人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念精品课后测评

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知识点01：集合的含义
一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,…表示.
把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,…表示集合.
知识拓展集合的三个特性：
①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明.
②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象.
③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象.
【即学即练1】（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（ ）
（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【详解】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合.
故选：C.
知识点02：元素与集合
1元素与集合的关系
(1)属于(belng t)：如果 SKIPIF 1 < 0 是集合 SKIPIF 1 < 0 的元素，就说 SKIPIF 1 < 0 属于 SKIPIF 1 < 0 ，记作 SKIPIF 1 < 0 .
(2)不属于(nt belng t)：如果 SKIPIF 1 < 0 不是集合 SKIPIF 1 < 0 的元素，就说 SKIPIF 1 < 0 不属于 SKIPIF 1 < 0 ，记作 SKIPIF 1 < 0 .
特别说明： SKIPIF 1 < 0 表示一个元素， SKIPIF 1 < 0 表示一个集合.它们间的关系为： SKIPIF 1 < 0 .
2集合元素的三大特性
（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.
（2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.
（3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性.
【即学即练2】（2023·高一课时练习）下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】选项A、B是集合的描述法表示，选项D是集合的列举法表示，且都表示集合中只有一个元素2020，都是数集．
选项C它是由方程构成的集合，集合是列举法且只含有一个方程．
故选：C
知识点03：集合的表示方法与分类
1常用数集及其符号
2集合的表示方法
（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法
（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“ SKIPIF 1 < 0 ”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注用列举法表示集合时注意：
①元素与元素之间必须用“，”隔开．
②集合中的元素必须是明确的．
③集合中的元素不能重复．
④集合中的元素可以是任何事物．
（3）描述法定义：一般地，设 SKIPIF 1 < 0 表示一个集合，把集合 SKIPIF 1 < 0 中所有具有共同特征 SKIPIF 1 < 0 的元素 SKIPIF 1 < 0 所组成的集合表示为 SKIPIF 1 < 0 ，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
（4） SKIPIF 1 < 0 （韦恩图法）：
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为 SKIPIF 1 < 0 图。
3集合的分类
根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.
（1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程 SKIPIF 1 < 0 的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在 SKIPIF 1 < 0 图中来表示.
（2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式 SKIPIF 1 < 0 的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。
【即学即练3】（2023高一课时练习）已知① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③0={0}；④ SKIPIF 1 < 0 ；⑤ SKIPIF 1 < 0 ；⑥ SKIPIF 1 < 0 ，
其中正确的个数为______.
【答案】3
【详解】 SKIPIF 1 < 0 是无理数，属于实数，①正确；
SKIPIF 1 < 0 是分数，属于有理数，②正确；
0表示一个元素， SKIPIF 1 < 0 表示一个集合，③错误；
N表示从0开始的所有自然数集合， SKIPIF 1 < 0 ，④错误；
SKIPIF 1 < 0 是无限不循环小数，属于无理数，⑤错误；
Z表示所有整数的集合，-3是整数， SKIPIF 1 < 0 ，⑥正确；
故答案为：3.
知识点04：集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作： SKIPIF 1 < 0 ,例如： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【即学即练4】（2023·江苏·高一专题练习）集合 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数m=________.
【答案】1或 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0 或1
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故答案为：1或 SKIPIF 1 < 0
题型01 判断元素能否构成集合
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与 SKIPIF 1 < 0 非常接近的全体实数
B．北大附中云南实验学校 SKIPIF 1 < 0 学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．高一年级很有才华的老师
【答案】B
【详解】对于ACD，集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，故不能构成集合，ACD错误；
B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确.
故选：B.
【典例2】（2023·高一课时练习）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．上课迟到的学生B． SKIPIF 1 < 0 年高考数学难题
C．所有有理数D．小于 SKIPIF 1 < 0 的正整数
【答案】B
【详解】上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合； SKIPIF 1 < 0 年高考数学难题界定不明确，所以不能构成集合；任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合；小于 SKIPIF 1 < 0 的正整数分别为 SKIPIF 1 < 0 ，所以能够组成集合.
故选： SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023秋·广东揭阳·高一惠来县第一中学校考期中）下列四组对象中能构成集合的是（ ）
A．宜春市第一中学高一学习好的学生
B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数
D．倒数等于本身的数
【答案】D
【详解】解：A：宜春市第一中学高一学习好的学生，因为学习好的学生不确定，所以不满足集合的确定性，故A错误；
B：在数轴上与原点非常近的点，因为非常近的点不确定，所以不满足集合的确定性，故B错误；
C：很小的实数，因为很小的实数不确定，所以不满足集合的确定性，故C错误；
D：倒数等于它自身的实数为1与﹣1，∴满足集合的定义，故正确．
故选：D．
题型02 判断是否为同一集合
【典例1】（2023·高一课时练习）判断下列命题是否正确．
（1）集合 SKIPIF 1 < 0 与集合 SKIPIF 1 < 0 表示同一集合；( )
（2）集合 SKIPIF 1 < 0 与集合 SKIPIF 1 < 0 表示同一集合；( )
（3）集合 SKIPIF 1 < 0 与集合 SKIPIF 1 < 0 不表示同一集合；( )
（4）集合 SKIPIF 1 < 0 与集合 SKIPIF 1 < 0 表示同一集合．( )
【答案】 正确 错误 错误 错误
【详解】（1）集合元素具有无序性，集合 SKIPIF 1 < 0 与集合 SKIPIF 1 < 0 元素相同，故表示同一集合，正确；
（2）两集合为点集， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 表示的点不同，所以集合 SKIPIF 1 < 0 与集合 SKIPIF 1 < 0 表示两个不同的集合，错误；
（3）集合 SKIPIF 1 < 0 与集合 SKIPIF 1 < 0 均表示大于3的所有实数的集合，所以集合 SKIPIF 1 < 0 与集合 SKIPIF 1 < 0 表示同一集合，错误；
（4）集合 SKIPIF 1 < 0 为数集，集合 SKIPIF 1 < 0 为点集，不是同一集合，错误；
故答案为：（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）错误.
【典例2】（2022秋·天津滨海新·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．由1，2，3组成的集合可表示为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是同一个集合
C．集合 SKIPIF 1 < 0 与集合 SKIPIF 1 < 0 是同一个集合
D．集合 SKIPIF 1 < 0 与集合 SKIPIF 1 < 0 是同一个集合
【答案】A
【详解】集合中的元素具有无序性，故A正确；
SKIPIF 1 < 0 是不含任何元素的集合， SKIPIF 1 < 0 是含有一个元素0的集合，故B错误；
集合 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
集合 SKIPIF 1 < 0 中有两个元素 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 中只有一个元素，为方程 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：A.
【变式1】（2023·高三课时练习）设 SKIPIF 1 < 0 是有理数，集合 SKIPIF 1 < 0 ，在下列集合中；
（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ；（4） SKIPIF 1 < 0 ；与 SKIPIF 1 < 0 相同的集合有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【详解】对于（1），由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，一一对应，则 SKIPIF 1 < 0
对于（2），由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，一一对应，则 SKIPIF 1 < 0
对于（3），由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，一一对应，则 SKIPIF 1 < 0
对于（4）， SKIPIF 1 < 0 ，但方程 SKIPIF 1 < 0 无解，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不相同
故选：B
题型03判断元素与集合的关系
【典例1】（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知集合 SKIPIF 1 < 0 下列关系正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以A、C错误，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以B错误，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确，
故选:D．
【典例2】（多选）（2023·广西百色·高一校考阶段练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，则下列关系式成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：ABC
【变式1】（2023·河北·高三学业考试）若不等式3-2x0,所以0不属于M,即0∉M;当x=2时,3-2x=-1