．198
【答案】B
【解析】由得，
∴为等比数列，∴，
∴，，
∴，
①为奇数时，，；
②为偶数时，，，
∵，只能为奇数，∴为偶数时，无解，
综上所述，.
故选：B.
【变式11-3】．（2023•河南开封高三模拟）若数列满足为常数），则称数列为等比和数列，称为公比和，已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则 ．
【解析】解：由，，
，即，
，，，即，
，，，．
，
由此可知．
故答案为：．
【变式11-4】．（2023•云南昆明高三模拟）若数列满足，则 ．
【解析】解：，
则
．
故答案为：．
核心考点题型十二 等积数列
【例题1】．（2023秋·福建·高三统考开学考试）已知数列满足，,则的前项积的最大值为（ ）
A．B．C．1D．4
【答案】C
【解析】先通过递推关系推出数列的周期为，然后个数为一组，分别计算的表达式后进行研究.
由可知，，，亦可得：，两式相除得：，即，所以数列是以为周期的周期数列，由得：.
记数列的前项积为，结合数列的周期性，当，则，记，为了让越大，显然需考虑为偶数，令，结合指数函数的单调性，则，即；类似的，.综上所述，的前项积的最大值为.
故选：C.
【变式12-1】．（2023·河北保定高三模拟）已知数列满足，若的前n项积的最大值为3，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定递推关系，探讨数列的周期性，再讨论计算作答.
【详解】数列中，，，则有，因此，，，
因数列的前n项积的最大值为3，则当，的前n项积，
当，的前n项积，
当，的前n项积，解得，
当，的前n项积，
当，的前n项积，
当，的前n项积，解得，
显然，综上得或，
所以的取值范围为.
故选：A
核心考点题型十三 前n项积型
【例题1】．（2023·湖南长沙高三模拟）记为数列的前项和，为数列的前项积，已知，则的通项公式为______.
【答案】
【解析】由题意可得，利用及等差数列的定义求出的通项公式，进而可得，再利用当时求解即可.
由已知可得，且，，
当时，由得,
由于为数列的前项积，所以，，
所以，
又因为，所以，即，其中，
所以数列是以为首项，以为公差等差数列，
所以，，
当时，，
当时，，
显然对于不成立，
所以，
故答案为：
【例题2】．（2023·江苏无锡高三模拟）设为数列的前n项积．已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【解析】（1）依题意，是以1为首项，2为公差的等差数列，则，
即，当时，有，两式相除得，，
显然，即，因此当时，，即，
所以数列的通项公式.
（2）设的前项和为，由（1）得，，于是，
因此，
则，
所以数列前项和为.
【变式13-1】．（2023·吉林长春模拟预测）已知数列的前项的积
(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，求.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）当时，，即可求出答案；
（2），由此可求得答案.
【详解】（1），
当时，.
当时，，满足上式，
.
（2）
【变式13-2】．（2023·湖北武汉第一中学校考）已知数列的前n项之积为，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求的最大值．
【解析】（1）∵①，∴②，
由①②可得，由①也满足上式，∴③，
∴④，由③④可得，
即，∴，∴．
（2）由（1）可知，则，
记，
∴，
∴，
∴，即单调递减，
∴的最大值为．
【变式13-3】．（2023·辽宁抚顺高三模拟）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）求数列的通项公式；（2）求的通项公式．
【解析】解析：（1）将代入，得，
整理得．
当时，得，所以数列是以为首项，为公差等差数列．
所以．
（2）由（1）得，代入，可得．
当时，；
当时，
所以．
核心考点题型十四 双数列问题
【例题1】．（2023·河北石家庄三模）已知数列和满足．
(1)证明：是等比数列，是等差数列；
(2)求的通项公式以及的前项和．
【解析】(1)证明：因为，
所以，即，
所以是公比为的等比数列．
将方程左右两边分别相减，
得，化简得，
所以是公差为2的等差数列．
(2)由（1）知，
，
上式两边相加并化简，得，
所以．
【例题2】．（2023·江苏徐州高三专题检测）数列,满足,且,.
(1)证明:为等比数列; (2)求,的通项.
【解析】（1）证明：由，可得：，
，代入，
可得：，
化为：，
，
为等比数列，首项为-14，公比为3.
（2）由（1）可得：，
化为：，
数列是等比数列，首项为16，公比为2.
，
可得：，
.
【变式14-1】．（2023·陕西榆林高三模拟预测）两个数列､满足，，，（其中），则的通项公式为___________.
【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
所以，即，所以的特征方程为，解得特征根或，
所以可设数列的通项公式为，因为，，
所以，所以，解得，
所以，所以；
故答案为：
【变式14-2】．（2024·云南昆明高三模拟）已知数列和满足，，，.则＝_______.
【答案】
【解析】，，且，，则，
由可得，代入可得，
，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
在等式两边同时除以可得，
所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，
所以，，，
则，
因此，.
故答案为：.
【变式14-3】．（2023·吉林长春·模拟预测）已知数列和满足，，，，则______，______．
【答案】
【解析】由题设，，则，而，
所以是首项、公比均为2的等比数列，故，
，则，
令，则，
故，而，
所以是常数列，且，则.
故答案为：，.