人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.2 空间中的平面与空间向量课后练习题

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.2 空间中的平面与空间向量课后练习题，共9页。
1．如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过点D的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系．若的坐标为（3，4，5），则的坐标是（ ）
A．（﹣3，4，﹣5）B．（﹣3，5，4）C．（﹣3，4，5）D．（3，﹣4，5）
2．若平面α与β的法向量分别是＝（1，0，﹣2），＝（﹣1，0，2），则平面α与β的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直C．相交不垂直D．无法判断
3．如图，折纸中纸面α比纸面β更靠近自己的图形是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．②③④
4．空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于平面xOz对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣1，2，3）B．（1，﹣2，3）C．（1，2，﹣3）D．（﹣1，﹣2，﹣3）
5．点M（0，0，6）的位置是（ ）
A．在Ox轴上B．在Oy轴上C．在Oz轴上D．在xOy面上
6．若平面α，β的法向量分别为＝（2，﹣1，0），＝（﹣1，﹣2，0），则α与β的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直
C．相交但不垂直D．无法确定
7．平面α的一个法向量为1＝（1，2，1），平面β的一个法向量为2＝（﹣2，﹣4，10），则平面α与平面β（ ）
A．平行B．垂直C．相交D．不确定
二．填空题
8．有直线l1，l2和平面π，若满足l1⊥π，l2⊥π，则一定有l1∥l2．
A．错误
B．正确
9．已知平面α，β的法向量分别为＝（1，y，4），＝（x，﹣1，﹣2），若a⊥β，则x﹣y的值为 ．
10．点P（1，1，2）关于yz平面的对称点坐标是： ．
11．已知两个不同的平面α，β的法向量分别是和，则平面α，β的位置关系是 ．
12．设直线a，b的方向向量是，，平面α的法向量是，则下列推理中
①⇒b∥α；
②⇒a∥b；
③⇒b∥α；
④⇒b⊥α．
其中正确的命题序号是 ．
三．解答题
13．{，，}为空间的一个基底，且，，，．
（1）判断P，A，B，C四点是否共面；
（2）能否以作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量．
14．如图，空间四边形ABCD中，每条边的长度和两条对角线的长度都等于1，M、N分别是AB、AD的中点，计算•．
15．如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC＝BC＝2，．
（1）求证：平面VAB⊥平面VCD；
（2）求二面角V﹣AB﹣C的大小；
（3）求点C到平面VAB的距离．
人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.2.2 空间中的平面与空间向量
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【考点】空间点、线、面的位置．
【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，
过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
∵的坐标为（3，4，5），∵D（0，0，0）
∴（3，4，5），
∴A1（3，0，5），C（0，4，0），
∴＝（﹣3，4，﹣5）．
故选：A．
2．【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系．
【解答】解：∵＝（1，0，﹣2），＝（﹣1，0，2），
∴+＝（1﹣1，0+0，﹣2+2）＝（0，0，0），即+＝
由此可得∥
∵、分别是平面α与β的法向量
∴平面α与β的法向量平行，可得平面α与β互相平行．
3．【考点】空间点、线、面的位置．
【解答】解：①中，α对应的平面为虚线，则β更靠近自己，
②中，β对应的平面为虚线，则α更靠近自己，
③中，β对应的平面为虚线，则α更靠近自己，
④中，β对应的平面为虚线，则α更靠近自己，
故选：D．
4．【考点】空间点、线、面的位置．
【解答】解：空间直角坐标系中，
点P（1，2，3）关于平面xOz对称的点的坐标为（1，﹣2，3）．
故选：B．
5．【考点】空间点、线、面的位置．
【解答】解：点M（0，0，6）的位置是在Oz轴上．
故选：C．
6．【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系；向量的数量积判断向量的共线与垂直；平面的法向量．
【解答】解：因为法向量＝（2，﹣1，0），＝（﹣1，﹣2，0），
计算•＝﹣2+2+0＝0，
所以⊥，
所以α⊥β．
故选：B．
7．【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系．
【解答】解：∵平面α的一个法向量为1＝（1，2，1），
平面β的一个法向量为2＝（﹣2，﹣4，10），
∵＝1×（﹣2）+2×（﹣4）+1×10＝0
∴，
∴平面α⊥平面β
故选：B．
二．填空题
8．【考点】空间点、线、面的位置．
【解答】解：直线l1，l2和平面π，若满足l1⊥π，l2⊥π，则一定有l1∥l2，故正确，
故答案为：B．
9．【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系．
【解答】解：根据题意，平面α，β的法向量分别为＝（1，y，4），＝（x，﹣1，﹣2），
若a⊥β，则有•＝x﹣y﹣8＝0，即x﹣y＝8．
故答案为：8．
10．【考点】空间点、线、面的位置．
【解答】解：点P（1，1，2）关于yz平面的对称点坐标是（﹣1，1，2）．
故答案为：（﹣1，1，2）．
11．【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系；平面的法向量．
【解答】解：两个不同的平面α，β的法向量分别是和，
∵，
∴平面α，β的位置关系是α∥β．
故答案为：α∥β．
12．【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理．
【解答】解：若，则b⊥α，故①错误；
若则，，故②正确；
若，则b∥α，故③正确；
若，则，又由b⊄α，故b⊥α，故④正确；
故答案为：②③④
三．解答题
13．【考点】空间点、线、面的位置；共线向量与共面向量．
【解答】解：（1）假设四点共面，则存在实数x，y，z使，且x+y+z＝1，
即2﹣+3＝x（ +2﹣＝ ）+y（﹣3++2 ）+z（+﹣ ）．（4分）
比较对应的系数，得一关于x，y，z的方程组，
解得，与x+y+z＝1矛盾，故四点不共面；（6分）
（2）若向量，，共面，则存在实数m，n使，
同（1）可证，这不可能，因此可以作为空间的一个基底．
令＝，＝，＝，
由+2﹣＝，﹣3++2＝，由+﹣＝，联立得到方程组，
从中解得，（10分）
所以，且＝17﹣5﹣30．（12分）
14．【考点】空间点、线、面的位置．
【解答】解：空间四边形ABCD中，每条边和两条对角线的长度都等于1，
∴底面ABC为等边三角形，∠BDC＝60°，
又点M、N分别是AB、AD的中点，
∴＝，
∴•＝•
＝||•||cs（π﹣∠BDC）
＝×1×1×（﹣）
＝﹣．
15．【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系；平面与平面垂直；二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．
【解答】（1）证明：∵三棱锥V﹣ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，
∴以CA为x轴，以CB为y轴，以CV为z轴，建立空间直角坐标系，
∵D是AB的中点，且AC＝BC＝2，，
∴V（0，0，），A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，1，0），C（0，0，0）
∴，，，
∴＝﹣2+2+0＝0，，
故AB⊥CD，AB⊥CV，
∴AB⊥平面VCD，
∵AB⊂平面VAB，
∴平面VAB⊥平面VCD．
（2）解：由（1）知AB⊥平面VCD，
∴∠VDC是二面角V﹣AB﹣C的平面角，
∵AC＝BC＝2，，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，
∴VC＝CD＝，VC⊥CD，
∴∠VDC＝，
故二面角V﹣AB﹣C的大小为．
（3）解：∵V（0，0，），A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，0），
∴，，＝（0，0，），
设平面VAB的法向量为，
则，
∴，解得，
∴点C到平面VAB的距离d＝＝＝1．