2021学年第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.2 空间中的平面与空间向量测试题

1.2.2 空间中的平面与空间向量-A基础练

一、选择题

1．（2020安徽省北大附宿州实验学校高二期末）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（   ）

A． B．

C． D．与斜交

【答案】B

【解析】∵，，∴，即.∴.

2．（2020甘肃武威一中学高二期末）空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是(     )

A．平行 B．垂直

C．相交但不垂直 D．无法确定

【答案】A

【解析】∵空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（﹣1，0，5），C（3，0，4），D（4，1，3），

∴=（﹣2，﹣2，2），=（1，1，﹣1），∴=﹣2，∴直线AB与CD平行．故选：A．

3.（2020全国高二课时练）在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),则PA与底面ABCD的关系是(　　)

A．相交 B．垂直

C．不垂直 D．成60°角

【答案】B

【解析】因为==0，所以；

因为==0，所以，又，所以．答案选B．

4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)

A.相交 B.平行          C.垂直 D.不能确定

【答案】B

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,由图可知平面BB1C1C的法向量n=(0,1,0).

∵A1M=AN=,∴M,N,∴.∵·n=0,∴MN∥平面BB1C1C.

5．（多选题）若直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,则不可能使l∥α的是(　　)

A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)                              B.m=(1,3,5),n=(1,0,1) 

C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1)                              D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)

【答案】ABC

【解析】若l∥α,则需m⊥n,即m·n=0,根据选择项验证可知:A中,m·n=-2;B中,m·n=6;C中,m·n=-1;D中,m·n=0,故选A,B,C.

6．（多选题）（2020全国高二课时练习）在如图所示的坐标系中,为正方体,则下列结论中正确的是(　　)

A.直线 的一个方向向量为(0,0,1);            B.直线的一个方向向量为(0,1,1);

C.平面的一个法向量为(0,1,0);            D.平面的一个法向量为(1,1,1).

【答案】ABC

【解析】 DD1∥AA1,=(0,0,1)，故A正确；BC1∥AD1,=(0,1,1), 故B正确；直线AD⊥平面ABB1A1,=(0,1,0). 故C正确；点C1的坐标为(1,1,1),与平面B1CD不垂直,故D错.

二、填空题

7．（2020·宜昌市二中高二月考）已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则______ ,______．

【答案】

【解析】，，且，，，解得，.

8.（2020全国高二课时练）已知直线l∥平面ABC,且l的一个方向向量为

a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),则实数m的值是　　　　　. 

【答案】-3

【解析】∵直线l∥平面ABC,∴存在实数x,y,使a=x+y=(1,0,-1),=(0,1,-1),

∴(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)=(x,y,-x-y),∴∴m=-3.

9.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0,2),B(4,2,0),C(2,4,0),平面ABC的单位法向量为　　　　..

【答案】

【解析】=(4,2,-2),=(2,4,-2),设n=(x,y,z)是平面ABC的单位法向量,则有取z>0,得x=y=,z= .故平面ABC的单位法向量为n=.

10．（2020山东泰安一中高二月考）如图，正四棱柱的底面边长为4，记

，，若，则此棱柱的体积为______．

【答案】

【解析】建立如图所示空间直角坐标系，

设，又，则，，，，

，，，，即．

此棱柱的体积为．

三、解答题

11．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面ACD1的一个法向量n.

【答案】见解析

【解析】如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).

设平面ACD1的法向量n=(x,y,z).

∵=(-1,1,0),=(-1,0,1),又∵n为平面ACD1的一个法向量,

∴∴化简,得

令x=1,得y=z=1.

∴平面ACD1的一个法向量n=(1,1,1).

12.（2020银川一中高二期中）在三棱锥O-ABC中,OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC两两垂直,试找出一点D,使BD∥AC,DC∥AB.

【答案】见解析

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),设所求点D(x,y,z).

由BD∥AC,DC∥AB⇒,

因此

即点D的坐标为(-1,1,2).