专题03二次函数（11个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年九年级数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版）

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专题03二次函数（11个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
二．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
三．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
四．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
五．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
六．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
七．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
八．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
九．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
十．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
十一．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
十二．坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b）
②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）
十三．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
十四．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
十五．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
【专题过关】
一．二次函数的定义（共1小题）
1．（2021秋•浦东新区校级期末）下列函数中，二次函数是（　　）
A．y＝﹣3x+5 B．y＝x（4x﹣3）
C．y＝2（x+4）2﹣2x2 D．y＝
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
【解答】解：A．y＝﹣3x+5，不是二次函数，故A不符合题意；
B．y＝x（4x﹣3）＝4x2﹣3x，是二次函数，故B符合题意；
C．y＝2（x+4）2﹣2x2＝2x2+16x+32﹣2x2＝16x+32，不是二次函数，故C不符合题意；
D．y＝，不是二次函数，故B不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
二．二次函数的图象（共1小题）
2．（2022•长宁区二模）一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx的图象相比是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．
三．二次函数的性质（共4小题）
3．（2022•青浦区模拟）下列对二次函数y＝﹣（x+1）2﹣3的图象描述不正确的是（　　）
A．开口向下
B．顶点坐标为（﹣1，﹣3）
C．与y 轴相交于点（0，﹣3）
D．当x＞−1时，函数值y随x的增大而减小
【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：A、∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线的开口向下，正确，不合题意；
B、抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣3），故本小题正确，不合题意；
C、令x＝0，则y＝﹣1﹣3＝﹣4，
所以抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣4），故不正确，符合题意；
D、抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＞−1时，函数值y随x的增大而减小，故本小题正确，不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，与y轴的交点，掌握其性质是解决此题关键．
4．（2021秋•普陀区期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣4x．
（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点坐标，并说明它的变化情况；
（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”，试求抛物线y＝x2﹣4x的“不动点”的坐标．
【分析】（1）a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（2，﹣4）；
（2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t2﹣4t，即可求解；
【解答】解：（1）y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∵a＝1＞0，
∴故该抛物线开口向上，
顶点A的坐标为（2，﹣4），
当x＞2，y随x的增大而增大，当x＜2，y随x增大而减小；
（2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t2﹣4t，
解得：t＝0或5，
故“不动点”坐标为（0，0）或（5，5）．
【点评】本题为二次函数综合运用题，涉及到二次函数基本知识，新定义问题，通常按照题设顺序，逐次求解即可．
5．（2020秋•奉贤区期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+ax+3与y轴交于点A，且对称轴是直线x＝1．
（1）求a的值与该抛物线顶点P的坐标；
（2）已知点B的坐标为（1，﹣2），设＝，＝，用向量、表示．

【分析】（1）利用对称轴公式即可求得a的值，然后把解析式化成顶点式，即可求得P的坐标；
（2）有P、B的坐标可知PB∥OA，PB＝2OA，即可得出＝2＝﹣2，从而得到＝+＝﹣2+．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+ax+3的对称轴是直线x＝1．
∴﹣＝1，
∴a＝2，
∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点P的坐标为（1，4）；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+ax+3与y轴交于点A，
∴A（0，3），
∵P（1，4），B（1，﹣2），
∴PB∥OA，PB＝2OA，
∴＝2＝﹣2，
∴＝+＝﹣2+．

【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，向量的加、减法的运算法则，熟练掌握二次函数的性质上解题的关键．
6．（2022•虹口区二模）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
【分析】由抛物线顶点式求解．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2+3，
∴抛物线顶点坐标为（1，3），
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
四．二次函数图象与系数的关系（共5小题）
7．（2021秋•崇明区期末）如果抛物线y＝（k﹣2）x2的开口向上，那么k的取值范围是 　k＞2　．
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：k﹣2＞0，
∴k＞2，
故答案为：k＞2．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．
8．（2021秋•奉贤区期末）如果抛物线y＝（x﹣2）2+k不经过第三象限，那么k的值可以是 　1　.（只需写一个）
【分析】由抛物线不经过第三象限可得抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，抛物线与y轴交点纵坐标大于等于0即可，进而求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+k＝x2﹣4x+4+k，
∴由抛物线不经过第三象限可得4+k≥0，
解得k≥﹣4．
故答案为：1．（答案不唯一）
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
9．（2021•松江区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝ax2+bx﹣5a经过点A．将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线的顶点在△OBC的内部，求a的取值范围．

【分析】（1）由y＝3x+3与x、y轴分别交于点A、B，可求出A、B坐标，B向右移动5个单位即得C坐标；
（2）将A坐标代入y＝ax2+bx﹣5a可得b＝﹣4a，根据对称轴公式可得答案；
（3）对称轴x＝2与BC交于D，与OC交于E，抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D和E之间，用a表示顶点纵坐标列不等式可得答案．
【解答】解：（1）在y＝3x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（0，3），
∵点B向右平移5个单位长度，得到点C．
∴C（5，3）；
（2）∵A（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣5a经过点A，
∴0＝a﹣b﹣5a，即b＝﹣4a，
∴抛物线y＝ax2+bx﹣5a对称轴为x＝＝﹣＝2；
（3）对称轴x＝2与BC交于D，与OC交于E，如图：

设OC解析式为y＝kx，
∵（5，3），
∴3＝5k，
∴k＝，
∴OC解析式为y＝x，
令x＝2得y＝，即E（2，），
由（1）知b＝﹣4a，
∴抛物线为y＝ax2﹣4ax﹣5a，
∴顶点坐标为（2，﹣9a），
抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D和E之间，
而D（2，3），
∴＜﹣9a＜3，
∴﹣＜a＜﹣．
【点评】本题考查点的平移、二次函数图象等知识，表示顶点坐标列不等式是解题的关键．
10．（2021•嘉定区三模）在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的顶点坐标；
（2）当x满足﹣2≤x≤3时，函数值y满足﹣4≤y≤5，试求a的值；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）与x轴所围成的区域（不包含边界）记为G，将横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”，如果区域G内恰好只有5个“整点”，结合函数的图象，求a的取值范围．

【分析】（1）利用x＝﹣求得a和b的关系，再将其代入原解析式即可；
（2）分两种情况讨论，利用抛物线的对称性即可求解；
（3）根据整点的定义，结合图象中x取0，1，2，时对应y的值即可判断．
【解答】解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得，
y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4，
∵对称轴是直线x＝1．
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4，
∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4，
∵当﹣2≤x≤3时，数值y满足﹣4≤y≤5，
∴a＜0不合题意；
②a＞0时，抛物线开口向上，
∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离，
∴x＝﹣2时，y的值最大5，x＝1时，y的值最小﹣4，
∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5，
将b＝﹣2a代入得，a＝1，
∴a＝1；
（3）如图：

根据（1）、（2）及抛物线对称性可知：
∵抛物线与x轴所围成的区域内只有五个整点，
即（1，﹣1），（1，﹣2），（1，﹣3），（0，﹣1），（2，﹣1），
∴x＝﹣1时，﹣2≤a﹣4＜﹣1，
解得：2≤a＜3．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．
11．（2021秋•崇明区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（　　）

A．ac＞0 B．当x＞﹣1时，y＞0
C．b＝2a D．9a+3b+c＝0
【分析】根据二次函数的图象逐一判断即可．
【解答】解：A．由图可知：
抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴ac＜0，
故A不符合题意；
B．设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的另一个交点为（m，0），
∵抛物线的对称轴是直线：x＝1，
∴＝1，
∴m＝3，
∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，
故B不符合题意；
C．∵抛物线的对称轴是直线：x＝1，
∴＝1，
∴b＝﹣2a，
故C不符合题意；
D．由B可得：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴把（3，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0）中可得：
9a+3b+c＝0，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，从图象中获取信息并结合图象去分析是解题的关键．
五．二次函数图象上点的坐标特征（共6小题）
12．（2021秋•崇明区期末）如果抛物线y＝﹣x2+3x﹣1+m经过原点，那么m＝　1　．
【分析】把原点坐标代入y＝﹣x2+3x﹣1+m中得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+3x﹣1+m经过点（0，0），
∴﹣1+m＝0，
∴m＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
13．（2021秋•浦东新区校级期末）已知点A（﹣7，m）、B（﹣5，n）都在二次函数y＝﹣x2+4的图象上，那么m、n的大小关系是：m　＜　n．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【分析】根据抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据点A，B与对称轴的距离大小求解．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∵|﹣7|＞|﹣5|，
∴m＜n，
故答案为：＜．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
14．（2021秋•嘉定区期末）抛物线y＝ax2+2经过点（﹣2，6），那么a＝　1　．
【分析】根据待定系数法即可求得．
【解答】解：把点（2，6）代入y＝ax2+2得：6＝4a+2，
解得a＝1，
故答案为1．
【点评】主要考查了用待定系数法求函数解析式和二次函数的图象的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
15．（2021秋•徐汇区期末）如图，已知点A是抛物线y＝x2图象上一点，将点A向下平移2个单位到点B，再把点A绕点B顺时针旋转120°得到点C，如果点C也在该抛物线上，那么点A的坐标是 　（﹣，3）　．

【分析】延长AB交x轴于D，过C点作CE⊥AD于E，解直角三角形求得BE＝1，CE＝×2＝，设A（m，m2），则C（+m，m2﹣3），代入y＝x2得到关于m的方程，解方程求得m的值，即可求得A的坐标．
【解答】解：如图，延长AB交x轴于D，过C点作CE⊥AD于E，
∵∠BAC＝120°，
∴∠EBC＝180°﹣120°＝60°，
∵AB＝2，
∴BC＝AB＝2，
∴BE＝1，CE＝×2＝，
设A（m，m2），则C（+m，m2﹣3），
∵点C也在该抛物线上，
∴m2﹣3＝（+m）2，
解得m＝﹣，
∴A（﹣，3），
故答案为：（﹣，3）．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣旋转，表示出C的坐标是解题的关键．
16．（2021秋•普陀区期末）已知二次函数y＝a（x+1）2+c（a≠0）的图象上有两点A（2，4）、B（m，4），那么m的值等于 　﹣4　．
【分析】根据点A（2，4）、B（m，4）坐标特点可知这两个点关于对称轴对称，可求出m的值．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+1）2+c（a≠0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵点A（2，4）、B（m，4）都在抛物线上，
∴点A、B关于直线x＝﹣1对称，
∴＝﹣1，
∴m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟知二次函数的对称性是解决问题的关键．
17．（2019秋•嘉定区期末）在平面直角坐标系xOy中，将点P1（a，b﹣a）定义为点P（a，b）的“关联点”．
已知：点A（x，y）在函数y＝x2的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点A1．
（1）请在如图的基础上画出函数y＝x2﹣2的图象，简要说明画图方法；
（2）如果点A1在函数y＝x2﹣2的图象上，求点A1的坐标；
（3）将点P2（a，b﹣na）称为点P（a，b）的“待定关联点”（其中，n≠0）．如果点A（x，y）的“待定关联点”A2在函数y＝x2﹣n的图象上，试用含n的代数式表示点A2的坐标．

【分析】（1）将图中的抛物线y＝x2向下平移2个单位长，可得抛物线y＝x2﹣2；
（2）根据“关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到A1（x，x2﹣x），然后代入y＝x2﹣2，得到x2﹣x＝x2﹣2，
解得x＝2，即可求得点A1的坐标；
（3）根据“待定关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入y＝x2﹣n，得到x2﹣nx＝x2﹣n，解得x＝1，即可求得点A2的坐标．
【解答】解：（1）将图中的抛物线y＝x2向下平移2个单位长，可得抛物线y＝x2﹣2，
如图：

（2）由题意，得点A（x，y）的“关联点”为A1（x，y﹣x），
由点A（x，y）在抛物线y＝x2上，可得A（x，x2），
∴，
又∵A1（x，y﹣x）在抛物线y＝x2﹣2上，
∴x2﹣x＝x2﹣2，
解得x＝2．
将x＝2代入，得A1（2，2）；
（3）点A（x，y）的“待定关联点”为，
∵在抛物线y＝x2﹣n的图象上，
∴x2﹣nx＝x2﹣n，
∴n﹣nx＝0，n（1﹣x）＝0．又∵n≠0，∴x＝1，
当x＝1时，x2﹣nx＝1﹣n，
故可得A2（1，1﹣n）．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出关联点的坐标．
六．二次函数图象与几何变换（共5小题）
18．（2022•浦东新区二模）如果将抛物线y＝5x2向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　）
A．y＝5（x+1）2 B．y＝5（x﹣1）2 C．y＝5x2+1 D．y＝5x2﹣1
【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【解答】解：将抛物线y＝5x2向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是：y＝5x2+1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．
19．（2022•黄浦区二模）将抛物线y＝x2+x+1向下平移1个单位，所得新的抛物线的表达式是 　y＝x2+x　．
【分析】先把函数化为顶点式的形式，再根据“上加下减”的法则即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+x+1可化为y＝（x+）2+，
∴抛物线y＝x2+x+1向下平移1个单位，所得新抛物线的表达式为y＝（x+）2+﹣1，即y＝x2+x．
故答案为：y＝x2+x．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
20．（2022•松江区校级模拟）如果将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向左平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是 　y＝2（x+1）2+3　．
【分析】根据“左加右减”的法则即可得出结论．
【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向左平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是y＝2（x﹣1+2）2+3，即y＝2（x+1）2+3，
故答案为：y＝2（x+1）2+3．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
21．（2022春•浦东新区校级期末）将抛物线y＝2x2先向下平移3个单位，再向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（1，5）．
（1）求新抛物线的表达式；
（2）求新抛物线关于y轴对称后的图象解析式．
【分析】（1）根据平移规律和待定系数法确定函数关系式；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特点即可得出结论．
【解答】解：（1）∵平移后，设新抛物线的表达式为y＝2（x﹣m）2﹣3，
∴新抛物线经过点（1，5），
∴将x＝1，y＝5代入：2（1﹣m）2﹣3＝5，
∴（1﹣m）2＝4，
∴1﹣m＝±2，
∴m1＝﹣1，m2＝3．
∵m＞0，
∴m＝﹣1（舍去），得到m＝3．
∴新抛物线的表达式为y＝2（x﹣3）2﹣3；
（2）∵关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，
∴抛物线y＝2（x﹣3）2﹣3关于y轴对称的图象解析式为y＝2（﹣x﹣3）2﹣3，即y＝2（x+3）2﹣3．
【点评】此题主要考查了待定系数法，平移的性质，掌握平移的性质是解本题的关键．
22．（2022春•普陀区期中）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣bx+c经过A（﹣1，2）、B（0，﹣1）两点．
（1）求抛物线的表达式及顶点P的坐标；
（2）将抛物线y＝x2﹣bx+c向左平移（+1）个单位，设平移后的抛物线顶点为点P′．
①求∠BP′P的度数；
②将线段P′B绕点B按逆时针方向旋转150后，点P′落在点M处，点N是平移后的抛物线上的一点，当△MNB的面积为1时，求点N的坐标．

【分析】（1）根据题意待定系数法求解析式即可，然后化为顶点式即可求得顶点P的坐标；
（2）①连接PP'，则PP⊥y轴，设交点为D，则D（0，﹣2），根据平移求得点P′的坐标，进而即可求得∠BP'P的度数，
②根据题意可知BM∥x轴且BM＝BP′＝2，根据△MNB的面积为1，求出点N的纵坐标，再把点N的纵坐标代入平移后的抛物线解析式即可求得点N的横坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，2）、B（0，﹣1）代入y＝x2﹣bx+c得，
，
解得：，
∴y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣1，顶点P坐标为（1，﹣2）；
（2）①将抛物线向左平移（+1）个单位，则平移后的顶点P′的坐标为（1﹣﹣1，﹣2），即（﹣，﹣2），
∵PP′在一条平行于x轴的直线上，
∴PP′⊥y轴，
设PP′与y轴的交点为D，如图，连接BP′，
′
∴tan∠BP′P＝＝＝，
∴∠BP′P＝30°；
②∵∠BP′P＝30°，
∴∠P′BD＝90°﹣∠BP′P＝90°﹣30°＝60°，
∵BM是BP′绕B点逆时针方向旋转150°得到的，
即∠P′BM＝∠P′BD+90°＝60°+90°＝150°，
∴BM∥x轴，
BM＝BP′＝＝＝2，
设△MNB中BM边所对应的高为h，
则S△MNB＝BM•h＝×2h＝1，
∴h＝1，
∴点N的纵坐标为﹣1±1，即0或﹣2，
又∵平移后的抛物线表达式为y＝（x+）2﹣2，
∴当y＝﹣2时，（x+）2﹣2＝﹣2，
解得：x＝﹣，
当y＝0时，即（x+）2﹣2＝0，
解得：x＝﹣±，
∴点N的坐标为（﹣，﹣2）或（﹣+，0）或（﹣﹣，0）．
【点评】本题考查了二次函数图象与平移变换，待定系数法求解析式，面积问题，勾股定理解直角三角形，旋转的性质，根据题意作出图形是解题的关键．
七．二次函数的最值（共1小题）
23．（2021•浦东新区校级自主招生）若x2﹣2m在﹣1≤x≤2的最小值为﹣2，求m的值．
【分析】先设设y＝x2﹣2m，再根据函数的性质判断函数在顶点处取得最小值，从而求出m的值．
【解答】解：设y＝x2﹣2m，
∵1＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∵x2﹣2m在﹣1≤x≤2的最小值为﹣2，
∴二次函数y＝x2﹣2m在顶点处取得最小值，
即﹣2m＝﹣2，
∴m＝1．
【点评】本题考查二次函数求最值，关键是根据二次函数的性质以及自变量的取值范围求函数的最值．
八．待定系数法求二次函数解析式（共3小题）
24．（2022•金山区二模）已知：在直角坐标系中直线y＝﹣x+4与x轴、y轴相交于点A、B，抛物线y＝﹣+bx+c经过点A和点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果直线AB与抛物线的对称轴相交于点C，求OC的长；
（3）P是线段OA上一点，过点P作直线AB的平行线，与y轴相交于点Q，把△OPQ沿直线PQ翻折，点O的对应点是点D，如果点D在抛物线上，求点P的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出抛物线的对称轴为直线x＝1，再求出点C的坐标，即可得出结论；
（3）设点P的坐标为（t，0），先得出四边形DPOQ为矩形，再得出四边形DPOQ为正方形，最后得出点D的坐标，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x+4与x轴、y轴相交于点A、B，
∴A（4，0）、B（0，4），
代入抛物线得：，
∴b＝1，c＝4，
∴抛物线的解析式为：．
（2）由＝，
可得抛物线的对称轴为直线x＝1，
当x＝1时，y＝﹣x+4＝3，
∴C（1，3），
∴．
（3）如图，设点P的坐标为（t，0），
∵AO＝BO＝4，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵PQ∥AB，
∴∠OPQ＝∠OQP＝45°，
∴∠DPO＝∠DQO＝90°，又∠POQ＝90°，
∴四边形DPOQ为矩形，
∵OP＝OQ，
∴四边形DPOQ为正方形，
∴DP＝DQ＝OP＝t，
∴四边形DPOQ为正方形，
∴D（t，t），
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴点P是坐标为：（，0）．

【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确画出图象是解题的关键．
25．（2022春•普陀区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点C的坐标．
（2）点D在这条抛物线的对称轴上，当DC＝DA时，求点D的坐标．

【分析】（1）把点A（﹣1，0）和点B（0，）代入y＝﹣x2+bx+c，利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）先求得直线AC的解析式，根据题意求得直线AC的垂直平分线的解析式，代入x＝2即可求得D的坐标．
【解答】解：（1）由题意得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+，
∵y＝﹣x2+2x+＝﹣（x﹣2）2+，
∴顶点C的坐标为（2，）；
（2）设直线AC为y＝kx+m，
把A（﹣1，0），C（2，）代入得，
解得，
∴直线AC为y＝x+，
∵A（﹣1，0），C（2，），
∴AC的中点为（，），
∵DC＝DA，
∴D是AC的垂直平分线上的点，
设AC的垂直平分线的解析式为y＝﹣x+n，
代入（，）得＝﹣×+n，
解得n＝，
∴AC的垂直平分线的解析式为y＝﹣x+，
把x＝2代入得y＝﹣+＝，
∴点D的坐标为（2，）
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法是解题的关键．
26．（2022春•金山区校级月考）抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0），经过A（0，3）、分别与x轴负、正半轴交于B、C两点，且OC＝3OB，设顶点为P．
（1）求出函数解析式，并先列表，后在右图中描点画出大致函数图象；
（2）连接BP、AC交于点G，求G的坐标．

【分析】（1）根据题意求得B、C的坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，利用列表、描点，连线画出函数的图象；
（2）求得直线BP、AC的解析式，然后解析式联立成方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）设抛物线与x轴的交点为B（x1，0），C（x2，0），
∵OC＝3OB，
∴x2＝﹣3x1，
∵＝﹣＝1，
∴x1+x2＝2，
∴﹣x1＝1，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（﹣1，0），C（3，0），
∴抛物线为y＝a（x+1）（x﹣3），
把A（0，3）代入得，3＝﹣3a，
解得a＝﹣1，
∴函数解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3；
列表：
x
…
﹣2
﹣1
1
2
3
…
…
y
…
﹣5
0
4
3
0
…
…
画出函数图象如图：
；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴P（1，4），
∵A（0，3），B（﹣1，0），C（3，0），
∴直线BP为y＝2x+2，直线AC为y＝﹣x+3，
解得，
∴G的坐标为（，）．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，两条直线的交点问题，熟知待定系数法是解题的关键．
九．抛物线与x轴的交点（共1小题）
27．（2022春•徐汇区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB＝2，抛物线与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求∠ACB的正切值；
（3）若点D在抛物线上，且S△BCD＝3，请直接写出所有满足条件的点D坐标．

【分析】（1）由抛物线的解析式求得对称轴为直线x＝2，然后由AB＝2求得点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），从而代入点A得到抛物线的解析式；
（2）过点A作AH⊥BC于点H，先求得点C的坐标，然后得到OC，OB，BC的长，求得△OBC是等腰直角三角形，从而得到△ABH是等腰直角三角形，再由AB＝2求得AH、BH的长，再求得CH的长，最后即可求得∠ACB的正切值；
（3）先求得△ABC的面积为3，由△BCD的面积为3得知两三角形的面积相等，结合两三角形具有公共边，从而得到△BCD边BC上的高与AH长度相等，①当点D在直线BC下方时，过点A作直线BC的平行线，交y轴于点E，交抛物线于点D1，D2，先求得直线BC的解析式，再由直线平行的性质求得直线AE的解析式，再联立直线AE和抛物线的解析式求得点D1，D2；②当点D在直线BC上方时，取点FC＝EC，过点F作BC的平行线，交抛物线于点D3，D4，由点F的坐标求得直线D3D4的解析式，再联立直线D3D4和抛物线的解析式求得点D3，D4的坐标．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
又∵AB＝2，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），
将点A（1，0）代入y＝ax2﹣4ax+3得：a﹣4a+3＝0，
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．
（2）过点A作AH⊥BC于点H，则∠AHC＝∠AHB＝90°，
对y＝x2﹣4x+3，当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
又∵O（0，0），A（1，0），B（3，0），
∴BO＝CO＝3，BC＝3，
∵∠COB＝90°，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∵AB＝2，
∴AH＝BH＝，
∴CH＝BC﹣BH＝2，
∴tan∠ACB＝＝＝；
（3）∵AB＝2，OC＝3，
∴S△ABC＝×2×3＝3，
∴S△ABC＝S△BCD＝3，
∴△BCD边BC上的高与AH长度相等，
①当点D在直线BC下方时，过点A作直线BC的平行线，交y轴于点E，交抛物线于点D1，D2，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设直线AE的解析式为y＝﹣x+b，
将点A（1，0）代入y＝﹣x+b，得﹣1+b＝0，
∴b＝1，
∴E（0，1），直线AE的解析式为y＝﹣x+1，
由，解得：或，
∴点D1（2，﹣1），D2（1，0）；
②当点D在直线BC上方时，取点FC＝EC，过点F作BC的平行线，交抛物线于点D3，D4，则F（0，5），
设直线D3D4的解析式为y＝﹣x+m，
将点F代入y＝﹣x+m，得m＝5，
∴直线D3D4的解析式为y＝﹣x+5，
由，解得：或，
∴，，
综上所述，当S△BCD＝3时，满足条件的点D坐标的坐标为D1（2，﹣1），D2（1，0），，．


【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的解析式，一次函数的解析式，解题的关键是熟知二次函数图象上点的坐标特征．
一十．二次函数的应用（共3小题）
28．（2022春•嘉定区校级期中）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：
进货批次
A型水杯（个）
B型水杯（个）
总费用（元）
一
100
200
8000
二
200
300
13000
（1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？
（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设A种型号的水杯进价为x元，B种型号的水杯进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据：利润＝（每台实际售价﹣每台进价）×销售量，列函数关系式，配方成二次函数的顶点式可得函数的最大值；
【解答】解：（1）设A种型号的水杯进价为x元，B种型号的水杯进价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种型号的水杯进价为20元，B种型号的水杯进价为30元；
（2）设超市应将B型水杯降价m元时，每天售出B型水杯的利润为W元，根据题意，
得：W＝（44﹣m﹣30）（20+5m）
＝﹣5m2+50m+280
＝﹣5（m﹣5）2+405，
∴当m＝5时，W取得最大值，最大值为405元，
答：超市应将B型水杯降价5元时，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为405元．
【点评】本题主要考查二元一次方程组及二次函数的实际应用，理解题意准确抓住相等关系，据此列出方程或函数关系式是解题的关键．
29．（2022•徐汇区模拟）某店旺季销售一种海鲜产品，为了寻求合适的销售量，试营销了4天，经市场调研发现，试营销日销量情况如下表：
时间x（天）
第1天
第2天
第3天
第4天
…
日销售量y（千克）
380
400
420
440
…
（1）根据表中数据的变化规律，选择一次函数、二次函数、反比例函数中的一种函数模型来确定y与x的函数关系式，并说明选择的理由．
（2）试营销后，公司对这种海产品每天进行定量销售，首批6000千克海产品很块销售一空，对于第二批次6000千克海产品，公司决定在第一批销售量的基础上每天增加100千克定量销售，结果还是比第一批次提前2天售完，求公司对第一批次每天的销售定量是多少千克？
【分析】（1）表格数据符合一次函数的规律，故设函数的表达式为：y＝kx+b，将（1，380）、（2，400）代入上式，即可求解；
（2）写出两批销售天数的表达式，再利用第二批比第一批次提前2天售完，列等式即可．
【解答】解：（1）根据表中数据的变化规律可知：时间每增加1天，销售量就增加20千克，
∴选择一次函数模型来确定y与x的函数关系式．
故设函数的表达式为：y＝kx+b，
将（1，380）、（2，400）代入上式得：，
解得：，
故函数的表达式为：y＝20x+360．
（2）设公司对第一批次每天的销售定量是a千克，则公司对第二批次每天的销售定量是（100+a）千克，根据题意，
得＝+2，
整理，得，
a2+100a﹣300000＝0，
解方程，得，
a1＝500，a2＝﹣600，
经检验，a1、a2都是分式方程的解，但负值不合题意，应舍去，
∴a＝500．
即公司对第一批次每天的销售定量是500千克．
【点评】主要考查了函数的实际应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．
30．（2022•宝山区模拟）在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形ABC，它的底边AB长20厘米．要截得的矩形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上．设EF的长为x厘米，矩形EFGD的面积为y平方厘米，试写出y关于x的函数解析式及定义域，并求当EF的长为4厘米时所截得的矩形的面积．

【分析】由题意得，矩形的面积等于相邻两边之积，根据图中几何关系把ED边用x表示出来，再由矩形EFGD在等腰直角三角形内，求出定义域，最后把EF的长为4厘米，代入函数关系式，求得矩形面积．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形EFGD是矩形，
∴△AFE和△DGB都是等腰直角三角形，
∴AF＝EF＝x，GB＝DG＝x，
FG＝AB﹣AF﹣GB＝20﹣2x，
矩形EFGD的面积y＝x（20﹣2x）
＝﹣2x2+20x，
由0＜20﹣2x＜20，
解得0＜x＜10，
∴y关于x的函数关系式是y＝﹣2x2+20x，
定义域是0＜x＜10，
当x＝4时，y＝﹣2×42+20×4＝48，
即当EF的长为4厘米时，所截得的矩形的面积为48平方厘米．
【点评】此题考查等腰直角三角形和矩形的性质，在等腰直角三角形和矩形中解题，要注意几何关系．
一十一．二次函数综合题（共10小题）
31．（2022•上海）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移抛物线，平移后的顶点为P（m，n）（m＞0）．
ⅰ．如果S△OBP＝3，设直线x＝k，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求k的取值范围；
ⅱ．点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且∠BPQ＝120°，求点P的坐标．
【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）i．根据三角形面积求出平移后的抛物线的对称轴为直线x＝2，开口向上，由二次函数的性质可得出答案；
ii．P（m，﹣3），证出BP＝PQ，由等腰三角形的性质求出∠BPC＝60°，由直角三角形的性质可求出答案．
【解答】解：（1）将A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3．
（2）i．∵y＝x2﹣3，
∴抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），
即点B是原抛物线的顶点，
∵平移后的抛物线顶点为P（m，n），
∴抛物线平移了|m|个单位，
∴S△OPB＝×3|m|＝3，
∵m＞0，
∴m＝2，
即平移后的抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵在x＝k的右侧，两抛物线都上升，原抛物线的对称轴为y轴，开口向上，
∴k≥2；
ii．把P（m，n）代入y＝x2﹣3，
∴n＝﹣3，
∴P（m，﹣3），
由题意得，新抛物线的解析式为y＝+n＝﹣3，
∴Q（0，m2﹣3），
∵B（0，﹣3），
∴BQ＝m2，+，PQ2＝，
∴BP＝PQ，
如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC＝|m|，

∵PB＝PQ，PC⊥BQ，
∴BC＝BQ＝m2，∠BPC＝∠BPQ＝×120°＝60°，
∴tan∠BPC＝tan60°＝＝，
∴m＝2或m＝﹣2（舍），
∴n＝﹣3＝3，
∴P点的坐标为（2，3）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平移的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
32．（2022•浦东新区二模）如图，抛物线x2+bx+c与x轴交于点A（4，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点M在x轴上，且在点B的右侧，联结BC、CM，如果S△MBC：S△ABC＝4：7，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果点D在线段OC上，∠CAD＝∠MCO，求OD的长度．

【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的表达式为x2﹣x﹣3；
（2）在x2﹣x﹣3中，令y＝0得B（﹣3，0），A（4，0），设M（m，0），可得[（m+3）×3]：（×7×3）＝4：7，可解得M（1，0）；
（3）过D作DE⊥AC于E，由M（1，0），C（0，﹣3），得tan∠MCO＝＝，故tan∠CAD＝tan∠MCO＝，设DE＝t，则AE＝3t，CE＝5﹣3t，根据△DCE∽△ACO，即得＝，解得t＝，从而可得OD＝OC﹣CD＝．
【解答】解：（1）将A（4，0），C（0，﹣3）代入x2+bx+c得：
，
解得，
答：抛物线的表达式为x2﹣x﹣3；
（2）在x2﹣x﹣3中，令y＝0得x＝﹣3或x＝4，
∴B（﹣3，0），A（4，0），
∴AB＝7，
设M（m，0），
∵S△MBC：S△ABC＝4：7，
∴[（m+3）×3]：（×7×3）＝4：7，
解得m＝1，
∴M（1，0）；
（3）过D作DE⊥AC于E，如图：

由A（4，0），C（0，﹣3）得AC＝＝5，
∵M（1，0），C（0，﹣3），
∴tan∠MCO＝＝，
∴tan∠CAD＝tan∠MCO＝，
∴＝，
设DE＝t，则AE＝3t，CE＝5﹣3t，
∵∠DCE＝∠ACO，∠DEC＝90°＝∠AOC，
∴△DCE∽△ACO，
∴＝，即＝，
解得t＝，
∴DE＝，CE＝5﹣3t＝1，
∴CD＝＝，
∴OD＝OC﹣CD＝3﹣＝，
答：OD的长度为．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，锐角三角函数，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．
33．（2022•青浦区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点P为抛物线上一点，且在x轴下方，联结PA．当∠PAB＝∠ACO时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q，当AQ平分∠PAC时，求抛物线平移的距离．

【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设P（t，﹣t2+4t﹣3），如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，连接AC、AP，可证得△APD∽△CAO，建立方程求解即可得出答案；
（3）如图2，连接AQ、PQ，过点P作PE⊥PA交AQ于点E，过点E作EF⊥PQ于点F，可证得△APD≌△PEF（AAS），得出：PF＝AD＝，EF＝PD＝，即E（，﹣），再利用待定系数法求得直线AE的解析式为y＝﹣2x+2，再求得Q（，﹣），即可求得抛物线平移的距离．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），
∴，
解得：，
∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
（2）设P（t，﹣t2+4t﹣3），如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，连接AC、AP，
则∠ADP＝∠AOC＝90°，AD＝t﹣1，PD＝﹣（﹣t2+4t﹣3）＝t2﹣4t+3，
又OA＝1，OC＝3，
∵∠PAB＝∠ACO，
∴△APD∽△CAO，
∴＝，即＝，
∴3t2﹣13t+10＝0，
解得：t1＝1（舍去），t2＝，
当t＝时，﹣t2+4t﹣3＝﹣（）2+4×﹣3＝﹣
∴P（，﹣）；
（3）如图2，连接AQ、PQ，过点P作PE⊥PA交AQ于点E，过点E作EF⊥PQ于点F，
由（2）知：P（，﹣），∠PAC＝90°，
∴PD＝，AD＝﹣1＝，∠ADP＝90°，
∵将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q，
∴D、P、Q在同一条直线上，
∴∠APD+∠EPF＝90°，
∵∠PFE＝90°＝∠ADP，
∴∠PEF+∠EPF＝90°，
∴∠APD＝∠PEF，
∵AQ平分∠PAC，
∴∠PAE＝∠PAC＝×90°＝45°，
又PE⊥PA，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴AP＝PE，
∴△APD≌△PEF（AAS），
∴PF＝AD＝，EF＝PD＝，
∴E（，﹣），
设直线AE的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线AE的解析式为y＝﹣2x+2，
当x＝时，y＝﹣2x+2＝﹣2×+2＝﹣，
∴Q（，﹣），
∵﹣﹣（﹣）＝，
∴抛物线y＝﹣x2+4x﹣3向下平移了个单位．


【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
34．（2022•静安区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标是（2，4），点B在x轴上，OB＝AB（如图所示），二次函数的图象经过点O、A、B三点，顶点为D．
（1）求点B与点D的坐标；
（2）求二次函数图象的对称轴与线段AB的交点E的坐标；
（3）二次函数的图象经过平移后，点A落在原二次函数图象的对称轴上，点D落在线段AB上，求图象平移后得到的二次函数解析式．

【分析】（1）设B（m，0），由OB＝AB，可求B（5，0），设二次函数解析式为y＝ax（x﹣5），将（2，4）代入可求函数的解析式，从而求D点坐标；
（2）求出直线AB解析式为y＝﹣x+，令x＝得y＝﹣×+＝，求得E（，）；
（3）由A点的变化可知A点向右平移个单位，则D（，）向右平移个单位后点的横坐标为3，再由平移后的D点在线段AB上，从而求出平移后D点坐标为（3，），可得平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+．
【解答】解：（1）设B（m，0），
∵A坐标是（2，4），OB＝AB，
∴m2＝（m﹣2）2+（0﹣4）2，
解得m＝5，
∴B（5，0），
设二次函数解析式为y＝ax（x﹣5），将（2，4）代入得：
﹣6a＝4，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x（x﹣5）＝﹣（x﹣）2+，
∴顶点D（，）；
（2）由（1）知二次函数图象的对称轴是直线x＝，
设直线AB解析式为y＝kx+b，将A（2，4），B（5，0）代入得：
，
解得，
∴直线AB解析式为y＝﹣x+，
令x＝得y＝﹣×+＝，
∴E（，）；
（3）∵二次函数图象的对称轴是直线x＝，
∴A点向右平移个单位，
∴D（，）也向右平移个单位后点的横坐标为3，
∵平移后的D点在线段AB上，
∴平移后D点坐标为（3，），
∴平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象的平移的性质是解题的关键．
35．（2022•徐汇区二模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0），点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式；
（2）过P作y轴的平行线交抛物线于M，当△PBM是MP为腰的等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）若顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内（不含边界），求m的取值范围．


【分析】（1）先求出点B（0，3），运用待定系数法可求得抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，可求得A（﹣3，0），把点A的坐标代入y＝kx+3，即可求得直线AB的解析式为y＝x+3；
（2）设P（m，m+3），且﹣3≤m≤0，则M（m，﹣m2﹣2m+3），可得PM＝﹣m2﹣3m，运用两点间距离公式可得PB＝﹣m，根据△PBM是MP为腰的等腰三角形，分两种情况：MP＝PB或MP＝MB，分别建立方程求解即可得出答案；
（3）利用待定系数法可求得经过点D（﹣1，4）且平行直线AB的直线DG的解析式y＝x+5，联立，得x+5＝﹣x2﹣2x+3，可得点G的横坐标为﹣2，根据题意可知：点M必须在直线DG上方的抛物线上运动，故﹣2＜m＜﹣1．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+3交y轴于点B，
∴B（0，3），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（0，3），点C（1，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
令y＝0，得﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），
把点A的坐标代入y＝kx+3，得﹣3k+3＝0，
解得：k＝1，
∴直线AB的解析式为y＝x+3；
（2）∵点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m，
∴P（m，m+3），且﹣3≤m≤0，
∵过P作y轴的平行线交抛物线于M，
∴M（m，﹣m2﹣2m+3），
∴PM＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
∵PB2＝（m﹣0）2+（m+3﹣3）2＝2m2，且﹣3≤m≤0，
∴PB＝﹣m，
∵△PBM是MP为腰的等腰三角形，B（0，3），
∴MP＝PB或MP＝MB，
∵OA＝OB＝3，∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO＝45°，
∵PM∥OB，
∴∠BPM＝45°，
①当MP＝PB时，
∴﹣m2﹣3m＝﹣m，
解得：m＝0（舍去）或m＝﹣3+，
∴P（﹣3+，）；
②当MP＝MB时，
则∠PBM＝∠BPM＝45°，
∴∠BMP＝90°，
∴BM∥x轴，即点M的纵坐标为3，
∴﹣m2﹣2m+3＝3，
解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣2，
∴P（﹣2，1），
综上所述，点P的坐标为（﹣3+，）或（﹣2，1）；
（3）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点D（﹣1，4），
设经过点D（﹣1，4）且平行直线AB的直线DG的解析式为y＝x+n，如图2，
则﹣1+n＝4，
解得：n＝5，
∴y＝x+5，
联立，得x+5＝﹣x2﹣2x+3，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2，
∴点G的横坐标为﹣2，
∵顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内（不含边界），
∴点M必须在直线DG上方的抛物线上运动，
∴m的取值范围为：﹣2＜m＜﹣1．


【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会运用分类讨论思想和方程思想解决问题，属于中考压轴题．
36．（2022•杨浦区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B（0，3），在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，过P作PM⊥AB，垂足为点M．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，如果，求点P的坐标；
（3）如果以N为圆心，NA为半径的圆与以OB为直径的圆内切，求m的值．

【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）先证明△PMN∽△AEN，根据相似三角形性质可得出：．利用待定系数法可得直线AB的解析式为．设点P（m，﹣m2+m+3）（0＜m＜4），则PN＝﹣m2+3m．AN＝（4﹣m），建立方程求解即可得出答案；
（3）设OB的中点为点Q，则点Q的坐标，过点N作NK⊥y轴于点K，则NK＝m，KQ＝﹣m+3﹣＝﹣m+，运用勾股定理可得QN＝＝，根据两圆内切建立方程求解即可得出答案．
【解答】解，（1）∵抛物线与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C（0，3），
∴
∴
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；
（2）如图1，∵PM⊥AB，PE⊥x轴，
∴∠PMN＝∠PEA＝90°，
又∵∠PNM＝∠ANE，
∴△PMN∽△AEN．
∴．即．
又∵，
∴．
设直线AB：y＝kx+b，又直线AB经过点A（4，0），点B（0，3），
∴
∴
∴．
∵点P在抛物线y＝﹣x2+x+3上，
∴设点P（m，﹣m2+m+3）（0＜m＜4），
∵点N在直线y＝﹣x+3上，设点N（m，﹣m+3）．
∴PN＝﹣m2+m+3﹣（m+3）＝﹣m2+3m．
又．
∴，
解得：m1＝2，m2＝4（不合题意，舍去）．
∴点P的坐标是．
（3）如图2，设OB的中点为点Q，则点Q的坐标，
又点，过点N作NK⊥y轴于点K，则NK＝m，KQ＝﹣m+3﹣＝﹣m+，
在Rt△NQK中，QN＝＝，
当⊙N与⊙Q内切时，．
∴＝（4﹣m）﹣，
解之得：．
∴当⊙N与⊙Q内切时，．


【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，勾股定理，两圆内切的性质等，本题综合性强，有一定难度，第（2）问运用相似三角形周长比等于相似比建立方程求解是解题关键，第（3）问根据圆与圆内切的性质建立方程求解是解题关键．
37．（2022•崇明区二模）如图．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交直线BC于点F，交抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；
（3）如果将△ECF沿直线CE翻折，点F恰好落在y轴上点N处，求点N的坐标．

【分析】（1）根据点A的坐标和对称轴可得关于a、c的方程组，解方程组可得答案；
（2）首先利用点B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，则∠MBF＝∠FBM＝∠CFE＝45°，设F（m，﹣m+3），则E（m，﹣m2+2m+3），表示出EF和CF的长度，再根据相似三角形的判定与性质，从而解决问题；
（3）根据平行线的性质和翻折的性质可得CF＝EF，从而得出m的方程，即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
所以，所求的抛物线的解析式是：y＝﹣x2+2x+3；
（2）由题意得：B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
∴∠MBF＝∠FBM＝∠CFE＝45°，
设F（m，﹣m+3），则E（m，﹣m2+2m+3），
∴，
当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，
①若，则，
∴或m＝0（舍去），
∴，
②若，则，
∴或m＝0（舍去），
∴，
∴EF＝或；
（3）∵△CEN是由△CEF沿直线CE翻折而得，
∴CN＝CF，∠NCE＝∠ECF，
∵NC∥EF，
∴∠NCE＝∠CEF，
∴∠ECF＝∠CEF，
∴CF＝EF，
∵，
解得：（舍去），
∴，
所以，N的的坐标是．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，翻折的性质，一元二次方程等知识，熟练掌握平行线与角平分线得出等腰三角形是解决问题（3）的关键．
38．（2022•闵行区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段BC于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点G．
（1）求抛物线的表达式；
（2）以点G为圆心，BG为半径画⊙G；以点E为圆心，EF为半径画⊙E．
当⊙G与⊙E内切时．
①试证明EF与EB的数量关系；
②求点F的坐标．

【分析】（1）根据点A、B的坐标，设抛物线y＝a（x+1）（x﹣3），再将点C代入即可求出a的值，从而得出答案；
（2）①分两种情形，当r⊙G＞r⊙E时，则GB﹣EF＝GE，则EF＝EB，当r⊙G＜r⊙E时，则EF﹣GB＝GE，设EF＝5t，FG＝3t，GE＝4t，则5t﹣GB＝4t，则GB＝t＜GE＝4t，从而得出矛盾；
②由．设BD＝t，则DE＝，利用勾股定理得BE＝，则F坐标为（3﹣t，3t），代入抛物线解析式，从而解决问题．
【解答】解：（1）∵点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）．
设抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），
∵抛物线经过点C（0，4），
∴4＝﹣3a．
解得．
∴抛物线的表达式是；
（2）①由于⊙G与⊙E内切，
当r⊙G＜r⊙E时，则EF﹣GB＝GE，
设EF＝5t，FG＝3t，GE＝4t，则5t﹣GB＝4t，
∴GB＝t＜GE＝4t，
∴点E在线段CB的延长线上．
又∵已知点E在线段BC上，
∴矛盾，因此不存在．
当r⊙G＞r⊙E时，则GB﹣EF＝GE，
又∵GE＝GB﹣EB，
∴EF＝EB；
②∵OC⊥OB，FD⊥OB，
∴∠COB＝∠EDB＝90°．
∴．
∴设BD＝t，则DE＝；
在Rt△BED中，由勾股定理得，
．
∴，
∴F坐标为（3﹣t，3t），
∵F点在抛物线上，
∴，
∴解得，t＝0（点F与点B重合，舍去）．
∴F坐标为（，）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，圆与圆的位置关系，三角函数等知识，根据⊙G与⊙E内切，得出EF＝EB是解决问题的关键．
39．（2022•宝山区二模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）经过点A（1，0）、B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将抛物线向左平移m个单位（m＞2），平移后点A、B、C的对应点分别记作A1、B1、C1，过点C1作C1D⊥x轴，垂足为点D，点E在y轴负半轴上，使得以O、E、B1为顶点的三角形与△A1C1D相似，
①求点E的坐标；（用含m的代数式表示）
②如果平移后的抛物线上存在点F，使得四边形A1FEB1为平行四边形，求m的值．
【分析】（1）将点A（1，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣2，即可求解；
（2）①分别求出A1（1﹣m，0），B1、（2﹣m，0），C1（﹣m，﹣2），D（﹣m，0），设E（0，y），由题意可知要使三角形相似，只需∠OB1E＝∠DC1A1或∠OB1E＝∠C1A1D，当∠OB1E＝∠DC1A1，tan∠OB1E＝tan∠DC1A1＝，＝则，求出E（0，1﹣m）；当∠OB1E＝∠C1A1D，则＝2，求出E（0，4﹣2m）；
②设F（x，y），当E（0，1﹣m）时，由题意可知四边形A1E为平行四边形的对角线，可得，再由y＝﹣（x﹣+m）2+，求出m＝2（舍）或m＝；同理当E（0，4﹣2m）时，求得m＝5．
【解答】解：（1）将点A（1，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣2，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+3x﹣2；
（2）①y＝﹣x2+3x﹣2＝﹣（x﹣）2+，
平移先后抛物线解析式为y＝﹣（x﹣+m）2+，
令x＝0，则y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
平移后A1（1﹣m，0），B1、（2﹣m，0），C1（﹣m，﹣2），
∵C1D⊥x轴，
∴D（﹣m，0），
∴OB1＝m﹣2，C1D＝2，A1D＝1，
设E（0，y），
∴OE＝﹣y，
∵∠B1OE＝90°，∠C1DA1＝90°，
∴∠OB1E＝∠DC1A1或∠OB1E＝∠C1A1D，
当∠OB1E＝∠DC1A1，
∴tan∠OB1E＝＝，tan∠DC1A1＝＝，
∴＝，
∴y＝1﹣m，
∴E（0，1﹣m）；
当∠OB1E＝∠C1A1D，
∴＝2，
∴y＝4﹣2m，
∴E（0，4﹣2m）；
综上所述：E点坐标为（0，1﹣m）或（0，4﹣2m）；
②设F（x，y），
当E（0，1﹣m）时，
∵四边形A1FEB1为平行四边形，
∴四边形A1E为平行四边形的对角线，
∴，
∴x＝﹣1，
∵平移先后抛物线解析式为y＝﹣（x﹣+m）2+，
∴y＝（﹣+m）2+，
∴1﹣m＝﹣（﹣+m）2+，
解得m＝2（舍）或m＝，
当m＝时，y＝﹣，F（﹣1，﹣），
∴m＝；
当E（0，4﹣2m）时，
∵四边形A1FEB1为平行四边形，
∴四边形A1E为平行四边形的对角线，
∴，
∴x＝﹣1，
∵平移先后抛物线解析式为y＝﹣（x﹣+m）2+，
∴y＝（﹣+m）2+，
∴4﹣2m＝﹣（﹣+m）2+，
∴m＝5或m＝2（舍）；
综上所述：m＝或m＝5．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，抛物线平移的性质，平行四边形的性质是解题的关键．
40．（2022•长宁区二模）如图，已知菱形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，点D的坐标为（4，1），抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B、D，对称轴为直线x＝．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：菱形ABCD是正方形；
（3）联结OC，如果P是x轴上一点，且它的横坐标大于点D的横坐标，∠PCD＝∠BCO，求点P的坐标．

【分析】（1）由对称轴可得b＝﹣，将点D的坐标代入y＝x2+bx+c即可求解析式；
（2）分别求出A点、B点坐标，证明△ABO≌△DAE（SSS），即可证明菱形ABCD是正方形；
（3）过点C作MN⊥y轴交于M点，过点P作PN⊥MN交于N点，连接DP，通过证明△MBC≌△OAB（AAS），求出C点坐标，再证明△MCO∽△NPC，求出P点坐标即可．
【解答】（1）解：∵抛物线y＝x2+bx+c对称轴为直线x＝，
∴﹣＝，
∴b＝﹣，
∵抛物线经过点D（4，1），
∴1＝×16﹣×4+c，
∴c＝3
∴y＝x2﹣x+3；
（2）证明：令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
令y＝0，则x2﹣x+3＝0，
解得x＝1或x＝（舍），
∴A（1，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∴AE＝3，
∵DE＝1，AB＝AD，
∴△ABO≌△DAE（SSS），
∴∠BAO＝∠DAE，
∵∠BAO+∠OBA＝90°，
∴∠DAE+∠BAO＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴菱形ABCD是正方形；
（3）过点C作MN⊥y轴交于M点，过点P作PN⊥MN交于N点，连接DP，
∵∠MBC+∠OBA＝90°，
∵∠MBC+∠MCB＝90°，
∴∠OBA＝∠MCB，
∵BC＝AB，
∴△MBC≌△OAB（AAS），
∴MC＝OB，MB＝OA，
∴C（3，4），
∵∠PCD＝∠BCO，
∴∠BCD＝∠OCP＝90°，
∴∠MCO+∠NCP＝90°，
∵∠MCO+∠MOC＝90°，
∴∠NCP＝∠MOC，
∴△MCO∽△NPC，
∴＝，
∴＝，
∴CN＝，
∴MN＝3+＝，
∴P（，0）．


【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形、正方形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．