2024届高三数学二轮复习重难点2-9立体几何的截面问题（八类考点题型）讲义

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空间中截面问题和轨迹问题，是高考常考题型，常以客观题出现，此类题目综合考察考生的空间想象能力和逻辑推理能力，处理这类问题的基本思想是借助空间点线面的位置关系和相应的定理，将空间问题平面化。
【归纳题型】
核心考点题型一 截面作图
（一）平行线法
【例题1】（2023.四川成都高三模拟）已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于两点），点在上满足，若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例题2】（2023·江苏盐城高三专题检测）如图，棱长为2的正方体ABCD–A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过E作平面，使得//平面BDF.
(1)作出截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面，写出作图过程并说明理由；
(2)求平面与平面的距离.
【变式1-1】（2023秋·河北石家庄高三模拟） 已知直四棱柱的底面为正方形，，为的中点，则过点，和的平面截直四棱柱所得截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023秋·山东青岛高三模拟）如图，已知正方体，点为棱的中点.

(1)证明：平面. (2)证明：.
(3)在图中作出平面截正方体所得的截面图形(如需用到其它点，需用字母标记并说明位置)，并说明理由.
【变式1-3】 （2023秋·河南安阳高三模拟）如图，在棱长为1的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且∥截面，则线段长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（二）相交线法
【例题1】（2023·陕西宝鸡高一检测）如图，正方体的棱长为6，是的中点，点在棱上，且.作出过点，，的平面截正方体所得的截面，写出作法；
【例题2】（2023·四川绵阳高三模拟）棱长为6的正方体中，点E是线段的中点，点F在线段上，，则正方体被平面所截得的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-4】（2023·甘肃武威高三模拟） 在正方体中，，为棱的四等分点（靠近点），为棱的四等分点（靠近点），过点，，作该正方体的截面，则该截面的周长是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-5】（2023·陕西榆林高三模拟） （1）如图，棱长为2的正方体中，，是棱，的中点，在图中画出过底面中的心且与平面平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：______；
（2）作出平面与四棱锥的截面，截面多边形的边数为______．
【变式1-6】（2023·云南曲靖高三模拟） 在正方体，中，，分别为正方形和的中心，，则平面截正方体所得截面的周长是（ ）
A．10B．40C．D．
核心考点题型二 截面形状判定
【例题1】（2023秋·江西婺源高三模拟）如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题中正确命题的个数为（ ）
①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形；
③当时，S与的交点满足；④当 时，S为六边形；
A．1B．2C．3D．4
【例题2】（2023·四川成都双流中学校考期中）已知正方体的棱长为,为线段上的动点，过点的平面截该正方体的截面记为，则下列命题正确的个数是（）
①当且时，为等腰梯形；
②当分别为的中点时，几何体的体积为；
③当为中点且时，与的交点为，满足；
④当为中点且时，为五边形.
A．1B．2C．3D．4
【变式2-1】（2023·甘肃张掖中学校考期中）如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过A､P､Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，为四边形B．当时，为等腰梯形
C．当时，为六边形D．当时，的面积为
【变式2-2】（2023秋·河北武汉高三期中）如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形为矩形，若沿将其侧面剪开，其侧面展开图形状大致为（ ）
A．B．C．D．
核心考点题型三 截面的周长
【例题1】．（2023秋·山西大同高三检测）已知直三棱柱的侧棱长为2，，，过，的中点，作平面与平面垂直，则所得截面周长为 ．
【例题2】．（2023秋·四川成都高三检测）已知正方体的棱长为6，E、F分别是、的中点，则平面CEF截正方体所得的截面的周长为______．
【变式3-1】．（2023秋·江苏无锡高三模拟）棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则过，，三点的平面截正方体的截面周长为 ．
【变式3-2】（2023·四川泸州·四川省泸县第二中学校联考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体，中，点E为CD的中点，则过点C且与垂直的平面被正方体截得的截面周长为 ．
【变式3-3】（2023·山东烟台高三联考模拟预测）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（ ）
A．2+2B．C．D．
【变式3-4】（2023·甘肃天水高三模拟预测）已知直三棱柱的侧棱长为2，，，过，的中点，作平面与平面垂直，则所得截面周长为 ．
核心考点题型四 截面的面积
【例题1】（2023秋·四川成都高三模拟预测）在棱长为2的正方体中，P，Q是，的中点，过点A作平面，使得平面平面，则平面截正方体所得截面的面积是（ ）
A．B．2C．D．
【例题2】（2023秋·江苏镇江第二高级中学校考开学考试）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 ．

【变式4-1】（2023秋·河南信阳高三模拟）在一次通用技术实践课上，木工小组需要将正方体木块截去一角，要求截面经过面对角线上的点（如图），且与平面平行，已知，，则截面面积等于 .
【变式4-2】（2023·江苏泰州中学高三校考检测）正方体的棱长是，其中是中点，是中点，则过点的截面面积是．
【变式4-3】（2023·河南洛阳高三模拟）棱长为2的正方体中，，分别是、的中点，过平面做正方体的截面，则这个截面的面积为______．
核心考点题型五 截面切割几何体的体积问题
【例题1】（2023·辽宁沈阳高三模拟）在斜三棱柱中，，分别为侧棱，上的点，且知，过，，的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2023秋·贵州贵阳一模）在三棱柱中，底面，，点P是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为 .
【例题3】（2023秋·江西九江高三模拟）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，为的中点.过作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】（2023秋·广东揭阳华侨中学联考）如图，正方体中，E､F分别是棱､的中点，则正方体被截面BEFC分成两部分的体积之比 .
【变式5-2】（2023秋·陕西榆林高三联考） 如图，正方体中，点，，分别是，的中点，过点，，的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】（2023秋·安徽合肥统考期末）在棱长为a的正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，过点A，E，F作一个截面，该截面将正方体分成两个多面体，则体积较小的多面体的体积为 .
【变式5-4】（2023·辽宁锦州·校考一模）在正四棱锥中，为的中点，过作截面将该四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为，则的最大值是 .
【变式5-5】（2023秋·湖南长沙高三期末）在正四棱锥中，M在棱上且满足.过作截面将此四棱锥分成上，下两部分，记上，下两部分的体积分别为，，则的最大值为 .
核心考点题型六 球与截面问题
【例题1】．（2023秋·云南曲靖高三期末）已知正四面体ABCD的表面积为，E为棱AB的中点，球О为该正四面体的外接球，则过DE的平面被球О所截得的截面面积最小值为（ ）
A．B．C．D．
【例题2】．（2023秋·四川成都高三期末）已知三棱锥满足底面，在中，，，，是线段上一点，且，球为三棱锥的外接球，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为，则球的表面积为（ ）
A．72πB．86πC．112πD．128π
【例题3】．（2023秋·河北保定高三期末）已知球和正四面体，点在球面上，底面过球心，棱分别交球面于，若球的半径，则所得多面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】．（2023秋·江苏无锡一中高三检测）如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【变式6-2】．（2023·福建福州福州第一中学校考模拟预测）在矩形中，，将沿对角线翻折至的位置，使得平面平面，则在三棱锥的外接球中，以为直径的截面到球心的距离为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-3】．（2023秋·福建厦门外国语学校校考模拟预测）已知半径为4的球，被两个平面截得圆，记两圆的公共弦为，且，若二面角的大小为，则四面体的体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-4】．（2023秋·四川成都外国语学校模拟预测）已知三棱锥中，Q为BC中点，，侧面底面，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为 ．
核心考点题型七 截面的最值问题
【例题1】．（2023秋·陕西榆林高三模拟预测）在三棱锥中，，平面经过的中点E，并且与BC垂直，当α截此三棱锥所得的截面面积最大时，此时三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【例题2】（2023秋·河北唐山高三专题检测）若球是正三棱锥的外接球，，点在线段上，，过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】．（2023秋·山东威海高三模拟预测）．在正方体中，平面经过点B、D，平面经过点A、，当平面分别截正方体所得截面面积最大时，平面所成的锐二面角大小为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（2023秋·河南开封高三期末）棱长为1的正方体的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别为棱AB，的中点，则经过E，F球的截面面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
核心考点题型八 平面截圆锥问题
【例题1】（2023·广东·高二统考期末）（多选题）圆锥曲线为什么被冠以圆锥之名？因为它可以从圆锥中截取获得.我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截而与圆锥侧面的交线）是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.截口曲线形状与和圆锥轴截面半顶角有如下关系；当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线：当时，截口曲线为双曲线.（如左图）
现有一定线段AB与平面夹角（如上右图），B为斜足，上一动点P满足，设P点在的运动轨迹是，则（ ）
A．当，时，是椭圆B．当，时，是双曲线
C．当，时，是抛物线D．当，时，是椭圆
【例题2】（2023秋·四川广元高三期中检测）美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习索描的重要一步.某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是一个底角为60°的直角梯形，设圆柱半径，则该椭圆的焦距为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）.如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】（2023秋·湖南长沙高三检测）如图①，用一个平面去截圆锥得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinaldandelin（）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面､截面相切，两个球分别与截面相切于，在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球相切于，由球和圆的几何性质，可以知道，，，于是.由的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以为焦点的椭圆.
如图②，一个半径为的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源，则球在桌面上的投影是椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的焦距为（ ）
A．B．C．D．