专题03 根的判别式、根与系数的关系（知识串讲+8大考点）-九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

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知识一遍过
（一）根的判别式
概念：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac
①b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根。
②b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根。
③b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根。
④b2－4ac≥0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根。
（二）根与系数的关系
（1）一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系？
根据求根公式可知，
x1＝，x2＝．
由此可得
x1＋x2＝＋＝＝－，
x1x2＝·＝＝．
因此，方程的两个根x1，x2和系数a、b、c有如下关系：
x1＋x2＝－，x1x2＝．
（2）注意事项：
应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：（1）根的判别式（方程必定有解），（2）二次项系数不为零，才能应用根与系数的关系。
（三）根与系数的关系常见变形
常见与两根有关的代数式变形
① QUOTE + QUOTE =(x1+x2)2-2x1x2; ② QUOTE + QUOTE = QUOTE ;
③ QUOTE + QUOTE = QUOTE ; ④(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
考点一遍过
考点1：由△判断根的情况
典例1：（2023春·安徽·八年级统考期末）下列方程中，没有实数根的是( )
A．x2+1=2xB．x2+1=xC．x2+2x=0D．x2+2x=1
【变式1】（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）当a+b=2时，关于x的一元二次方程ax2-bx-1=0的根的情况为（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法确定
【变式2】（2023春·安徽滁州·八年级校联考阶段练习）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）
A．x2-4=0B．4x2+4x+1=0C．x2+2x+4=0D．x2-x-1=0
【变式3】（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）一元二次方程x2-2x+3=0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
考点2：由根的情况求字母取值
典例2：（2023秋·新疆阿克苏·九年级统考期末）若关于 x 的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根，则实数k 的取值范围是（ ）
A．k≥-1B．k>-1C．k≥-1且k≠0D．k>-1且k≠0
【变式1】（2023秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末）关于x的一元二次方程a-3x2+4x-1=0有实数根，则实数a满足（ ）
A．a≥-1且a≠3B．a≤-1C．a>-1且a≠3D．a-2B．k>-2且k≠0C．k-14B．k-14且k≠0D．k≥-14且k≠0
6．（2023·河北·九年级专题练习）方程3x2-2x-1=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根D．没有实数根
7．（2023秋·九年级课时练习）若ac