专题03 相似三角形的性质（知识串讲+8大考点）-九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

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知识一遍过
（一）相似三角形的性质
考点一遍过
考点1：相似三角形的性质——求线段
典例1：（2022秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）在△ABC中，AB=18，AC=12，D是AC上一点，AD=6，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与△ABC相似．则AE的长为（ ）
A．9B．6C．9或6D．9或4
【变式1】（2023·北京·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上．若S△AEF=4，S△BCF=9，且BC=6，则DE的长为（ ）

A．23B．1C．32D．2
【变式2】（2023·云南昆明·统考二模）小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象，两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是某次小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2：AC与BD交于点O，AB∥CD，若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是3cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是（ ）

A．2cmB．92cmC．152cmD．9cm
【变式3】（2023·重庆·统考中考真题）如图，已知△ABC∽△EDC，AC:EC=2:3，若AB的长度为6，则DE的长度为（ ）

A．4B．9C．12D．13.5
考点2：相似三角形的性质——求角度
典例2：（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）如图，已知△ABC∼△DEF，若∠A=35°，∠B=65°，则∠F的度数是（ ）

A．80°B．90°C．110°D．120°
【变式1】（2022秋·广东河源·九年级校考期末）如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠BAC的度数为（ ）
A．120°B．135°C．145°D．150°
【变式2】（2023·江西南昌·统考一模）如图，△DEF的顶点D,E在△ABC的边BC上，EF∥AC,DF∥AB，若∠F=55°，则∠A=（ ）
A．45°B．55°C．60°D．65°
【变式3】（2023·甘肃陇南·统考一模）已知△ABC∽△DEF，且∠A=30°，∠E=30°，则∠C的度数是（ ）
A．120°B．60°C．90°D．30°
考点3：相似三角形的性质——证明比例关系
典例3：（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图，在△ABC中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（ ）

A．DFAE=DGGEB．AGBG=AEDHC．CEAE=CHBHD．FGAB=DFAC
【变式1】（2020·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E,F分别在BA的延长线，BC的延长线上，连接EF分别交AD,CD于点C,H,则下列式子错误的是（ ）
A．AEBE=EGEFB．AGDG=EGGH
C．CHBE=BFCFD．FHEH=CFAD
【变式2】（2022秋·湖南娄底·九年级统考期末）如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是( )
A．AB2=AC⋅ADB．AB2=AC⋅BD
C．AB⋅AD=BC⋅BDD．AB⋅AD=AD⋅CD
【变式3】（2022秋·九年级单元测试）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（ ）
A．DFBF=EFCFB．DFCF=AECEC．ADAB=EFBFD．ADBD=DEBC
考点4：相似三角形的性质——求周长
典例4：（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，△ABO∽△DEO，且BO:EO=1:3，则△ABO与△DEO的周长比是（ ）

A．3:1B．1:3C．9:1D．1:9
【变式1】（2022秋·江西吉安·九年级永丰县恩江中学校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE:EC=3:1，连接AE交BD点F，则△DEF的周长与△BAF的周长之比为（ ）

A．9:16B．3:4C．9:1D．3:1
【变式2】（2022秋·四川内江·九年级校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，已知△AGD与△BGE的周长之比为5:2，则BE:EC为（ ）
A．1:1B．2:3C．3:2D．2:5
【变式3】（2023·四川成都·统考一模）若△ABC∽△DEF，且ABDE=13，若△ABC的周长为2，则△DEF的周长为（ ）
A．29B．23C．6D．18
考点5：相似三角形的性质——求面积
典例5：（2022秋·辽宁本溪·九年级校考阶段练习）已知△ABC∽A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，若AD=5，A′D′=3，则ΔABC与△A′B′C′面积的比是（ ）
A．3:5B．9:25C．5:3D．25:9
【变式1】（2023春·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD：CD＝1:2，点E是AD中点，连接BE并延长与AC交于点F，若S△ABC＝12，则△BCF的面积等于（ ）
A．4B．8C．9D．10
【变式2】（2021秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在△ABC、△FGH中，D、E两点分别在AB、AC上，F点在DE上，G、H两点在BC上，且DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若BG:GH:HC=4:6:5，则△ADE与△FGH的面积比为（ ）
A．4:6B．9:4C．9:5D．6:5
【变式3】（2022秋·四川巴中·九年级统考期末）如图，DE是△ABC的中位线，若四边形BDEC的面积是60，则△ADE的面积为（ ）
A．20B．40C．50D．60
考点6：相似三角形的性质——坐标系问题
典例6：（2018秋·辽宁盘锦·九年级阶段练习）如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（ ）
A．（0，1）B．（0，32）C．（0，2）D．（0，3）
【变式1】（2022春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（3，0），则点A的坐标为（ ）
A．（1，23）B．（2，23）C．（23，1）D．（23，2）
【变式2】（2016春·江苏无锡·八年级阶段练习）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（ ）
A．（，3）、（﹣，4）B．（，3）、（﹣，4）
C．（，）、（﹣，4）D．（，）、（﹣，4）
【变式3】（2022春·九年级课时练习）如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（ ）
A．（1，52）B．（43，83）C．（5，25）D．（3，23）
考点7：网格中的相似三角形
典例7：（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF．在②～⑥中，与①相似的三角形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1】（2022秋·天津·九年级天津市第五十五中学校考期末）如图，小正方形的边长均为1，关于△ABC和△DEF的下列说法正确的是（ ）
A．△ABC和△DEF一定不相似B．△ABC和△DEF是位似图形
C．△ABC和△DEF相似且相似比是1:2D．△ABC和△DEF相似且相似比是1:4
【变式2】（2021春·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，如图有△ABC,现另有一点D满足以A,B,D为顶点的三角形与△ABC全等，则D点坐标不可能为( )
A．(−2，−3)B．4,4
C．4,3D．(4，−3)
【变式3】（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在（ ）
A．P1处B．P2处C．P3处D．P4处
考点8：相似三角形的性质与判定综合
典例8：（2022秋·湖南娄底·九年级统考阶段练习）如图1，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，AE与CD相交于点F，过点E作EG∥CD交AC的延长线于点G．若AE平分∠BAC，CE=CF．

(1)求证：∠ABC=∠ACD；
(2)求证：△EGC∽△CBD
(3)如图2，若AD=2，BD=6，求CG的长．
【变式1】（2022秋·上海嘉定·九年级校考阶段练习）已知，如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，矩形DEFG的边DG在△ABC的边BC上，顶点E、F分别在边AC、BC上．

(1)设CE=x，用含x的代数式表示DE的长，则DE=_______；
(2)当矩形DEFG是正方形时，求CE的长．
【变式2】（2022秋·湖南衡阳·九年级校考期中）如图，MN经过△ABC的顶点A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于D，NB交AC于E，连接DE

(1)求证：△ADE∽△ABC．
(2)如果DE=1，BC=3，求MN的长．
【变式3】（2023春·山东淄博·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点（点D与点B，C不重合），点E在AC边上，∠ADE=∠B．若△ADE为等腰三角形，求BD的长．

同步一遍过
一、单选题
1．（2023·全国·九年级假期作业）已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝5，A'D'＝3，则△ABC与△A'B'C'面积的比是（ ）
A．3：5B．9：25C．5：3D．25：9
2．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，△ABC的中线BE，CD相交于点O，若△DOE的面积为1cm2，则△ABC的面积为（ ）
A．12B．8C．6D．4
3．（2023春·八年级单元测试）如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,垂足为D,AD=8,AB=10,则CD长为（ ）
A．4B．16C．25D．45
4．（2023·浙江·一模）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AD三等分点且AE>DE，连接CE交BD于点F，若△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积为（ ）
A．16B．20C．24D．18
5．（2022秋·四川内江·九年级统考期末）如图，菱形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD上的点，AC与EF相交于点G，若BE=AF=1，∠BAD=120°，则FG的长为（ ）

A．134B．2C．3D．4
6．（2022秋·上海嘉定·九年级统考期中）如图，由5个同样大小的正方形合成一个矩形，那么ABDADB的度数是（ ）．
A．90°B．60°C．45°D．不能确定
7．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（ ）
A．253B．233C．343D．453
8．（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD，连接BE,CF,BD,CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论：①AG⊥BE；②HD平分∠EHG；③△ABG∼△FDG；④S△HDG:S△HBG=12；⑤线段DH的最小值是5−12．正确的个数是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
9．（2023·江苏南京·校考三模）如图，在△ABC中，DE∥BC，ADDB=12，则下列结论中正确的是（ ）
A．DEBC=12
B．AEEC=13
C．S△ADES△ABC=13
D．C△ADEC△ABC=13
10．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图,在矩形ABCD中,点F在AD上,射线BF交AC于点G,交CD的延长线于点E,则下列等式正确的为( )
A．ABED=EFBFB．AFBC=ABCEC．FGBG=CGAGD．FDBC=EDCD
二、填空题
11．（2023春·九年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm．动点P从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A运动．两点同时出发，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当运动时间t＝ s时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
12．（2023·浙江·九年级专题练习）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝ ，BE＝ ．
13．（2022秋·安徽宿州·九年级统考期末）如图，正方形ABCD中，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，AC与DF交于点N．
（1）当AB＝4时，AN＝ ．
（2）S△ANF：S四边形CNFB＝ ．（S表示面积）
14．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB．他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=30cm，测得边DF离地面的高度AC=1．5m，CD=10m，求树高AB是 m．
15．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AB=6，E是AD上的一点，且AE=2，F，G是AB，CD上的动点，且BE=FG，BE⊥FG，连接EF，BG，当EF+FG+BG的值最小时，CG的长为 ．

16．（2023春·九年级课时练习）如图，BD、CE是ΔABC的高，图中相似三角形有 对．
三、解答题
17．（2023·全国·八年级专题练习）如图所示，已知正方形ABCD中，E为DC上一点，连结BE，作CF⊥BE于P交AD于F点，若恰好使得AP=AB.求证：E为DC中点.
18．（2022秋·江苏宿迁·九年级校考期末）如图，已知：在等腰△ABC中，顶角∠A=36∘．
（1）在AC上求作一点D，使AD=BD（尺规作图，只保留作图痕迹）；
（2）求证：点D是腰AC的一个黄金分割点．
19．（2023·上海·一模）已知等腰△ABC中，AB=AC，点D、E是边BC、AC上的点，且CD=3BD，联结AD、BE，交点为F．

(1)若AF=4DF，求AEEC的值．
(2)若BD2=DF•AD，求证：BC2=4CE·AC．
20．（2022秋·海南海口·九年级琼山中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持∠1=∠B，设BD的长为x（0＜x＜8）．
（1）求证：△DCE∽△ABD；
（2）用含x的代数式表示CE的长；当CE=2时，求x的值；
（3）当x为何值时，△ADE为等腰三角形（直接写出结果）．
21．（2023春·江苏·八年级校考期末）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为点C′，连接CC′交AD于点F，BC′与AD交于点E．
（1）求证：△BAE≌△DC′E；
（2）写出AE与EF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若CD＝2DF＝4，求矩形ABCD的面积．
22．（广东省深圳市高级中学2023-2023学年九年级上学期期中数学试题）如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，过点B作BM‖CD交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2=AD⋅CD；（2）若CD=6，AD=8，求MN的长．
23．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，过点B作BG⊥AE于点G，延长BG至点F，使∠CFB=45°，延长FC，AE交于点M，连接DF，BM．若C为FM的中点，BM=10，求FD的长．
24．（2023春·山东潍坊·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD=9，BD=7．AC=12．△ABC的角平分线AE交CD于点F．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AF=8，求AE的长度．
25．（2022秋·辽宁大连·九年级统考期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝kAC，点D在AC上，连接BD．
（1）如图1，当k＝1时，BD的延长线垂直于AE，垂足为E，延长BC、AE交于点F．求证：CD＝CF；
（2）过点C作CG⊥BD，垂足为G，连接AG并延长交BC于点H．
①如图2，若CH＝25CD，探究线段AG与GH的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；
②如图3，若点D是AC的中点，直接写出cs∠CGH的值（用含k的代数式表示）．
如图：两个三角形相似，则有对应边成比例
∵；∴
如图；两个三角形相似，则有对应角相等
∵；
∴
如图：两个三角形相似，则有对应边上中线的比等于相似比
∵；∴
如图：两个三角形相似，则有对应边上高线的比等于相似比
∵；∴
如图：两个三角形相似，则有对应角的角平分线的比等于相似比
∵；∴
如图：两个三角形相似，则两个三角形周长的比等于相似比
∵；
∴
如图：两个三角形相似，则两个三角形面积的比等于相似比
∵；
∴