重难点5-1 数列通项公式的求法（8题型+满分技巧+限时检测）-2025年高考数学热点重点难点专题练习（新高考专用）

这是一份重难点5-1 数列通项公式的求法（8题型+满分技巧+限时检测）-2025年高考数学热点重点难点专题练习（新高考专用），文件包含重难点5-1数列通项公式的求法8题型+满分技巧+限时检测原卷版docx、重难点5-1数列通项公式的求法8题型+满分技巧+限时检测解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。

数列的通项公式求法是高考数学的必考考点，通常在选择题、填空题与解答题第一问中考查。难度中等，但有时在同一个题目中会涉及到多种方法综合性较强。
【题型1 观察法求通项】
【例1】（2023·河北张家口·高三尚义县第一中学校联考阶段练习）已知数列，则是这个数列的（ ）
A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项
【变式1-1】（2023·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）数列，，，，的一个通项公式是an=（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·河南·高三校联考期中）数列的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《解析九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第三十六层球的个数为（ ）
A．561 B．595 C．630 D．666
【题型2 由Sn与an关系求通项】
【例2】（2023·山东潍坊·高三校考期中）数列前项和，则该数列的第4项为（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
【变式2-1】（2023·陕西渭南·高三校考阶段练习）数列的前项和为，若，则 ．
【变式2-2】（2023·黑龙江·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，若，且都有，则（ ）
A．是等比数列 B． C． D．
【变式2-3】（2023·四川·校联考三模）已知数列满足，则的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，且数列的前项和为．若的最大值为，则实数的最大值是 ．
【题型3 累加法求通项】
【例3】（2023·福建·高三校联考期中）已知数列满足，且，若，则正整数为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【变式3-1】（2023·广东佛山·高二佛山市荣山中学校考期中）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·山西·高三校联考阶段练习）在等比数列中，，则 .
【变式3-3】（2023·上海普陀·统考一模）若数列满足，（，），则的最小值是 .
【变式3-4】（2023·北京·高三汇文中学校考期中）已知数列满足，，，.则集合中元素的个数为 .
【题型4 累乘法求通项】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知中，，且，求数列通项公式.
【变式4-1】（2023·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【变式4-2】（2023·河南·模拟预测）已知数列满足，，则（ ）
A．2023 B．2024 C．4045 D．4047
【变式4-3】（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）已知正项数列的前n项积为，且，则使得的最小正整数n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式4-4】（2023·河南·高三校联考开学考试）数列的首项为2，等比数列满足且，则的值为 ．
【题型5 构造法求通项】
【例5】（2023·江苏淮安·盱眙中学校考模拟预测）在数列中，，且，则的通项为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）已知数列中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·山西太原·高三统考期中）（多选）已知数列中，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．是递增数列 C． D．
【变式5-4】（2023·浙江·模拟预测）已知数列的前项和为
（1）试求数列的通项公式；
（2）求.
【题型6 倒数法求通项】
【例6】（2022·重庆·高三西南大学附中校考阶段练习）已知数列满足：，，则( )
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023·全国·高三课时练习）已知数列满足，则数列的前2017项和（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知数列各项均为正数，，且有，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列的首项，且满足．若，则n的最大值为 ．
【题型7 三项递推法求通项】
【例7】（2023·四川成都·高三成都七中校考期中）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）在数列中，，若，则（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
【变式7-2】（2023·广东茂名·高三校考阶段练习）已知，，（，），为其前项和，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）数列满足，且，求通项.
【变式7-4】（2023·全国·高三对口高考）数列满足：，，且，则数列的通项公式为 ．
【题型8 不动点法求通项】
【例8】（2023·全国·高三专题练习）若（，且）求数列的通项公式．
【变式8-1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足性质：对于且求的通项公式.
【变式8-2】（2022·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式．
【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）数列满足下列关系：，，，求数列的通项公式．
【变式8-4】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，．求数列的通项公式．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·四川内江·校考模拟预测）已知数列1，，，，3，，…，，…，则7是这个数列的（ ）
A．第21项 B．第23项 C．第25项 D．第27项
2．（2023·天津·高三天津市咸水沽第一中学校考期中）设是数列的前项和，已知且，则（ ）
A．9 B．27 C．81 D．101
3．（2023·陕西安康·安康中学校考模拟预测）在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·陕西汉中·高三统考阶段练习）设数列满足，且，则数列的前9项和为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·天津北辰·高三统考期中）已知数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C．16 D．32
6．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知数列的前n项和为，若，，（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）数列满足（），则等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·高二单元测试）已知数列满足=，，则数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·安徽亳州·高二亳州二中校考期中）（多选）已知数列满足，，数列的前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·福建福州·高三校考阶段练习）（多选）已知数列的前项的和为，，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是等比数列 C． D．
11．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，则该数列的通项公式为 ．
12．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知数列满足：，，若，则数列的前50项和为 .
13．（2023·广东佛山·高三佛山市第四中学校考开学考试）已知，，则数列的通项公式是 ．
14．（2022·福建漳州·高三校考期中）已知为数列的前项和，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
15．（2023·湖南衡阳·高二校考期末）已知数列满足，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.满分技巧
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．
满分技巧
若已知数列的前项和与的关系，
求数列的通项可用公式构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
满分技巧
适用于an＋1＝an＋f(n)，可变形为an＋1－an＝f(n)
利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解
满分技巧
适用于an＋1＝f(n)an，可变形为eq \f(an＋1,an)＝f(n)
要点：利用恒等式an＝a1·eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·…·eq \f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解
满分技巧
1、形如（其中均为常数且）型
设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．
2、形如型
（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：
设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列；
（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：—①，，两边同时乘以得—②，由①②两式相减得，即，构造等比数列。
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：。
满分技巧
形如an＋1＝eq \f(pan,qan＋r)(p，q，r是常数)，可变形为eq \f(1,an＋1)＝eq \f(r,p)·eq \f(1,an)＋eq \f(q,p)
要点：①若p＝r，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列，且公差为eq \f(q,p)，可用公式求通项；
②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解
满分技巧
适用于形如型的递推式
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．
满分技巧
（1）定义：方程的根称为函数的不动点．
利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法．
（2）在数列中，已知，且时，（是常数），
= 1 \* GB3 ①当时，数列为等差数列；
= 2 \* GB3 ②当时，数列为常数数列；
= 3 \* GB3 ③当时，数列为等比数列；
= 4 \* GB3 ④当时，称是数列的一阶特征方程，
其根叫做特征方程的特征根，这时数列的通项公式为：；
（3）形如，，（是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为（*）．
（1）若方程（*）有二异根、，则可令（、是待定常数）；
（2）若方程（*）有二重根，则可令（、是待定常数）．
(其中、可利用，求得)