新高考数学二轮复习重难点5-1 数列通项公式的求法（8题型+满分技巧+限时检测）（2份打包，原卷版+解析版）

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数列的通项公式求法是高考数学的必考考点，通常在选择题、填空题与解答题第一问中考查。难度中等，但有时在同一个题目中会涉及到多种方法综合性较强。
【题型1 观察法求通项】
【例1】（2023·河北张家口·高三尚义县第一中学校联考阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是这个数列的（ ）
A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项
【答案】B
【解析】由题意可得数列的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是这个数列的第22项．故选：B．
【变式1-1】（2023·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的一个通项公式是an=（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因为数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
则数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
而数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的每一项都是上面数列对应项的 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
【变式1-2】（2023·河南·高三校联考期中）数列 SKIPIF 1 < 0 的一个通项公式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】设该数列为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
选项A， SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意，故A错误；
选项B， SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意，故B错误；
选项C， SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意，故C错误；
选项D， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，均满足题意.故选：D.
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】对于A，当n为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，当n为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，故A中通项公式正确；对于B显然正确；
对于C，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，显然不符合；
对于D，当n为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，当n为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，故D中通项公式正确.故选：ABD．
【变式1-4】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《解析九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第三十六层球的个数为（ ）
A．561 B．595 C．630 D．666
【答案】D
【解析】由题意，第一层 SKIPIF 1 < 0 个球，第二层 SKIPIF 1 < 0 个，第三层 SKIPIF 1 < 0 个，第四层 SKIPIF 1 < 0 个，
据此规律，第三十六层有小球 SKIPIF 1 < 0 个.故选：D
【题型2 由Sn与an关系求通项】
【例2】（2023·山东潍坊·高三校考期中）数列前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，则该数列的第4项为（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 该数列的第4项 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
【变式2-1】（2023·陕西渭南·高三校考阶段练习）数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 不适合上式.
【变式2-2】（2023·黑龙江·校联考模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是等比数列 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】依题意，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以3为首项，2为公比的等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D．
【变式2-3】（2023·四川·校联考三模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 也满足，
所以 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
【变式2-4】（2023·全国·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 ），
又 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 ），
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
显然数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，
若 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .
【题型3 累加法求通项】
【例3】（2023·福建·高三校联考期中）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则正整数 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
【变式3-1】（2023·广东佛山·高二佛山市荣山中学校考期中）已知 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得: SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 .
相乘得： SKIPIF 1 < 0 … SKIPIF 1 < 0 … SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
【变式3-2】（2023·山西·高三校联考阶段练习）在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 也满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【变式3-3】（2023·上海普陀·统考一模）若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 .
【答案】6
【解析】由已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 也满足上式，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，由对勾函数性质知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 递增，
因此 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时递减，在 SKIPIF 1 < 0 时递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值是6.
【变式3-4】（2023·北京·高三汇文中学校考期中）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .则集合 SKIPIF 1 < 0 中元素的个数为 .
【答案】24
【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，令 SKIPIF 1 < 0 ，因为函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上可得集合 SKIPIF 1 < 0 中元素的个数为 SKIPIF 1 < 0 .
【题型4 累乘法求通项】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求数列通项公式.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 也满足上式，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 通项公式是 SKIPIF 1 < 0 .
【变式4-1】（2023·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则满足不等式 SKIPIF 1 < 0 的最大正整数 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】B
【解析】依题意，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 也符合，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是单调递增数列，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
【变式4-2】（2023·河南·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2023 B．2024 C．4045 D．4047
【答案】C
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
【变式4-3】（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项积为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则使得 SKIPIF 1 < 0 的最小正整数n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】由题， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两式相除可得 SKIPIF 1 < 0 ，
上式两边取对数，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
要使 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，所以满足题意的最小正整数 SKIPIF 1 < 0 的值为6.故选：C.
【变式4-4】（2023·河南·高三校联考开学考试）数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为2，等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
【答案】2
【解析】设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
利用等比数列定义可知 SKIPIF 1 < 0
所以可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由累乘可得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以可得 SKIPIF 1 < 0 ；即 SKIPIF 1 < 0 .
【题型5 构造法求通项】
【例5】（2023·江苏淮安·盱眙中学校考模拟预测）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的通项为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．故选：A
【变式5-1】（2023·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 所以数列 SKIPIF 1 < 0 是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列判断正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为2的等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以选项A错误，选项B、D正确.
因为 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 正确．
故选：BCD．
【变式5-3】（2023·山西太原·高三统考期中）（多选）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 是递增数列 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 表示首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以A不正确；
由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，所以B正确；
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以C错误；
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确.故选：BD.
【变式5-4】（2023·浙江·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0
（1）试求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）由题意 SKIPIF 1 < 0 ，两边同时除以 SKIPIF 1 < 0 ，将其变形为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由等差数列的定义可知 SKIPIF 1 < 0 是以首项为 SKIPIF 1 < 0 、公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，显然当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
而当 SKIPIF 1 < 0 时，也有 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【题型6 倒数法求通项】
【例6】（2022·重庆·高三西南大学附中校考阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题意， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以首项为2，公比为2的等比数列，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
【变式6-1】（2023·全国·高三课时练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前2017项和 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】根据题意，有 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，进而 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，进而 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
【变式6-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 各项均为正数， SKIPIF 1 < 0 ，且有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
显然若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，与题意矛盾，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两边同时取倒数，得： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D.
【变式6-3】（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则n的最大值为 ．
【答案】15
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列.
可求得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 单调递增, SKIPIF 1 < 0 .
则n的最大值为15.
【题型7 三项递推法求通项】
【例7】（2023·四川成都·高三成都七中校考期中）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 以首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为4的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
累加得： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A.
【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
【答案】A
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 且数列不存在为0的项，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A．
【变式7-2】（2023·广东茂名·高三校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 为其前 SKIPIF 1 < 0 项和，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 是一个以3为首项，2为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故选B.
【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求通项 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由等比数列定义知，数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，3为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
累加法可得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 符合该式，故 SKIPIF 1 < 0 .
【变式7-4】（2023·全国·高三对口高考）数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【题型8 不动点法求通项】
【例8】（2023·全国·高三专题练习）若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】根据迭代数列 SKIPIF 1 < 0 ，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 有唯一的不动点 SKIPIF 1 < 0 ，
根据定理3可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即数列 SKIPIF 1 < 0 是以首项 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列．
则对应的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 也满足上式．
∴ SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式8-1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足性质：对于 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】依定理作特征方程 SKIPIF 1 < 0 变形得 SKIPIF 1 < 0 其根为 SKIPIF 1 < 0
故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
【变式8-2】（2022·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式 SKIPIF 1 < 0 ，且首项 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ．先求出数列的不动点 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
将不动点 SKIPIF 1 < 0 代入递推公式，得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以1为公差的等差数列．
∴ SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．
将 SKIPIF 1 < 0 代入，得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）数列 SKIPIF 1 < 0 满足下列关系： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】令函数 SKIPIF 1 < 0 ，解方程 SKIPIF 1 < 0 求出不动点 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
【变式8-4】（2023·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】依题 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，求出不动点 SKIPIF 1 < 0 或3
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，……， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·四川内江·校考模拟预测）已知数列1， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，3， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，…，则7是这个数列的（ ）
A．第21项 B．第23项 C．第25项 D．第27项
【答案】C
【解析】因为数列的第 SKIPIF 1 < 0 项为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以7是题中数列的第25项．故选：C
2．（2023·天津·高三天津市咸水沽第一中学校考期中）设 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，已知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．9 B．27 C．81 D．101
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
作差得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以数列 SKIPIF 1 < 0 从第二项起成等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
3．（2023·陕西安康·安康中学校考模拟预测）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，故可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，及 SKIPIF 1 < 0
累加可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．故选：B．
4．（2023·陕西汉中·高三统考阶段练习）设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前9项和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题设， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
5．（2023·天津北辰·高三统考期中）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．16 D．32
【答案】B
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ①，
∴ SKIPIF 1 < 0 ②，
②减去①得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
6．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．故选：D
7．（2023·全国·高三专题练习）数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 满足上式，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
8．（2022·高二单元测试）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为3的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选:A.
9．（2023·安徽亳州·高二亳州二中校考期中）（多选）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 时也成立，所以 SKIPIF 1 < 0 故选项B判断正确；
由 SKIPIF 1 < 0 ，可知选项A判断正确；
令 SKIPIF 1 < 0
则2 SKIPIF 1 < 0
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选项D判断正确；
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得选项C判断错误.故选：ABD
10．（2023·福建福州·高三校考阶段练习）（多选）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项的和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 是等比数列 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 不能是等比数列，故B错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），即 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是以2为首项，4为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确．故选：AD.
11．（2023·全国·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 则该数列的通项公式为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以3为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，等式两边同时除以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，3为公差的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 .
12．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前50项和为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得数列 SKIPIF 1 < 0 中从奇数项起的连续三项成等比数列，从偶数项起的连续三项成等差数列，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得数列 SKIPIF 1 < 0 的前10项为1，2，4，6，9，12，16，20，25，30，
由此可得 SKIPIF 1 < 0
进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则数列 SKIPIF 1 < 0 的前50项和为
SKIPIF 1 < 0 ．
13．（2023·广东佛山·高三佛山市第四中学校考开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，显然n = 1也满足.
14．（2022·福建漳州·高三校考期中）已知 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且满足 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）记 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，符合上式，
∴ SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )．
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
15．（2023·湖南衡阳·高二校考期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，①
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以，数列 SKIPIF 1 < 0 为常数列，
故 SKIPIF 1 < 0 ，②
② SKIPIF 1 < 0 ①可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ①，
所以 SKIPIF 1 < 0 ②，
① SKIPIF 1 < 0 ②得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .满分技巧
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．
满分技巧
若已知数列的前项和与 SKIPIF 1 < 0 的关系，
求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项 SKIPIF 1 < 0 可用公式 SKIPIF 1 < 0 构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 合为一个表达，（要先分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
满分技巧
适用于an＋1＝an＋f(n)，可变形为an＋1－an＝f(n)
利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解
满分技巧
适用于an＋1＝f(n)an，可变形为eq \f(an＋1,an)＝f(n)
要点：利用恒等式an＝a1·eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·…·eq \f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解
满分技巧
1、形如 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 均为常数 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）型
设 SKIPIF 1 < 0 ，展开移项整理得 SKIPIF 1 < 0 ，与题设 SKIPIF 1 < 0 比较系数（待定系数法）得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 构成以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列．
2、形如 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 型
（1）当 SKIPIF 1 < 0 为一次函数类型（即等差数列）时：
设 SKIPIF 1 < 0 ，通过待定系数法确定 SKIPIF 1 < 0 的值，转化成以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设 SKIPIF 1 < 0 ，通过待定系数法确定 SKIPIF 1 < 0 的值，转化成以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列 SKIPIF 1 < 0 ，再利用等比数列的通项公式求出 SKIPIF 1 < 0 的通项整理可得 SKIPIF 1 < 0
法二：当 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 时，由递推式得： SKIPIF 1 < 0 —①， SKIPIF 1 < 0 ，两边同时乘以 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 —②，由①②两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，构造等比数列。
法三：递推公式为 SKIPIF 1 < 0 （其中p，q均为常数）或 SKIPIF 1 < 0 （其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，引入辅助数列 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ），得： SKIPIF 1 < 0 。
满分技巧
形如an＋1＝eq \f(pan,qan＋r)(p，q，r是常数)，可变形为eq \f(1,an＋1)＝eq \f(r,p)·eq \f(1,an)＋eq \f(q,p)
要点：①若p＝r，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列，且公差为eq \f(q,p)，可用公式求通项；
②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解
满分技巧
适用于形如 SKIPIF 1 < 0 型的递推式
用待定系数法，化为特殊数列 SKIPIF 1 < 0 的形式求解．方法为：设 SKIPIF 1 < 0 ，比较系数得 SKIPIF 1 < 0 ，可解得 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，这样就化归为 SKIPIF 1 < 0 型．
满分技巧
（1）定义：方程 SKIPIF 1 < 0 的根称为函数 SKIPIF 1 < 0 的不动点．
利用函数 SKIPIF 1 < 0 的不动点，可将某些递推关系 SKIPIF 1 < 0 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法．
（2）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 已知，且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是常数），
= 1 \* GB3 ①当 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
= 2 \* GB3 ②当 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 为常数数列；
= 3 \* GB3 ③当 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；
= 4 \* GB3 ④当 SKIPIF 1 < 0 时，称 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的一阶特征方程，
其根 SKIPIF 1 < 0 叫做特征方程的特征根，这时数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）形如 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项 SKIPIF 1 < 0 ，其特征方程为 SKIPIF 1 < 0 （*）．
（1）若方程（*）有二异根 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则可令 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是待定常数）；
（2）若方程（*）有二重根 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则可令 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是待定常数）．
(其中 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 可利用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 求得)