专题05 图形的位似（知识串讲+8大考点）-九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

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知识一遍过
（一）位似图形的概念
（1）如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：
①成位似的两个图形必须是相似形；但相似图形不一定是位似图形
②位似图形对应点的连线都经过同一个点；
③位似图形对应边平行．
（二）位似图形的性质
①对应角相等，对应边之比等于位似比；
②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
③位似三角形的对应边的比、周长比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于位似比，但面积的比等于位似比的平方．
考点一遍过
考点1：位似图形的识别
典例1：（2023春·山东烟台·八年级统考期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“ ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）

A．①和②B．②和③C．①和④D．②和④
【答案】B
【分析】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得．
【详解】解：A、①和②是位似图形，则此项不符合题意；
B、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意；
C、①和④是位似图形，则此项不符合题意；
D、②和④是位似图形，则此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了位似图形，熟记定义是解题关键．
【变式1】（2021春·福建厦门·九年级校考阶段练习）将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标作如下变化，其中属于位似变换的是（ ）
A．将各点的纵坐标乘以2，横坐标不变
B．将各点的横坐标除以2，纵坐标不变
C．将各点的横坐标、纵坐标都乘以2
D．将各点的纵坐标减去2，横坐标加上2
【答案】C
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，进而判断即可．
【详解】解：A、将各点的纵坐标乘以2，横坐标不变，不属于位似，故此选项不合题意；
B、将各点的横坐标除以2，纵坐标不变，不属于位似，故此选项不合题意；
C、将各点的横坐标、纵坐标都乘以2，属于位似，故此选项符合题意；
D、将各点的纵坐标减去2，横坐标加上2，不属于位似，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的定义是解题关键．
【变式2】（2022秋·山东滨州·九年级统考期末）下图所示的四种画法中，能使得△DEF是△ABC位似图形的有（ ）
A．①②B．③④C．①③④D．①②③④
【答案】D
【分析】根据每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行
∴①②③④能使得△DEF是△ABC位似图形，
故选：D．
【点睛】本题考查了位图图形的性质与画法，掌握位似图形的性质是解题的关键．
【变式3】（2023春·八年级单元测试）在如图所示的肉眼成像的示意图中，可能没有蕴含下列哪项初中数学知识（ ）
A．平行线的性质B．相似三角形的判定
C．位似图形D．旋转
【答案】D
【分析】根据位似图形、相似三角形的判定、平行线的性质、旋转的概念判断即可．
【详解】解：∵两棵树是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，
∴这两个图形是位似图形，
∴本题蕴含了平行线的性质、相似三角形的判定、位似图形，没有蕴含旋转，
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似图形、相似三角形的判定、平行线的性质、旋转的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．
考点2：判断位似中心
典例2：（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）如图，点O是等边三角形PQR的中心，P'、Q'、R'分别是OP、OQ、OR的中点，则△P'Q'R'与△PQR是位似三角形，此时△P'Q'R'与△PQR的位似比、位似中心分别是（ ）

A．2、点PB．12、点PC．2、点OD．12、点O
【答案】D
【分析】一般地，如果两个图形满足以下两个条件：所有经过对应点的直线都相交于同一点：这个交点到两个对应点的距离之比都相等，那么这两个图形就叫做位似图形，经过各对应两点的直线的交点叫做位似中心．位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比，位似比等于相似比．因而位似中心是点O，△P'Q'R'与△PQR位似比是OP':OP=12．
【详解】∵点O是等边三角形PQR的中心，P'、Q'、R'分别是OP、OQ、OR的中点，
∴各对应点的连线交于点O，
∴位似中心是点O，
∵△P'Q'R'与△PQR是位似三角形，位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比，
∴△P'Q'R'与△PQR位似比是OP':OP=12，
故选：D．
【点睛】本题考查了位似的相关知识，理解掌握位似中心和位似比的定义是解题的关键．
【变式1】（2022秋·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，则位似中心是（ ）．
A．(6,0)B．(7,0)C．(6,1)D．(7,1)
【答案】B
【分析】找位似图形的位似中心直接连接位似图形的对应点并延长，延长线的交点即所找位似中心，写出坐标即可．
【详解】作图如下：
延长线的交点为(7,0)，位似中心即为(7,0)．
故选：B．
【点睛】本题考查了找位似图形的位似中心，理解位似中心的定义做出图像是做出本题的关键．
【变式2】（2022秋·福建泉州·九年级泉州五中校联考期末）如图，正方形网格图中的△ABC与△A'B'C'是位似关系图，则位似中心是（ ）
A．点OB．点PC．点QD．点R
【答案】A
【分析】连接AA',CC'交于点O，即可．
【详解】解：如图，连接AA',CC'交于点O，
∴位似中心是点O．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
【变式3】（2022春·九年级单元测试）如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）

A．点AB．点BC．点CD．点D
【答案】D
【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上，据此即可求解．
【详解】解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点A、B为对应点，
∴位似中心在A、B所在的直线上，
∵点D在直线AB上，
∴点D为位似中心．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上是解题关键．
考点3：求位似图形的相似比
典例3：（2023·重庆渝中·统考二模）如图，△ABC与△ A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA:OA1 =1:2，则△ABC与△ A1B1C1的面积比是（ ）

A．1:2B．1:3C．1:4D．1:9
【答案】C
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A1B1C1，AC//A1C1，进而得出△AOC∽△A1OC1，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵ΔABC与△A1B1C1位似，
∴△ABC∽△A1B1C1，AC//A1C1，
∴∠CAO=∠C1A1O，∠ACO=∠A1C1O，
∴△AOC∽△A1OC1，
∴ ACA'C'=OAOA'=12，
∴ΔABC与△A1B1C1的面积比为1:4，
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、位似图形的对应边平行是解题的关键．
【变式1】（2023·安徽淮北·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，△A'B'C'与△ABC位似，位似中心为原点O，已知点A(-1,-1)，C(-4,-1)，A'C'=6，则点C'的坐标为( )

A．(2,2) B．(4,2) C．(6,2) D．(8,2)
【答案】D
【分析】根据A(-1,-1)，C(-4,-1)，求出AC的长度，结合位似，得到相似比，即可得到答案；
【详解】解：∵A(-1,-1)，C(-4,-1)，
∴AC=(-4+1)2+(-1+1)2=3，
∵△A'B'C'与△ABC位似，A'C'=6，
∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2:1，
∵C(-4,-1)，
∴C'(8,2)，
故选：D．
【点睛】本题考查位似，解题的关键是根据线段比得到位似比，再根据位似性质求解．
【变式2】（2023·重庆·九年级专题练习）如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似，点O是它们的位似中心，若OA：OA'=2：3，则CD：C'D'的值为（ ）
A．1：2B．2：3C．2：5D．4：9
【答案】B
【分析】根据位似变换的概念得到CD∥C'D'，得到△OCD∽△OC'D'，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似，
∴CD∥C'D'，
∴△OCD∽△OC'D'，
∴CDC'D'=ODO'D'
∵ODO'D'=OAO'A'=23
∴CDC'D'=23
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的对应边互相平行是解题的关键．
【变式3】（2022秋·陕西咸阳·九年级统考期末）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的周长之比为（ ）

A．1:6B．1:5C．1:4D．1:2
【答案】D
【分析】根据题意求出△ABC与△DEF的位似比，得到相似比，周长之比等于相似比．
【详解】解：以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，
∴AB∥DE，
∵AD=OA，
∴AB:DE=OA:OD=1:2，
∴△ABC与△DEF的位似比为1:2，
∴△ABC与的周长之比为1:2．
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长之比等于相似比．
考点4：求位似图形的线段长度
典例4：（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为1：4，若OA=2，则OD的长为( )

A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】根据对应点到位似中心距离之比等于位似比即可解答．
【详解】∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为1:4，
∴OAOD=14，
∵OA=2，
∴OD=4OA=8，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似图形中“对应点到位似中心距离之比等于位似比”是解答本题的关键．
【变式1】（2022春·九年级课时练习）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为1∶2，下列结论不正确的是（ ）
A．AC∥DF
B．ABDE=OAOD=12
C．BC是△OEF的中位线
D．S△ABC：S△DEF=1：2
【答案】D
【分析】根据位似图形的性质、中位线的定义、相似多边形的性质判断即可；
【详解】解：∵位似图形的对应线段平行且比相等；位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比；
∴AC∥DF，AB∶DE=OA∶OD=1∶2，即A、B选项正确；
∵BC∥EF，BC∶EF=1∶2，
∴BC是△OEF的中位线；即C选项正确；
∵位似图形是相似图形，
∴△ABC∽△DEF，
∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，
∴S△ABC：S△DEF =1：4，即D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查位似图形的性质、相似多边形的性质和中位线的定义；掌握位似图形的性质是解题关键．
【变式2】（2023·江苏·九年级专题练习）如图，O是位似中心，点A，B的对应点分别为点D、E，相似比为2:1，若AB=8，则DE的长为（ ）
A．8B．10C．12D．16
【答案】D
【分析】根据O是位似中心，点A，B的对应点分别为点D、E，推出△ABC∽△DEF，根据相似比为2:1，推出DE:AB=2:1，根据AB=8，推出DE=16．
【详解】∵O是位似中心，点A，B的对应点分别为点D、E，
∴△ABC∽△DEF，
∵相似比为2:1，
∴DE:AB=2:1，
∵AB=8，
∴DE=16．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了位似三角形，解决问题的关键是熟练掌握位似图形对应边的比等于相似比的性质．
【变式3】（2021秋·海南海口·九年级海南华侨中学校考期末）如图所示，矩形ABCD与矩形AB'C'D'是位似图形，点A是位似中心，矩形ABCD的周长是24，BB'=4，DD'=2，则AB和AD的长分别是( )
A．7，5B．8，4C．6，6D．10，2
【答案】B
【分析】根据矩形的性质得到AD=12-AB，根据位似变换的性质得到CD∥C'D',BC∥B'C'，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【详解】解：∵矩形ABCD的周长是24，
∴AB+AD=12，
∴AD=12-AB，
∵BB'=4，DD'=2，
∴AB'=AB+4,AD'=12-AB+2=14-AB，
∵矩形ABCD与矩形AB'C'D'是位似图形，
∴CD∥C'D',BC∥B'C'，
∴ADAD'=ACAC'，ABAB'=ACAC'，
∴ADAD'=ABAB'，即12-AB14-AB=ABAB+4，
解得，AB=8，
则AD=12-AB=4，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比是解答本题的关键．也考查了平行线分线段成比例定理．
考点5：求位似图形的周长比
典例5：（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OC:CF=2:3，△DEF的周长为15，则△ABC的周长为（ ）

A．10B．6C．5D．4
【答案】B
【分析】根据位似图形的性质，得到△ABC∽△DEF，根据OC:CF=2:3得到相似比为：OCOF=OCOC+CF=25，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案．
【详解】解：∵△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形
∴△ABC∽△DEF
∴ACDF=OCOF=OCOC+CF
OC:CF=2:3
∴ACDF=OCOC+CF=25
∴C△ABCC△DEF=ACDF=25
△DEF的周长为15，
∴C△ABC=25×15=6
故选B．
【点睛】本题考查了相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．
【变式1】（2022秋·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，OB:BE=1:2．若△ABC的周长为4，则△DEF的周长为（ ）
A．8B．12C．16D．20
【答案】B
【分析】根据位似图形的性质，得到△ABC∽△DEF，根据OB:BE=1:2得到相似比为：OBOE=OBOB+BE=OBOB+2OB=13，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案．
【详解】解：∵△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形
∴△ABC∽△DEF
∴ACDF=OBOE=OBOB+BE
∵OB:BE=1:2
∴BE=2OB
∴ACDF=OB3OB=13
∴C△ABCC△DEF=ACDF=13
∵△ABC的周长为4，
∴C△DEF=3×4=12
故选B．
【点睛】本题考查了相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．
【变式2】（2023·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考三模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知BO:EO=2:1，则△ABC与△DEF的周长比是（ ）
A．4:1B．3:1C．2:1D．3:2
【答案】C
【分析】由位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，根据相似三角形的性质得到答案即可．
【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴ABDE=OBOE=2，
∴C△ABCC△DEF=ABDE=2，
即△ABC与△DEF的周长比是：2:1，
故选：C．
【点睛】本题考查了位似变换的概念，掌握位似三角形是相似三角形以及相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．
【变式3】（2023·重庆南岸·统考一模）正方形ODEF与正方形OABC位似，点O为位似中心，OE:OB=1:4，则正方形ODEF与正方形OABC的周长比为（ ）

A．1:3B．1:4C．1:9D．1:16
【答案】B
【分析】先根据位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ，得OF:OC=1:4，再求正方形ODEF与正方形OABC的周长比．
【详解】解：∵正方形ODEF与正方形OABC位似，OE:OB=1:4，
∴OF:OC=1:4，
正方形ODEF与正方形OABC的周长为1:4，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或-k．
考点6：求位似图形的面积比
典例6：（2023·重庆·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，若OB:BE=1:2，△ABC的面积为2，则△DEF的面积为（ ）

A．4B．6C．8D．18
【答案】D
【分析】根据位似图形的性质，得到△ABC∽△DEF，根据OB:BE=1:2得到相似比，再结合相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案．
【详解】解：∵ △ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，
∴ △ABC∽△DEF，
∴ACDF=OBOE=OBOB+BE，
∵ OB:BE=1:2，
∴BE=2OB，
∴ACDF=OB3OB=13，
∴ S△ABCS△DEF=19，
∵ △ABC的面积为2，
∴ △DEF的面积为18，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解题的关键．
【变式1】（2023·河北邢台·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于原点O位似，且OB=2OE，若S△ABC=4，则S△DEF为（ ）
A．1B．2C．12D．32
【答案】A
【分析】直接利用位似图形的性质得出△DEF与△ABC的面积比，进而得出答案．
【详解】解：∵△ABC与△DEF关于原点O位似，OB=2OE，
∴△ABC与△DEF相似比为：2：1，
∴△ABC与△DEF面积之比为4：1，
∴S△DEF=14S△ABC，
∵S△ABC=4，
∴S△DEF=1．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的相关知识是解题的关键．
【变式2】（2022·重庆·重庆八中校考三模）如图，△ABC和△AʹBʹCʹ位似，位似中心为点O，点A（-1，2）、点A′（2，-4），若△ABC的面积为4，则△AʹBʹCʹ的面积是（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】D
【分析】直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用相似三角形的性质得出答案．
【详解】解：∵△ABC和△A'B'C′位似，位似中心为原点O，点A（-1，2）、点A'（2，-4），
∴△ABC和△A'B'C′的相似比为：1：2，
∴△ABC和△A'B'C′的面积比为：1：4，
∵△ABC的面积为4，
∴△A'B'C′的面积是：16．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．
【变式3】（2023春·重庆永川·九年级重庆市永川萱花中学校校考阶段练习）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA:OD=1:4，△ABC的面积为1，则△DEF的面积是（ ）
A．3B．4C．9D．16
【答案】D
【分析】根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方计算即可．
【详解】因为△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，且OA:OD=1:4，
所以S△ABCS△DEF=（14）2=116，
因为△ABC的面积为1，
所以△DEF的面积是16，
故选D．
【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键．
考点7：求位似图形的坐标
典例7：（2022秋·湖南衡阳·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A-6,9、B-9,-3，以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．-2,3B．-18,27
C．-18,27或18,-27D．-2,3或2,-3
【答案】D
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k解答．
【详解】解：∵点A的坐标为-6,9，以原点为位似中心将△ABO缩小，位似比为13，
∴点A'的对应点的坐标为：-6×13,9×13或-6×-13,9×-13，即-2,3或2,-3，
故选：D．
【点睛】本题考查坐标与图形变换-位似变换，熟知位似变换规则是解答的关键．
【变式1】（2022秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为2,4，点E的坐标为-1,2．则点P的坐标为（ ）
A．-3,0B．-2,0C．-32,0D．-23,0
【答案】B
【分析】根据点B的坐标为2,4，点E的坐标为-1,2得AB=4，OA=2，OD=2，根据矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心得POPA=ODAB=24=12，可得PO=OA=2，即可得．
【详解】解：∵点B的坐标为2,4，点E的坐标为-1,2，
∴AB=4，OA=2，OD=2，
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，
∴POPA=ODAB=24=12，
∴PO=OA=2，
∴点P的坐标为(-2,0)，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是理解题意，掌握位似变换．
【变式2】（2022秋·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考期中）如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，点A的坐标为3,2，点F的坐标为-1,-1，则这两个正方形位似中心的坐标为（ ）

A．1,0或57,27B．-5,-2或-3,-2
C．1,0D．1,0或-5,-2
【答案】D
【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律，分两种情况：一种是当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点，分别求出直线的函数解析式，然后求交点即可．
【详解】解：∵正方形ABCD和正方形EFOG中，点A的坐标为3,2，点F的坐标为-1,-1，
∴E(-1,0),G(0,-1),,B(3,0),C(5,0),D(5,2)，
（1）当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点，位似中心就是EC与AG的交点.
设AG所在的直线的解析式为y=kx+b
3k+b=2b=-1 解得k=1b=-1
∴AG所在的直线的解析式为y=x-1
当y=0时，x=1，所以EC与AG的交点为1,0；
（2）A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.，则位似中心就是AE与CG的交点
设AE所在的直线的解析式为y=kx+b
3k+b=2-k+b=0 解得k=12b=12
∴AE所在的直线的解析式为y=12x+12
设CG所在的直线的解析式为y=kx+b
5k+b=0b=-1 解得k=15b=-1
∴AG所在的直线的解析式为y=15x-1
联立y=12x+12y=15x-1解得x=-5y=-2
∴AE与CG的交点为(-5,-2)
综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是1,0或(-5,-2)
故选：D．
【点睛】本题主要考查位似图形，涉及了待定系数法求函数解析，求位似中心，正确分情况讨论是解题的关键．
【变式3】（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）如图，△OA'B'是△OAB的位似图形，已知A1,2，S△OAB:S△OA'B'=4:1，则点A'的坐标是（ ）

A．-12,-1B．-12,1C．14,-12D．-14,-12
【答案】A
【分析】根据面积比可得相似比为2:1，然后可得答案．
【详解】解：∵S△OAB:S△OA'B'=4:1，
∴△OAB和△OA'B'的相似比为2:1，
∵A1,2，
∴A'-12,-1，
故选：A．
【点睛】此题考查了位似图形的性质，此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
考点8：坐标系中画位似图形、位似中心
典例8：（2022秋·江西萍乡·九年级统考期末）如图，已知A(0,-2)，B(-2,1)，C(3,2)．

(1)求线段AB的长；
(2)把A、B、C三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到A'，B'，C'的坐标，画出△A'B'C'，并求A'B'的长；
(3)△ABC与△A'B'C'是位似图形吗？若是，请写出位似中心的坐标，并求出位似比．
【答案】(1)AB=13；
(2)见解析，A'B'=213；
(3)△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心(0,0)，位似比为12．
【分析】（1）将线段AB放在直角三角形中，根据勾股定理进行计算即可；
（2）根据题意分别求出A'，B'，C'的坐标，再根据勾股定理进行计算即可；
（3）根据位似图形的定义判定即可．
【详解】（1）解：AB=22+32=13；
（2）△A'B'C'如图所示，

由题意得：A'(0,-4)，B'(-4,2)，
∴ A'B'=42+62=213；
（3）∵把A、B、C三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到A'，B'，C'的坐标
∴ △ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心(0,0)，
位似比为：ABA'B'=13213=12．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念，相似三角形的判定，勾股定理的应用，掌握位似图形的概念是解题的关键．如果两个相似多边形每组对应顶点A，A'的连线都经过同一个点O，且OA'=k⋅OA，那么这两个多边形称为位似多边形．
【变式1】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中已作出△ABC的位似图形△A1B1C1．
(1)在图中标出△ABC与△A1B1C1的位似中心M点的位置，并写出M点的坐标；
(2)若以点A1为位似中心，请在图中给定的网格内画出△A1B1C1的位似图形△A1B2C2，且△A1B1C1与△A1B2C2的位似比为2∶1．
【答案】(1)作图如图所示，M0,2
(2)△A1B2C2如图所示
【分析】（1）根据位似图形的对应点的连线交于一点，改点即为位似中心即可求解；
（2）根据位似图形的定义和作图方法即可作出图形．
【详解】（1）解：M点位置如图所示，M0,2．
（2）△A1B2C2如图所示．
【点睛】本题考查了位似图形的定义与作图，解题关键是掌握相关概念与作图技巧．
【变式2】（2023春·宁夏银川·九年级银川一中校考期中）如图，是边长为1个单位的小正方形组成的12×12方格，在网格中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为-4,2和0,0．△ABC顶点都在格点上，将△ABC的三边分别扩大得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形．

(1)画出△ABC向下平移3个单位后的三角形△A2B2C2；
(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的三角形△A3B3C3；
(3)直接写出点P的坐标．
【答案】(1)见详解；
(2)见详解；
(3)(-4,-3)．
【分析】（1）将A、B、C三点分别向下平移3个单位，得到A2、B2、C2，再顺次连接A2、B2、C2即可得到△A2B2C2；
（2））作出A、B分别关于原点O的对称点A3、B3，顺次连接A3、B3、O，即可得到△A3B3C3；
（3）连接A1A、B1B并延长，它们的交点就是P点．

【详解】（1）如图△A2B2C2即为所求；
（2）如图△A3B3C3即为所求；
（3）连接A1A、B1B并延长，交点为(-4,-3)，则P点的坐标为(-4,-3)．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中的图形变换：平移变换／旋转变换和位似变换．正确的找到变换以后的对应点是解题的关键．
【变式3】（2022秋·江苏盐城·九年级东台市三仓镇中学校联考阶段练习）如图，△ABC三个顶点坐标分别 为A-2，-2，B-5，-4，C-1，-5．

(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1（点A，B，C的对应顶点分别为A1，B1，C1）；
(2)以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2（点A，B，C对应的点分别为A2，B2，C2）；
(3)点C2的坐标为__________△A2B2C2的面积__________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)2，10，22
【分析】（1）分别作出点A，B，C关于x轴对称点A1，B1，C1，再顺次连接即可得到答案；
（2）根据位似变换的概念作出点A，B，C在第一象限的对应点A2，B2，C2，再顺次连接即可得到答案；
（3）由所作图和割补法求解即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所作，
；
（2）解：如图所示，△A2B2C2即为所作，
；
（3）解：由图知点C2的坐标为：2，10，
△A2B2C2的面积为：6×8-12×2×6-12×6×4-12×8×2=48-6-12-8=22，
故答案为：2，10，22．
【点睛】本题主要考查作图—位似变换、轴对称变换，解题的关键是掌握位似变换和轴对称变换的概念与性质，并据此得出变换后的对应点．
同步一遍过
一、单选题
1．（2022秋·九年级课时练习）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．如图是视力表的一部分，图中的“”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A．①和④B．②和③C．①和②D．②和④
【答案】B
【分析】根据位似图形的概念判断即可．
【详解】解：①和④、①和②、②和④，两个图形是相似图形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行，都是位似图形；
②和③，对应边不平行，不是位似图形，
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念，熟练掌握位似图形必须满足：两个图形必须是相似形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行是解题的关键．
2．（2022春·九年级课时练习）如图ΔABC中，已知AD=13AC，AE=14AB，且ΔABC的面积为18cm2，则ΔBDE的面积为（ ）
A．6cm2B．92cm2C．3cm2D．2cm2
【答案】B
【分析】根据AD=13AC，可推出ΔABD和ΔBCD的面积比，由已知ΔABD和ΔBCD的面积和是18，可求出ΔABD的面积，同理，由AE=14AB，可知ΔADE和ΔBDE的面积比，即可求出ΔBDE的面积.
【详解】解：∵AD=13AC
∴S△ABDS△BDC=ADCD=12
∴S△ABC=S△ABD+S△BCD=3S△ABD=18cm2
∴S△ABD=6cm2
∵AE=14AB
∴AEBE=13
∴S△ADES△BDE=AEBE=13
∴S△ABC=S△ADE+S△BDE=43S△BDE=6cm2
∴S△BDE=92cm2
故选：B
【点睛】本题考查了两个三角形同高时，面积比就等于底边的比，已知两个三角形底边比和面积和，即可分别求出两个三角形面积.
3．（2022秋·河北唐山·九年级统考期中）如图，原点在网格格点上的平面直角坐标系中，两个三角形（顶点均在网格的格点上）是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是（ ）
A．-3,2B．-3,1C．2,-3D．-2,3
【答案】A
【分析】根据位似中心的概念作图，根据坐标与图形性质解答即可．
【详解】解：分别连接AD、BE并延长交于点P，
则点P(-3,2)为位似中心，
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念，掌握位似图形的对应顶点的连线相交于一点，这个点叫做位似中心是解题的关键．
4．（2022秋·九年级课时练习）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ）
A．△AOM和△AON都是等边三角形
B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形
C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形
D．MO∥BC且BM＝CO
【答案】C
【分析】根据菱形的性质、等边三角形的判定定理判断A；根据三角形中位线定理、菱形的判定定理判断B；根据位似变换的概念判断C，根据菱形的性质判断D．
【详解】解：∵∠BAD不一定等于为120°，
∴△AOM和△AON不一定都是等边三角形，A错误；
∵BM不一定等于BO，
∴四边形MBON和四边形MODN不一定都是菱形，B错误；
∵四边形ABCD为菱形，
∴AO＝OC，又AM＝MB，
∴OM∥BC，OM＝12BC，
同理，ON∥CD，ON＝12CD，
∴四边形AMON与四边形ABCD是以A为位似中心的位似图形，C正确；
MO∥BC，但BM不一定等于CO，D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查的是菱形的性质、位似变换的概念、等边三角形的判定，掌握位似变换的概念和性质是解题的关键．
5．（2023春·九年级单元测试）下列图形中不是位似图形的是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
【详解】解：根据位似图形的概念，A、B、D三个图形中的两个图形都是位似图形；
C中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形．
故选C．
【点睛】此题主要考查了位似图形，注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．
6．（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为1：4，若OA=2，则OD的长为( )

A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】根据对应点到位似中心距离之比等于位似比即可解答．
【详解】∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为1:4，
∴OAOD=14，
∵OA=2，
∴OD=4OA=8，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似图形中“对应点到位似中心距离之比等于位似比”是解答本题的关键．
7．（2022春·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点的坐标分别为A(-4,2)，B(-4,0)，O(0,0)，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是（ ）
A．(-2,1)B．(-2,1)或(2,-1)
C．(2,2)D．(2,0)或(-2,0)
【答案】B
【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标变换规律，把A点的横纵坐标分别都乘以12或-12得到C点坐标．
【详解】解答：解：∵A点坐标为（−4，2），以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的12得到△CDO，
∴C点坐标为（−2，1）或（2，−1）．
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
8．（2022秋·九年级单元测试）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是1,0，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是aa>1，则点B的对应点B'的横坐标是（ ）
A．2a-3B．-2a+3C．2a-4D．-2a+4
【答案】B
【分析】将点B、点C同时向左平移一个单位，点B的对应点横坐标为a-1，则其以原点为位似中心对应点横坐标为：-2（a-1），再向右平移一个单位，即为点B'，由此计算即可．
【详解】将点B、点C同时向左平移一个单位，点B的对应点横坐标为a-1，根据以原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律，此时，B点以原点为位似中心的对应点横坐标为：-2（a-1），将该点再向右平移一个单位即可得到所求点B'，横坐标为-2（a-1）+1=3-2a
故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．
9．（2022秋·全国·九年级专题练习）△ABC位似于△DEF，它们的周长比为2:3，已知位似中心O到A的距离为3，那么O到D的距离为（ ）
A．4B．4.5C．6D．9
【答案】B
【分析】先确定两图形的位似比，然后根据位似图形周长的比等于位似比列式进行计算即可得解.
【详解】∵它们周长的比为2 : 3
∴OA: OD= 2:3，
即3CD=23
解得:OD =4.5 ，
即O到D的距离为4.5，
故选:B.
【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长比等于相似比.
10．（2023·九年级课时练习）如图，在ΔABC和ΔA1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【分析】先利用位似图形的性质得出OC1=12OC，然后根据位似图形的性质解答即可．
【详解】∵C1为OC的中点，
∴OC1=12OC
∵ΔABC和ΔA1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，
∴A1B1AB=OB1OB，
B1C1//BC
∴OB1OB=OC1OC
∴A1B1AB=OC1OC
即A1B14=12
∴A1B2=2．
故选B．
【点睛】本题主要考查了位似变换，正确应用位似图形的性质是解答本题关键．
二、填空题
11．（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考模拟预测）在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似，位似中心为点O，位似比为2，那么四边形ABCD每个顶点的横、纵坐标都应在四边形A'B'C'D'的横、纵坐标的基础上乘以 ．
【答案】12或-12
【分析】根据位似变换的概念解答即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似，位似中心为点O，位似比为2，那么四边形ABCD每个顶点的横、纵坐标都应在四边形A'B'C'D'的横、纵坐标的基础上乘以12或-12，
故答案为：12或-12．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，坐标与图形性质，掌握位似变换的概念是解题的关键．
12．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：3 ．若点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是 ．
【答案】(3 , 3)
【分析】由题意可得OA：OD＝1：3，又由点A的坐标为（0，1），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．
【详解】∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：3，
∴OA：OD＝1：3，
∵点A的坐标为（0，1），
即OA＝1，
∴OD＝3，
∵四边形ODEF是正方形，
∴DE＝OD＝3．
∴E点的坐标为：（3，3）．
故答案为（3，3）．
【点睛】本题考查了位似变换的性质与正方形的性质，注意理解位似变换与相似比的定义是解题的关键．
13．（2023春·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知C（1，2），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，要使△DEF的面积是△ABC面积的5倍，则点F的坐标为 ．
【答案】（5，10）
【分析】根据相似三角形的性质求出相似比，根据位似变换的性质计算即可．
【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，要使△DEF的面积是△ABC面积的5倍，
则△DEF的边长是△ABC边长的5倍，
∴点F的坐标为（1×5，2×5），即（5，10），
故答案为（5，10）．
【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
14．（2022秋·辽宁丹东·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,4)，B(-3,1)，C(-2,0)，以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的12，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标为 ．
【答案】(1,-2)或(-1,2)
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即可求得答案．
【详解】解：∵△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，4），B（-3，1），C（-2，0），以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的12，得到△A'B'C′，
∴点A的对应点A'的坐标为：（-2×12，4×12）或[-2×（-12），4×（-12）]，即（1，-2）或（-1，2）．
故答案为：（1，-2）或（-1，2）．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
15．（2022秋·山东菏泽·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，ΔABC和ΔA'B'C是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B3,1,B'6,2．若点A2,3, 则A'的坐标为 ．
【答案】4,6
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，根据相似比即可求得位似图形对应点的坐标.
【详解】由题意，得
ΔABC和ΔA'B'C是以坐标原点O为位似中心的位似图形，相似比为2
则A'的坐标为4,6，
故答案为：4,6.
【点睛】此题考查了位似图形与坐标的关系，熟练掌握，即可解题.
16．（2022秋·四川达州·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为 ．
【答案】(6,4)
【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．
【详解】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，
∴ ADBG=13，
∵BG=12，
∴AD=BC=4，
∵AD//BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴ OAOB=13，
∴ OA4+OA=13，
解得：OA=2，
∴OB=6，
∴C点坐标为：(6,4)，
故答案为(6,4)．
【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出AO的长是解题关键．
三、解答题
17．（2023·安徽六安·统考模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．

(1)请作出将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别为A1,B1,C1）；
(2)以点O为位似中心，将△ABC扩大为原来的2倍得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A1,B1,C1即可；
（2）延长AO到A2使OA2=2OA，延长BO到B2使OB2=2OB，延长CO到C2使OC2=2OC，则△A2B2C2满足条件．
【详解】（1）如图，△A1B1C1 为所作；
（2）如图，△A2B2C2 为所作．

【点睛】本题考查了作图-位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．也考查了旋转变换．
18．（2022秋·安徽六安·九年级统考期末）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O是格点，△ABC是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点A1是点A以点O为位似中心得到的．

(1)画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1；
(2)△A1B1C1与△ABC的相似比为___________；
(3)△A1B1C1与△ABC的面积之比为_____________．
【答案】(1)见解析
(2)3:1
(3)9:1
【分析】（1）直接利用A点对应点位置结合位似中心得出B，C点对应点;
（2）利用所画图形，结合对应点与位似中心的距离得出位似比；
（3）得出三角形面积即可得出答案.
【详解】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）解：∵由图可知，OAOA1=13，
∴△A1B1C1与△ABC的位似比为3:1；
（3）解：∵S△A1B1C1=12×9×3=272，S△ABC=12×1×3=32，
∴△A1B1C1与△ABC的面积比为9:1．
【点睛】此题主要考查了位似变换以及勾股定理，正确得出对应点位置是解题关键.
19．（2022秋·陕西榆林·九年级校考期中）如图①，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为4m，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.
（1）以点O为位似中心，在网格图中作△A´B´C´，使它与△ABC位似，且相似比为2；
（2）如图②，某台风过后，李明发现一棵被吹倾斜的大树EF与地面的夹角为45°，且其影子DE长为4.5米，同时李明还发现大树树干和影子形成的△DEF与△ABC相似（树干对应BC边），求大树在被吹倾斜前的高度.（结果保留根号）
【答案】（1）见解析；（2）32米
【分析】（1）根据位似三角形的性质画图即可；
（2）先利用小正方形的边长和勾股定理求出AB、BC的长，再根据相似三角形的性质即可求出大树在被吹倾斜前的高度.
【详解】解：（1）如图所示，根据△A´B´C´与△ABC位似，且相似比为2，分别将OA、OB、OC延长一倍，即可得到A´、B´、C´，△A'B'C'即为所求；
（2）∵OB=OC=2×4=8,
∴∠ABC=∠DEF=45°,
BC=OB2+OC2=82.
∵△DEF~△ABC，
∴DEAB=EFBC，
即4.512=EF82，
∴EF=32.
故大树在被吹倾斜前的高度为32米.
【点睛】此题考查的是画位似图形及相似三角形的性质，掌握位似图形的性质和相似三角形的性质是解决此题的关键.
20．（2023·陕西·校考模拟预测）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，在AC边求作点E，使ΔADE与△ABC位似．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】答案见解析
【分析】若△ADE与△ABC位似，则要求DE//BC，所以过点D作BC的平行线与AC的交点即为点E．
【详解】
分别以B、D为圆心，BD为半径作圆，交BC于点F，交AB于H,再以H为圆心DF为半径作圆，交圆D于G，连接DG交AC于点E，此时BFGD为菱形，所以DE//BC，则△ADE与△ABC位似．
【点睛】本题主要考查三角形位似图形的做法，需要先考虑相似的条件，根据所需条件作图才能解决问题．
21．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（4，4），C（﹣2，3），将点O，A，B，C的横坐标和纵坐标都分别乘以﹣2．
(1)画出以变化后的四个点为顶点的四边形；
(2)由（1）得到的四边形与四边形OABC位似吗？如果位似，指出位似中心及与原图形的相似比，如果不位似，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)得到的四边形与四边形OABC位似，位似中心是O（0，0），与原图形的相似比为2．
【分析】（1）按照有理数的乘法算出每个点的横纵坐标即可；
（2）位似定义：关键是看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形，交点就是位似中心．根据定义判断即可．
【详解】（1）如图所示，四边形OA′B′C′即为所求四边形；
（2）∵将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘以﹣2可得出四边形OA′B′C′，
∴各对应边的比为2，对应点的连线都过原点，
∴得到的四边形与四边形OABC位似，
位似中心是O（0，0），
与原图形的相似比为2．
【点睛】本题考查位似的判定，熟练掌握位似的定义是本题关键．
22．（2022秋·安徽亳州·九年级蒙城县第六中学阶段练习）已知平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2, 2)，B(1, -1)，C(3, 0)．
(1)画出以点O为位似中心，将△ABC放大到原来2倍的△A'B'C'；
(2)分别写出A'B'C'三点的坐标．

【答案】(1)如图所示：△A'B'C'和△A″B″C″即为所求，见解析；(2)如图所示：A'(4, 4)，B'(-2, 2)，C'(-6, 0)；A″(-4, -4)，B″(2, -2)，C″(6, 0)．
【分析】（1）利用关于原点成位似图形的坐标性质得出各点位置进而画出图形；
（2）利用所画图形进而得出各点坐标即可．
【详解】(1)如图所示：△A'B'C'和△A″B″C″即为所求；
(2)如图所示：A'(4, 4)，B'(-2, 2)，C'(-6, 0)；
A″(-4, -4)，B″(2, -2)，C″(6, 0)．
【点睛】本题考查作图-位似变换，解题的关键是根据性质作图求点坐标.
23．（2022秋·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格点P．
（1）以A点为位似中心，将△ABC在网格中放大成△AB1C1，使B1C1BC=2，请画出△AB1C1；
（2）以P点为三角形的一个顶点，请画一个格点△PMN，使△PMN∽△ABC，且相似比为2．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【详解】【试题分析】（1）以A为位似中心，欲使B1C1BC=2，即BCB1C1=12 ，则△ABC与△AB1C1的相似比为12 ，即延长AB到B1 ,使AB=BB1,同样的方法，使AC=CC1,因为∠A=∠A ,则△ABC∼△AB1C1，
（2）分别将个边长同时乘以2 ，分别为10，32,4 ，利用勾股定理，分别找出来即可.
【试题解析】（1）如图，△AB1C1即为所求
（2）如图，△PMN即为所求(注意PM、PN、MN的长)．
24．（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A-2，-2，B-5，-4，C-1，-5．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在如图网格中画出△A2B2C2．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再收尾顺次连接即可得；
（2）根据位似变换的概念作出三个顶点在第一象限的对应点，再首尾顺次连接即可得．
【详解】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）解：如图所示，△A2B2C2即为所求．
【点睛】本题主要考查作图-位似变换、轴对称变换，解题的关键是掌握位似变换和轴对称变换的概念与性质，并据此得出变换后的对应点．
25．（2023·山西阳泉·统考一模）阅读与思考
任务：（1）第三步发现的结论是______．
（2）已知图1中点A(6,2),A'(9,3),B(4,3),S△ABC=2，则点B'的坐标是_______，S△A'B'C'=______．
（3）如图2，以点P为位似中心，画出与矩形MNOP的相似比为0.75的一个图形．
【答案】（1）位似中心与对应点连线之比等于相似比；（2）(6,4.5)；4.5；（3）见解析．
【分析】（1）OA'OA=OB'OB=OC'OC=1.50，所以考查相似图形的性质．
（2）根据相似比即可推出对应点的坐标，面积比等于相似比的平方就可求出相关答案．
（3）因为相似比已知，所以根据位似图形的性质，分别求出所求矩形的长和宽，在网格中画图即可。
【详解】（1）位似中心与对应点连线之比等于相似比，结论正确即可．
（2）∵OB'OB=1.50，且点B4,3，
∴点B'的横坐标为：1.5×4=6，纵坐标为：3×1.5=4.5,所以B'6,4.5．
又∵S△A'B'C'S△ABC=(A'B'AB)2=1.52，
∴S△A'B'C'=2×2.25=4.5．
（3）如图：

图中矩形PHIJ即为所作图形．
【点睛】本题主要考查位似图形的性质，以及根据性质在网格中画位似图形等相关知识点，能根据位似图形的性质进行分析是解题关键．
探索位似的性质利用图形计算器或计算机等信息技术工具，可以很方便地将图形放大或缩小，还可以探索位似的性质．
小明利用《几何画板》软件，尝试用“观察—猜想—验证—应用”的方法进行探究，步骤如下：
如图1，任意画一个△ABC，以点O为位似中心，自选新旧图形的相似比为k，得到△A'B'C'．
第一步，度量对应边的长度，并计算它们的比值，发现结果与k的值相等．
第二步，以O为原点建立平面直角坐标系，分别度量点A，A'的横坐标，并计算比值；分别度量点A，A'的纵坐标，并计算比值，观察比值与k的关系，发现它们相等．接下来对其它顶点作相同的操作，得出相同的结论．
第三步，作线段OA,OA',OB,OB',OC,OC'，度量它们，发现的结论是：_______．
第四步，任意改变△ABC的位置或形状，发现上面探究得出的结论仍然成立．
于是，小明总结并得出了位似的性质．