专题03图形的相似（12个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年九年级数学上学期期中期末考点大串讲（北师大版）

这是一份专题03图形的相似（12个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年九年级数学上学期期中期末考点大串讲（北师大版），文件包含专题03图形的相似12个考点知识梳理+解题方法+专题过关-2022-2023学年九年级数学上学期期中期末考点大串讲北师大版解析版docx、专题03图形的相似12个考点知识梳理+解题方法+专题过关-2022-2023学年九年级数学上学期期中期末考点大串讲北师大版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。


专题03图形的相似（12个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．
②合比性质．若＝，则＝．
③分比性质．若＝，则＝．
④合分比性质．若＝，则＝．
⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．
二．比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
三．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
四．相似图形
（1）相似图形
我们把形状相同的图形称为相似图形．
（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
（3）相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
五．相似多边形的性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
六．相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
七．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
八．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
九．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
十．作图-相似变换
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．
（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：

（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
十一．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
十二．作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
【专题过关】
一．比例的性质（共2小题）
1．（2022春•锦江区校级期中）已知，则＝　　．
【分析】先利用比例的性质得到y＝3x，然后把y＝3x代入所求的代数式中进行分式的化简即可．
【解答】解：∵，
∴y＝3x，
∴＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键．
2．（2022•淮安区模拟）已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，求a值．
【分析】利用设k法进行计算即可解答．
【解答】解：设＝＝＝k，
∴a＝6k，b＝5k，c＝4k，
∵a+b﹣2c＝6，
∴6k+5k﹣8k＝6，
∴k＝2，
∴a＝6k＝12，
∴a的值为12．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法进行计算是解题的关键．
二．比例线段（共3小题）
3．（2021秋•苏州期末）若线段a＝2cm，线段b＝8cm，则a，b的比例中项c为（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．32cm
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出c的值，注意线段不能为负．
【解答】解：由比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
则c2＝ab，即c2＝2×8，
解得c＝4，（线段是正数，负值舍去）．
故选：A．
【点评】本题考查了比例线段，理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
4．（2022•淮安区模拟）已知线段a＝4cm，线段b＝7cm，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长．
【分析】根据比例中项的定义，构建方程即可解决问题．
【解答】解：∵线段c是线段a，b的比例中项，
∴c2＝ab，
∵a＝4cm，b＝7cm，c＞0，
∴c＝2cm．
故线段c的长为2cm．
【点评】本题考查比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（2021秋•凤阳县期末）已知线段a，b，c满足且a+b+c＝22．
（1）求线段a，b，c的长；
（2）若线段x是线段a，b的比例中项（），求线段x的长．
【分析】（1）设＝k，然后用k表示出a、b、c，再代入a+b+c＝22求解得到k，即可得到a、b、c的值；
（2）根据比例中项的定义列式得到x2＝ab，即x2＝4×6，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段x的长．
【解答】解：（1）设＝k，
则a＝3k，b＝2k，c＝6k，
∵a+b+c＝22，
∴3k+2k+6k＝22，
解得k＝2，
∴a＝3×2＝6，b＝2×2＝4，c＝6×2＝12；
（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，
∴x2＝ab＝6×4＝24，
∴x＝2或x＝﹣2（舍去），
∴线段x＝2．
【点评】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．
三．平行线分线段成比例（共3小题）
6．（2022春•桓台县期末）如图，DE∥BC，且EC：BD＝2：3，AD＝6，则AE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由平行线分线段成比例定理得＝＝，即可得出结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝＝，
即＝，
解得：AE＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
7．（2022春•蓬莱市期末）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∵AB∥CD∥EF，
∴＝≠，故本选项不符合题意；
B．∵AB∥CD∥EF，
∴＝，故本选项不符合题意；
C．∵AB∥CD∥EF，
∴＝，故本选项不符合题意；
D．∵AB∥CD∥EF，
∴＝，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
8．（2021秋•东湖区校级期末）如图，AB∥EF∥CD，E为AD与BC的交点，F在BD上，求证：+＝．

【分析】根据平行线分线段成比例定理，得到＝和＝，求和化简得到答案．
【解答】解：∵AB∥EF，
∴＝，
∵EF∥CD，
∴＝，
∴+＝+＝1，
∴+＝．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握定理、找准对应关系是解题的关键．
四．相似图形（共3小题）
9．（2022•汝阳县一模）形状相同的图形是相似图形．下列哪组图形不一定是相似图形（　　）
A．关于直线对称的两个图形
B．两个正三角形
C．两个等腰三角形
D．两个半径不等的圆
【分析】根据相似图形的概念判断即可．
【解答】解：A、关于直线对称的两个图形全等，
∴它们是相似图形，本选项不符合题意；
B、两个正三角形的对应角相等，对应边的比相等，
∴它们是相似图形，本选项不符合题意；
C、两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边的比不一定相等，
∴它们不一定是相似图形，本选项符合题意；
D、两个半径不等的圆是相似图形，本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是相似图形的判断，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键．
10．（2021秋•平顶山期末）甲说：将三角形各边向内平移1个单位并适当缩短，得到如图1所示的图形，变化前后的两个三角形相似．
乙说：将矩形（长和宽不相等）各边向内平移1个单位并适当缩短，得到如图2所示的图形，变化前后的两个矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）

A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【分析】利用相似图形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的图形相似，进而判断即可．
【解答】解：∵三角形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等，
∴变化前后的两个三角形相似．
∵矩形对应边外平移1个单位后，对应边的比值不一定相等，
∴变化前后的两个矩形不相似，
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似图形的判定，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键．
11．（2019秋•大观区校级期中）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．

请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．
（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为1，求△DEF的面积．
【分析】（1）根据相似三角形以及相似多边形的判定定理来判定甲乙的观点是否正确；
（2）首先根据勾股定理的逆定理求出∠C是直角，求出△ACB的内切圆半径，进而△DEF的内切圆的半径，根据相似三角形的性质以及面积公式即可求出△DEF的边长，进而求出△DEF的面积．
【解答】解：（1）观点一正确；观点二不正确．
理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，

∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，
∴AB∥DE，AC∥DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，
∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，
即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEF，
∴观点一正确；
②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，

则新矩形邻边为4和8，
∵＝，＝，
∴，
∴新矩形于原矩形不相似，
∴观点二不正确；
（2）如图（3），延长DA、EB交于点O，

∵A到DE、DF的距离都为1，
∴DA是∠FDE的角平分线，
同理，EB是∠DEF的角平分线，
∴点O是△ABC的内心，
∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴△ABC是直角三角形，
设△ABC的内切圆的半径为r，
则6﹣r+8﹣r＝10，
解得r＝2，
过点O作OH⊥DE于点H，交AB于G，
∵AB∥DE，
∴OG⊥AB，
∴OG＝r＝2，
∴＝＝，
同理＝＝＝，
∴DF＝9，EF＝12，
∴△DEF的面积为：×9×12＝54．
【点评】本题主要考查了相似三角形的综合题，主要涉及到相似三角形以及相似多边形的判定，熟练应用相似多边形的判定方法是解题关键．
五．相似多边形的性质（共3小题）
12．（2022•镇海区二模）如图，点E、F、G、H分别在▱ABCD的AD、AB、BC、CD边上，EG∥CD，FH∥AD，EG与FH交于点P，连结BD交FH于点Q，连结BP，设▱AEPF、▱EDHP、▱FPGB、▱PHCG的面积分别为S1、S2、S3、S4，若▱AEPF∽▱PHCG，则只需知道（　　），就能求△BPQ的面积．

A．S2﹣S1 B．S3﹣S1 C．S4﹣S1 D．S4﹣S3
【分析】证明S△BPQ＝（S4﹣S3），可得结论．
【解答】解：如图，∵▱AEPF∽▱PHCG，设相似比＝＝k，AE＝m，AF＝n，∠AFP＝θ．则DE＝PH＝CG＝kAE，BF＝PG＝CH＝kAF＝kn，
∴S1＝mn•sinθ，S2＝kmn•sinθ，S3＝kmn•sinθ，S4＝k2S1＝k2mn•sinθ，
∵△BFQ∽△DHQ，
∴＝＝＝k，
∴FQ＝FH＝（AE+DE）＝（m+km）＝km，
∴PQ＝FQ﹣FP＝km﹣m＝（k﹣1）m，
过点B作BM⊥FH于点M，则BM＝BF•sin∠BFM＝kn•sinθ，
∴S△BPQ＝•BM•PQ＝kn•sinθ•（k﹣1）m＝k（k﹣1）mn•sinθ，
∴S4﹣S3＝k2mn•sinθ﹣kmn•sinθ＝k（k﹣1）mn•sinθ，
∴S△BPQ＝（S4﹣S3），
故选：D．

【点评】本题考查相似多边形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
13．（2022秋•丰泽区校级月考）已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，BC＝3，CD＝2.4，B′C′＝2，则C′D′＝　1.6　．
【分析】利用相似多边形的性质，可得出＝，再代入BC＝3，CD＝2.4，B′C′＝2，即可求出C′D′的值．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴＝，即＝，
∴C′D′＝1.6．
故答案为：1.6．
【点评】本题考查了相似多边形的性质，牢记相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．
14．（2021•库尔勒市校级模拟）我们知道，如果两个四边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形．仅有对应角相等的两个四边形不一定相似，如正方形与两邻边长为1和2的矩形就不是相似四边形．
（1）仅有对应边成比例的两个四边形 　不一定　相似（填“一定”、“不一定”或“一定不”）；
（2）如图，在四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，，求证：四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．


【分析】（1）直接判断即可；
（2）只要证明各角对应相等、各边对应成比例即可．
【解答】解：（1）仅有对应边成比例的两个四边形不一定相似；
故答案为：不一定；
（2）连接AC，A'C'，如图，
∵∠B＝∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴∠BAC＝∠B′A′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，＝，
∵∠BAD＝∠B′A′D′，∠BCD＝∠B′C′D′，
∴∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC，
∠D′A′C′＝∠B′A′D′﹣∠B′A′C′，
∴∠DAC＝∠D′A′C′，
同理∠DCA＝∠D′C′A′，
∴△ADC∽△A′D′C′，
∴，
∴，
∵∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠BCD＝∠B′C'D′，
∴∠D＝∠D′
∴四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．

【点评】本题考查的多边形的相似，解题的关键是证明各边对应成比例，各角对应相等．
六．相似三角形的性质（共4小题）
15．（2022•丰南区一模）在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm增加了4cm，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（　　）
A．4倍 B．6倍 C．9倍 D．12倍
【分析】复印前后的三角形按照比例放大与缩小，因此它们是相似三角形，本题按照相似三角形的性质求解．
【解答】解：由题意可知，相似三角形的边长之比＝相似比＝2：（4+2）＝1：3，
所以面积之比＝（1：3）2＝1：9．
所以复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的9倍．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
16．（2022•贺州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴S△ADE∽S△ABC，
∵DE＝2，BC＝5，
∴S△ADE：S△ABC的值为，
故选：B．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
17．（2022•沈阳模拟）如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG．
（1）求证：四边形ABCG是平行四边形；
（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．

【分析】（1）根据相似三角形的性质可得AB∥CD，再由CD＝2AB，CG＝CD，可得AB＝CG，即可证明；
（2）由平行四边形的性质可得AG∥BC，可得∠AEB＝90°，再由CG＝3可得AB＝3，利用勾股定理可得BE，再由相似三角形的性质可得CE，从而得出BC，即可求解．
【解答】（1）证明：∵△AEB∽△DEC，
∴∠B＝∠BCD，
∴AB∥CD，
即AB∥CG，
∵CD＝2AB，CG＝CD，
∴AB＝CG，
∴四边形ABCG是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCG是平行四边形，AE＝2，CG＝3，
∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3，
∵∠GAD＝90°，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得：
BE＝，
即BE＝＝，
∵△AEB∽△DEC，
∴＝＝，
∴CE＝2，
∴BC＝BE+CE＝3，
∴AG＝BC＝3．
【点评】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质．
18．（2021秋•交城县期末）阅读理解：
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD为△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．

【分析】（1）根据完美分割线的定义，先证明△ABC不是等腰三角形，再证明△ACD为等腰三角形，最后证明△BCD∽△BAC；
（2）根据△ACD为等腰三角形，需要分三种情况讨论）①如图3所示，当AD＝CD时，②如图4所示，当AD＝AC，③如图5所示，当AC＝CD，然后结合美分割线的定义可得△BDC∽△BCA，可以分别求出∠ACB的度数．
【解答】（1）证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，
∵∠A≠∠B≠∠ACB，
∴△ABC不是等腰三角形．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∴△ACD为等腰三角形．
∴∠DCB＝∠A＝40°，
∵∠CBD＝∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的完美分割线．
（2）解：①如图3所示，

当AD＝CD时，∠ACD＝∠A＝48°，
根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，则∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．
②如图4所示，

当AD＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝＝66°，
根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝114°．
③如图5所示，

当AC＝CD时，∠ADC＝∠A＝48°．
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴这与∠ADC＞∠BCD矛盾，
所以图5的情况不符合题意．
综上所述，∠ACB的度数为96°或114°．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，理解完美分割线的定义是解决本题的关键．
七．相似三角形的判定（共4小题）
19．（2022•宿豫区校级开学）已知AB＝4，CD＝9，BD＝17，AB⊥BD，CD⊥BD，在线段BD上有一点P，使得△PAB和△PCD相似，则满足条件的点P的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．无数
【分析】分两种情况讨论，由三角形的性质可列出等式，可求解．
【解答】解：设BP＝x，则PD＝17﹣x，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴当或时，△PAB和△PCD相似，
当时，则，解得：x＝，
当时，则，解得：x＝，
∴BP的值有三个，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
20．（2022•红谷滩区校级一模）如图，在第一象限内作与x轴的正半轴成60°的射线OC，在射线OC上截取OA＝2，过点A作AB⊥x轴于点B，在坐标轴上取一点P（不与点B重合），使得以P，O，A为顶点的三角形与△AOB相似，则所有符合条件的点P的坐标为 　（4，0）或（0，）或（0，）　．

【分析】由于∠AOB＝60°，∠ABC＝90°，所以当P点在x轴上，∠AOP＝60°，∠OAP＝90°时，△PAO∽△ABO，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到OP＝4，于是得到P（4，0）；当P点在y轴上，若∠APO＝60°，∠OAP＝90°时，△PAO∽△OBA，接着计算出OP＝，于是得到P（0，）；若∠PAO＝60°，∠APO＝90°时，△APO∽△OBA，则可计算出OP＝AP＝，于是得到P（0，）．
【解答】解：∵∠AOB＝60°，∠ABC＝90°，
∴当P点在x轴上，∠AOP＝60°，∠OAP＝90°时，△PAO∽△ABO，
此时OP＝2OA＝4，则P（4，0）；
当P点在y轴上，若∠APO＝60°，∠OAP＝90°时，△PAO∽△OBA，
此时AP＝OA＝，OP＝2AP＝，则P（0，）；
若∠PAO＝60°，∠APO＝90°时，△APO∽△OBA，
此时AP＝OA＝1，OP＝AP＝，则P（0，）；
综上所述，P点坐标为：（4，0）或（0，）或（0，）．
故答案为：（4，0）或（0，）或（0，）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了分类讨论的思想．
21．（2022•鼓楼区校级模拟）如图，点D为△ABC边AB上一点，AD＝2，BD＝6，AC＝4．求证：△ACD∽△ABC．

【分析】直接利用：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似去证明即可．
【解答】解：∵AD＝2，BD＝6，
∴AB＝8，
∴，，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
22．（2022•开远市二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，动点E在边BC上，连接DE，过点A作AH⊥DE，垂足为H，AH交CD于F．
（1）求证：△CDE∽△DAF；
（2）当FC＝2时，求EC的长．
（3）若直线AF与线段BC延长线交于点G，当△DEB∽△GFD时，求DF的长．


【分析】（1）根据矩形的性质得到∠ADC＝∠BCD＝90°．根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据矩形的性质得到DC＝AB＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）由∠DEC＝∠AFD＝90﹣∠EDC可得∠BED＝∠DFG，用x的代数式表示ED、FG、EB，再运用相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠ADC＝∠BCD＝90°．
又∵AF⊥DE，
∴∠DCE＝∠ADF＝90°，∠EDC＝∠DAF＝90°﹣∠DFA，
∴△ADF∽△DCE；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝3，
∵FC＝2，
∴DF＝DC﹣FC＝1，
∵△ADF∽△DCE
∴＝，
∴EC＝＝＝；
（3）解：如图中，
∵△ADF∽△DCE
∴＝，
∴＝＝＝2，
设EC＝x，则DF＝2x，
∵△DEB∽△GFD，
∴＝，
∴FG＝＝
∵△ADF∽△GCF，
∴＝，
∴FG＝•，
∴＝•
解得x＝，
∴DF＝2x＝．

【点评】本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
八．相似三角形的判定与性质（共6小题）
23．（2022•红谷滩区校级一模）如图，△ABC的两条高BD，CE相交于点O，则下列结论正确的是（　　）

A．△ABC是等腰三角形 B．OB＝OC
C．∠AED＝∠ACB D．
【分析】首先利用已知条件证明B、C、D、E四点共圆，然后利用圆的有关知识点即可解决问题．
【解答】解：如图，∵△ABC的两条高BD，CE相交于点O，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∴B、C、D、E四点共圆，
∴∠AED＝∠ACB，故C正确；
∴∠EDB＝∠ECB，∠EOD＝∠BOC，
∴△EOD∽△BOC，
∴＝，
故D错误；
△ABC中AB不一定等于AC，故A错误；
OB不一定等于OC，故B错误；
故选：C．

【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了四点共圆的知识点解决问题．
24．（2022•南岗区校级二模）如图，在▱ABCD中，点E在CD边上，连接AE、BE，AE交BD于点F，则下列结论正确的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例的性质进行解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD．
∴．
∴．
故选项A正确，符合题意；选项B错误，不符合题意；
由AB∥CD可得，，
∵AB＝DC，
∴，
∵点E在CD边上，
∴CE≠DC，
∴选项C错误，不符合题意；
如果AD∥BE，
那么，
∵AD与BE不平行，
∴，
故选项D错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质定理是解题的关键．
25．（2022•北仑区校级三模）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，G为CD上一点，连结AG交BD于点E，若AB＝AE，∠ABE＝∠EFC，则BF的长度为 　　．

【分析】根据矩形的性质和勾股定理可得BD＝10，然后证明△ADE∽△EBF，可得＝，然后根据等腰三角形的判定和性质证明GD＝GE，根据勾股定理得AG2＝AD2+DG2，解得GD＝，再由AB∥DG，可得△ABE∽△GDE，所以＝，即＝，可得BE＝，进而可以求出BF的长．
【解答】解：在矩形ABCD中，
∵AB＝6，AD＝8，
∴BD＝＝10，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠ABE＝∠EFC，
∴∠AEB＝∠EFC，
∴∠AED＝∠EFB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠EBF，
∴△ADE∽△EBF，
∴＝，
∴＝，
∵AB∥DC，
∴∠ABE＝∠EDG，
∵∠ABE＝∠AEB，
∴∠EDG＝∠AEB，
∵∠DEG＝∠AEB，
∴∠EDG＝∠DEG，
∴GD＝GE，
在Rt△ADG中，AD＝8，AG＝AE+GE＝6+GD，
根据勾股定理得：AG2＝AD2+DG2，
∴（6+GD）2＝82+GD2，
解得GD＝，
∵AB∥DG，
∴△ABE∽△GDE，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝，
∵＝，
∴＝，
∴BF＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ADE∽△EBF．
26．（2022春•思明区校级期中）在Rt△ABC，∠C＝90°，D为AB边的中点，点M，N分别在BC，AC边上，且DM⊥DN，MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E．求证：AE＝DF．

【分析】根据D为AB中点，可得AD＝BD，然后分别证明△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB，由线段比例关系可以证明AE＝DF．
【解答】证明：在Rt△ABC，∠C＝90°，
∵D为AB边的中点，
∴AD＝BD，
∵DM⊥DN，MF⊥AB，NE⊥AB
∴∠NDM＝∠DEN＝∠MFD＝90°，
∴∠END+∠NDE＝90°，∠NDE+∠FDM＝90°，
∴∠END＝∠FDM，
∴△DEN∽△MFD，
∴＝，
∴MF•EN＝DE•DF．
同理△AEN∽△MFB，
∴＝，
∴MF•EN＝AE•BF．
∴DE•DF＝AE•BF，
∴（AD﹣AE）•DF＝AE•（BD﹣DF），
∴AD•DF＝AE•BD，
∴AE＝DF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．解决本题的关键是得到△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB．
27．（2022•拱墅区校级二模）如图．已知BD是∠ABC的角平分线，E是BD延长线上的一点且AE＝AB．
（1）求证：△ADE∽△CDB；
（2）若AB＝6，BD＝4，DE＝5，求BC的长．

【分析】（1）BD是角平分线可得∠ABD＝∠CBD，AE＝AB可得∠ABD＝∠E，从而∠CDB＝∠E，再利用对顶角相等可得∠CDB＝∠ADE，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得结论；
（2）由（1）中的结论，利用相似三角形对应边成比例得出比例式，将已知线段代入可求BC．
【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵AB＝AE，
∴∠ABD＝∠E．
∴∠E＝∠CBD．
∵∠EDA＝∠BDC，
∴△ADE∽△CDB．
（2）解：∵AE＝AB，AB＝6，
∴AE＝6．
∵△ADE∽△CDB，
∴＝．
∵BD＝4，DE＝5，
∴＝．
∴BC＝．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确合理的使用相似三角形的判定定理是解题的关键．
28．（2022•钟楼区校级模拟）如图①，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1．
（1）证明△AFD∽△DCE，并计算点A到直线DE的距离（结果保留根号）．
（2）在图①的基础上，延长线段AF交边CD于点G，如图②，则FG的长为 　　．

【分析】（1）由四边形ABCD 是矩形，得到∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，根据勾股定理得到DE＝＝，通过△ADF∽△DCE，得到 ＝，列方程即可得到结果；
（2）证明△ADG∽△DCE，得到 ＝，求出AG，由FG＝AG﹣AF即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，
∴DE＝＝，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠C＝90°，
∴∠DAF+∠ADF＝∠ADF+∠CDE＝90°，
∴∠DAF＝∠CDE，
∴△ADF∽△DCE，
∴＝，
即＝，
∴点A到直线DE的距离AF＝；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，
∴DE＝＝，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠CDA＝90°，
∴∠CDE+∠ADE＝∠DAG+∠ADE＝90°，
∴∠DAG＝∠CDE，
∴△ADG∽△DCE，得
∴＝，即 ＝，
∴AG＝，
∴FG＝AG﹣AF＝﹣＝；
故答案为：；
【点评】本题是相似形综合题，考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证得△ADF∽△DCE是解题的关键．
九．相似三角形的应用（共3小题）
29．（2022•莲池区校级一模）如图，嘉嘉在A时测得一棵4米高的树的影长DF为8m，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长DE为（　　）

A．2m B．2m C．4m D．4m
【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△CDE∽Rt△FDC，进而可得＝，即DC2＝ED•FD，代入数据可得答案．
【解答】解：根据题意得CE⊥CF，CD＝4m，FD＝8m；
∵CE⊥CF，
∴∠ECF＝90°，
∴∠ECD+∠DCF＝90°，
∵CD⊥EF，
∴∠CDE＝∠CDF＝90°，
∴∠F+∠DCF＝90°，
∴∠ECD＝∠CFD，
∴Rt△CDE∽Rt△FDC，
∴＝，即CD2＝ED•FD，
代入数据可得42＝8ED，
解得：ED＝2（m）；
即B时的影长DE为2m．
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的应用．解题的关键是正确证明三角形相似，运用相似三角形的性质进行计算．
30．（2022•馆陶县模拟）如图，有一块等腰三角形材料，底边BC＝80cm，高AD＝120cm，现要把它加工成正方形零件，使其一边在BC边上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（　　）

A．36cm B．40cm C．48cm D．60cm
【分析】设正方形的边长为xcm，表示出AK的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
【解答】解：设正方形的边长为xcm，则AK＝（120﹣x）cm，
∵四边形HEFG是正方形，
∴HG∥EF，
∴△AHG∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得x＝48，
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出AK的长度，然后列出比例式是解题的关键．
31．（2022•碑林区模拟）小颍想利用标杆和皮尺测量自己小区大门口前遮雨玻璃水平宽度AB，他在楼门前水平地面上选择一条直线CH，AB∥CH，在CH上距离C点8米的D处竖立标杆DE，DE⊥CH，他沿着DH方向走了2米到点N处，发现他的视线从M处通过标杆的顶端E正好落在遮雨玻璃的B点处，继续沿原方向再走2米到点Q处，发现他的视线从P处通过标杆的顶端E正好落在遮雨玻璃的A点处，求遮雨玻璃的水平宽度AB．

【分析】连接AE，过E作EI⊥AC于点I，延长PM交AC于J，交ED于K，则IE＝JK＝CD＝8，KM＝DM＝DN＝NQ＝2，证明△AEJ∽△EPK，求得AE：EP，再由AB∥MP，提出比例线段便可求得结果．
【解答】解：连接AE，过E作EI⊥AC于点I，延长PM交AC于J，交ED于K，则IE＝JK＝CD＝8，KM＝DM＝DN＝NQ＝2，

∴JE∥PJ，
∠AEJ＝∠EPK，
∵∠AJE＝∠EKP＝90°，
∴△AEJ∽△EPK，
∴，
∵AB∥MP，
∴，即，
∴AB＝4，
答：遮雨玻璃的水平宽度AB为4m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于构造相似三角形．
一十．作图-相似变换（共4小题）
32．（2022•朝阳区校级模拟）在△ACB中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】若△BAD∽△CBD，可得∠ADB＝∠BDC＝90°，即BD是AC的垂线，根据作图痕迹判断即可．
【解答】解：当BD是AC的垂线时，△BAD∽△CBD．
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠ABD＝∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠CBD，
∴△BAD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，BD是∠ABC的平分线，不与AC垂直，不符合题意；
B选项中，BD是AC边上的中线，不与AC垂直，不符合题意；
C选项中，BD是AC的垂线，符合题意；
D选项中，AB＝AD，BD不与AC垂直，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查尺规作图、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解答本题的关键．
33．（2022•陇县二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P在BC上．在线段AC上求作一点D，使△PCD∽△ABP．（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】由AB＝AC，可得∠B＝∠C，再作∠DPC＝∠BAP即可．
【解答】解：如图，则点D即为所求．

【点评】本题考查作图﹣相似变换、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握尺规作图的基本作法．
34．（2022•榆阳区一模）如图，已知正方形ABCD，点E在边BC上，连接AE．利用尺规在AE上求作一点F，使得△ABE∽△DFA．（不写作法，保留作图痕迹）

【分析】过点D作DF⊥AE于点F，点F即为所求．
【解答】解：如图，点F即为所求．

【点评】本题考查作图﹣相似变换，正方形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
35．（2022•临潼区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P在BC上．在线段AC上求作一点D，使△PCD∽△ABP．（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】由AB＝AC，可得∠B＝∠C，再作∠DPC＝∠BAP即可．
【解答】解：如图．

【点评】本题考查作图﹣相似变换、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握尺规作图的基本作法．
一十一．位似变换（共4小题）
36．（2022•荣昌区自主招生）如图，将△ABC以点O为位似中心缩小得到△DEF，若OD＝AD，则△ABC与△DEF的相似比是（　　）

A．1：1 B．2：1 C．1：2 D．3：1
【分析】根据位似图形的概念得到DF∥AC，得到△ODF∽△OAC，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC以点O为位似中心缩小得到△DEF，
∴△ABC与△DEF位似，
∴DF∥AC，
∴△ODF∽△OAC，
∴＝＝，即△ABC与△DEF的相似比2：1，
故选：B．
【点评】本题考查的是位似图形的概念，相似三角形的性质，掌握我试试图形的对应边平行是解题的关键．
37．（2021秋•东港区校级月考）△ABC三顶点坐标A（2，1），B（4，1），C（4，2），以点A为位似中心将△ABC边长放大两倍，则点C的对应点C′的坐标为（　　）
A．（8，4） B．（6，3）
C．（﹣2，﹣1） D．（6，3）或（﹣2，﹣1）
【分析】以点A为坐标原点，与原x轴平行的直线为x轴建立新的平面直角坐标系，根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：以点A为坐标原点，与原x轴平行的直线为x轴建立新的平面直角坐标系，
则点C在新坐标系中的坐标为（2，1），
∵以点A为位似中心将△ABC边长放大两倍，
∴点C的对应点C′在新坐标系中的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2），
则点C的对应点C′在原坐标系中的坐标为（6，3）或（﹣2，﹣1），
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
38．（2021秋•沐川县期末）在平面直角坐标系中，已知△ABC与△DEF是位似图形，且点A（﹣3，3）的对应点D（7，1），点B（0，6）的对应点E（8，2），点C（3，0）的对应点F（9，0），求位似中心P的坐标．
【分析】在平面坐标坐标系中描点得到△ABC和△DEF，AD、BE和CF的交点为位似中心P点，然后写出P点坐标．
【解答】解：如图，点为P位似中心，P点坐标为（12，0）．

【点评】本题考查了位似变换：位似的两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）．
39．（2022•兴庆区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称，
（1）在图中标出点E，且点E的坐标为　（0，﹣1）　；
（2）点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点P′的坐标为（a﹣6，b+2），请画出上述平移后的△A2B2C2，此时A2的坐标为　（﹣3，4）　，C2的坐标为　（﹣2，2）　；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于点F成位似三角形，则点F的坐标为　（﹣3，0）　．

【分析】（1）根据中心对称的性质，任何一对对应点连线的中点即为对称中心E；
（2）将△ABC向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度，即可得到△A2B2C2，根据平移的规律，可分别写出点A2和C2的坐标；
（3）根据位似三角形的定义求出点F的坐标．
【解答】解：（1）如图，线段BB1的中点即为点E，
∵B（1，1），B1（﹣1，﹣3）
∴E（0，﹣1）；
（2）如图，
∵点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点P′的坐标为（a﹣6，b+2），
又∵A（3，2），C（4，0），
∴A2（﹣3，4），C2（﹣2，2）；
（3）∵对应顶点A1A2与B1B2的连线交于点（﹣3，0），
∴F（﹣3，0）．

【点评】本题主要考查了中心对称、平移变换及位似变换的性质．
中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
平移的性质：平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，连接各组对应点的线段平行且相等．
位似图形的性质：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．
一十二．作图-位似变换（共2小题）
40．（2022春•金凤区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点坐标．

【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把A、B、C点的横纵坐标都乘以2得到A2、B2、C2点的坐标，然后描点即可．
【解答】解；（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点C2点坐标为（﹣6，4）．

【点评】本题考查了作图﹣位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了轴对称变换．
41．（2021秋•榆树市期末）如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）若点C的坐标为（2，4），则A′B′＝　2　，△A′B′C′的面积＝　3　．

【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）利用勾股定理，分割法解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；

（2）A′B′＝＝2，△A′B′C′的面积＝×3×2＝3．
故答案为：2，3．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．