【二轮复习】高考数学考点4-2 数列的通项公式的9种题型总结.zip

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考点一：已知，求
利用，注意一定要验证当时是否成立
【精选例题】
【例1】已知为数列的前n项和，且，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】当时，，；当时，，不符合，则.故选：B.
【例2】定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，则等于（ ）
A．85B．90C．95D．100
【答案】C
【详解】因为数列的前项的“均倒数”为，所以，
于是有，，两式相减，得，故选：C
【例3】（多选题）定义为数列的“优值”．已知某数列的“优值”，前n项和为，下列关于数列的描述正确的有（ ）
A．数列为等差数列 B．数列为递增数列 C． D．，，成等差数列
【答案】ABC
【详解】由已知可得，所以，所以时，，得时，，即时，，当时，由知，满足．所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，故A正确，B正确，所以，所以，故，故C正确．，，，，，不是等差数列，故D错误，故选：ABC．
【例4】设数列满足，则的前n项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：当时，，当时，由得
，两式相减得，，即，综上，
所以的前n项和为，故选：C.
【跟踪训练】
1.无穷数列的前项和为，满足，则下列结论中正确的有（ ）
A．为等比数列 B．为递增数列 C．中存在三项成等差数列 D．中偶数项成等比数列
【答案】D
【详解】解：无穷数列的前项和为，满足，，当时，，不符合上式，所以不是等比数列，故A错误；又，所以不是递增数列，故B错误；假设数列中存在三项成等差数列，由于，则，所以得：，则，又 且恒成立，故式子无解，中找不到三项成等差数列，故C错误；，是等比数列，即中偶数项成等比数列，故D正确.故选：D．
2．对于数列，定义为的“伴生数列”，已知某数列的“伴生数列”为，则 ；记数列的前项和为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】 ； .
【详解】因为，所以①，所以当时，，当时，②，①−②：，所以，综上：，，
令，则，可知为等差数列，又因为对任意，恒成立，所以 则有 解得．故答案为：；
考点二：叠加法（累加法）求通项
若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。
【精选例题】
【例1】数列满足，且对任意的都有，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】已知，令可得，则时，
，，将以上式子累加可得，，时也符合，则，，则.故选：A.
【例2】已知数列的首项，且满足.若对于任意的正整数，存在，使得恒成立，则的最小值是___________.
【答案】3
【详解】数列满足，且，即，当时，，
当时，，当时，，当时，，以上各式相加，得又，，，，若对于任意的正整数，存在，使得恒成立，则有，的最小值是3.故答案为：.
【例3】数列满足，，则的最小值是
【答案】8
【详解】解：∵，∴，∴，，……，
又∵，上述个式子相加得，，∴，当且仅当即时，等号成立，故答案为：8．
【跟踪训练】
1．已知数列，，且，．求数列的通项公式________；
【答案】.
【详解】因为，所以，当时，，，……，，相加得，所以，当时，也符合上式，所以数列的通项公式.故答案为：.
2．设数列满足，且.
(1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，；(2) .
【解析】（1）由已知得， 即，是以 4 为首项， 2 为公差的等差数列.，当时，,当时，也满足上式，所以;
（2）,当为偶数时，，当为奇数时，
,
所以 .
考点三：叠乘法（累乘法）求通项
若数列满足，则称数列为“类比数列”，求变比数列的通项时，利用累乘法。
具体步骤：，，，，
将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
【精选例题】
【例1】数列的前n项和（，n为正整数），且，则______．
【答案】
【详解】由得：当时,进而得，因为，所以，故，故答案为：
【例2】数列满足：，，则通项________．
【答案】
【详解】由题意得：①，当时，，当时，②，①②得：，所以，，，，…，，累乘得，当时，不满足，则．故答案为：.
【跟踪训练】
1.设是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式=___________
【答案】
【详解】由，得，∵，∴，∴ ，∴∴，
又满足上式，∴.故答案为：.
2．数列满足：，，则的通项公式为_____________.
【答案】
【详解】由得，，则，即，又，所以.故答案为：.
3．已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若满足，.设为数列的前项和，求.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为，，所以当时，，则，即，当时，也成立，所以.
（2）由（1），，，则，则.
考点四：用“待定系数法”构造等比数列
形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式。
【精选例题】
【例1】已知数列的前n项和为，首项且，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【详解】由题设，，则是首项、公比都为2的等比数列，所以，则，，则在上递增，所以，要使恒成立，则.故答案为：
【例2】（多选题）数列的首项为1，且，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列 C． D．
【答案】AB
【详解】解：∵，可得，又∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故B正确；则，∴，故C错误；则，故A正确；∴，故D错误.故选：AB.
【例3】已知数列满足递推公式.设为数列的前项和，则 ，的最小值是 .
【答案】 ；
【详解】因为，所以，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以，所以；所以，所以，由对勾函数的性质可得，当时，，；当时，，所以单调递增，当时，；所以的最小值是.故答案为：；.
【跟踪训练】
1．已知数列满足：①；②.则的通项公式 ；设为的前项和，则 .（结果用指数幂表示）
【答案】
【详解】当为奇数时，令，则，当为偶数时，令，则，则，当时，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，则，当为奇数时，由，则，所以，
当为偶数时，由，则，所以，所以，
所以
故答案为：，
2.已知数列满足，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1），，
因此，数列是等比数列；
（2）由于，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，因此，.
考点五：用“同除指数法”构造等差数列
形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式
【精选例题】
【例1】已知数列满足，，求数列的通项公式.
【答案】.
【详解】由两边同除以得，令，则，设，解得，，而，数列是以为首项，为公比的等比数列，
，得
【精选例题】
1.已知数列满足，求数列的通项公式；
【答案】（1）；
【详解】解：（1）由，（左右两边同除以）可得=1，
则数列是首项为=1，公差为1的等差数列，则=，即；
考点六：用“同除法”构造等差数列
形如，的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式
形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.
【精选例题】
【例1】已知数列满足，，，则满足的n的最大取值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【详解】解：因为，所以，所以，又，数列是以1为首项，4为公差的等差数列．所以，所以，由，即，即，解得，因为为正整数，所以的最大值为；故选：C
【例2】已知正项数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，记数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)，(2)证明见解析
(1)数列中，，由，可得又，则数列是首项为1公差为1的等差数列，则，则数列的通项公式为
(2)由（1）知，则则数列的前n项和由，可得，即．
【跟踪训练】
1.（多选题）已知数列{}满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．为等比数列B．{}的通项公式为
C．{}为递增数列D．的前n项和
【答案】AB
【详解】因为，所以，又，所以是以2为首项，3为公比的等比数列，即，所以{}为递减数列，的前n项和．故选:AB．
2.已知数列满足，，若，，，则的值可能为（ ）
A．－1B．2C．D．－2
【答案】BCD
【详解】A：当时，，得，所以数列是以3为周期的周期数列，则，不符合题意，故A错误；B：当时，，
得，所以，符合题意，故B正确；
C：当时，，得，
所以，符合题意，故C正确；D：当时，，得，所以，符合题意，故D正确.故选：BCD
考点七：取对数法构造等比数列求通项
形如的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解．
形如的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解．
【精选例题】
【例1】已知数列满足，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，，易知，故，故是首项为，公比为的等比数列，，，故.故选：C.
【跟踪训练】
1．已知数列满足，，则下列说法正确的有（ ）
A．数列是递增数列B．
C．D．
【答案】ACD
【详解】对于A项，由已知可得，，所以，所以数列是递增数列，故A正确；对于B项，由已知可得，，，，故B项错误；对于C项，因为数列是递增数列，所以时，有.由已知可得，所以，所以有.当时，有.
又，，所以，故C项正确；对于D项，因为，，数列是递增数列，则当时，有，则有.所以，，所以有.
又，所以.当时，有，
当时，有.综上所述，，故D项正确.故选：ACD.
2．已知正项数列的前n项积为，且，则使得的最小正整数n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【详解】由题，，又，，，两式相除可得，上式两边取对数，可得，即，，，
化简得，解得，又，即，所以的通项公式为，，要使，即，解得，且，所以满足题意的最小正整数的值为6.故选：C.
考点八：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
解题思路：遇到与关系，要么把换为，要么把换为，利用
【精选例题】
【例1】若数列的前项和为，则数列的通项公式是___________.
【答案】
【详解】解：因为，当时，，所以，
当时，，两式相减，整理得，
所以是首项为，公比为的等比数列，故.故答案为：
【例2】已知数列的前项和为，，且，则下列说法中错误的是（ ）
A． B． C．是等比数列 D．是等比数列
【答案】C
【详解】由题意数列的前项和为，，且，则，即，即选项A正确；∵①，∴当 时，②，①-②可得，，即，
，不满足 ，故数列不是等比数列，故C错误，由时，可得，，则，故，故B正确；由得：,则，即，故是首项为，公比为3的等比数列，D正确，故选︰C．
4．记各项均为正数的数列的前n项和是，已知，n为正整数，
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和；
【答案】(1)，(2)
【解析】（1）当时，相减得，即，各项均为正数，所以，故是以首项为1，公差以1的等差数列，所以；
（2），故，
，
．
5．已知数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为，所以，①当时，，②
①-②得：，即，所以，所以，由，可得，当时，，符合上式，所以．
（2）由题意得，则
，所以．
考点九：已知数列前n项积型求通项
【例1】记为数列的前项积，已知，则= （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】则，代入，化简得：，则．故选：C．
【例2】已知数列中，，且
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求证：对于任意的正整数是与的等比中项．
【解析】(1)当时，，则，由可得，则，
则，即，即，故数列是首项为，公差为的等差数列；
(2)由（1）知，，则，当时，，则；
当时，，，则；综上可得：对于任意的正整数是与的等比中项．
【题型专练】
1.已知数列的前项积为，若对，，都有成立，且，，则数列的前10项和为 ．
【解析】解：数列的前项积为，若对，，都有成立，且，，
则：，，进一步求出：，，，所以：，，，，
故：．故答案为：1023
2.已知数列前n项积为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求证：．
【解析】(1)因为，所以，所以，两式相除，得，整理为，再整理得，．所以数列为以2为首项，公差为1的等差数列．
(2)因为，所以，由（1）知，，故，所以．所以
．又因为，所以．