2025版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第6讲解三角形提能训练

这是一份2025版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第6讲解三角形提能训练，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝eq \r(2)，BC＝2，则∠C等于( D )
A．30°或150° B．60°
C．120° D．30°
[解析] 先利用正弦定理求得sin ∠C的值，再根据“大边对大角”进行取舍，得解．由正弦定理知，eq \f(AB,sin ∠C)＝eq \f(BC,sin ∠A)，所以sin ∠C＝eq \f(ABsin ∠A,BC)＝eq \f(\r(2)×\f(\r(2),2),2)＝eq \f(1,2)，因为∠C∈(0°，180°)，且BC>AB，所以∠C＝30°.故选D．
2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝eq \r(7)，a＝1，B＝eq \f(2π,3)，则c等于( B )
A．eq \r(5) B．2
C．eq \r(3) D．3
[解析] 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，得7＝1＋c2＋c，解得c＝2或－3(舍去)．
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为eq \f(a2＋b2－c2,4)，则C等于( C )
A．eq \f(π,2) B．eq \f(π,3)
C．eq \f(π,4) D．eq \f(π,6)
[解析] 根据题意及三角形的面积公式知
eq \f(1,2)absin C＝eq \f(a2＋b2－c2,4)，
所以sin C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝cs C，
所以在△ABC中，C＝eq \f(π,4).
4．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则eq \f(a,b)等于( D )
A．2 B．3
C．eq \r(2) D．eq \r(3)
[解析] 由正弦定理及bsin 2A＝asin B，
得2sin Bsin Acs A＝sin Asin B，
又sin A≠0，
sin B≠0，则cs A＝eq \f(1,2).
又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A＝b2＋4b2－4b2×eq \f(1,2)＝3b2，得eq \f(a,b)＝eq \r(3).
5．在△ABC中，a＝2bcs C，那么这个三角形是( B )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．不确定
[解析] 先根据余弦定理表示出cs C，代入整理即可得到b＝c，从而得知是等腰三角形．∵a＝2bcs C＝2b×eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(a2＋b2－c2,a)，∴a2＝a2＋b2－c2，∴b2＝c2，∵b，c为三角形的边长，b>0，c>0，∴b＝c，∴△ABC是等腰三角形．故选B．
6．(2024·辽宁省沈阳市郊联体期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cs A＝eq \f(1,2)，a＝eq \r(3)，则eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝( D )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),2)
C．eq \r(3) D．2
[解析] 由cs A＝eq \f(1,2)，A∈(0，π)知sin A＝eq \f(\r(3),2)，由正弦定理得eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2.
7．(2023·河北武邑中学调研)黑板上有一道有解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＝2，…，解得b＝eq \r(6)，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件( B )
A．A＝30°，B＝45°
B．C＝75°，A＝45°
C．B＝60°，c＝3
D．c＝1，cs C＝eq \f(1,3)
[解析] 由C＝75°，A＝45°可知B＝60°，又eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，∴b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(2sin 60°,sin 45°)＝eq \f(\r(3),\f(\r(2),2))＝eq \r(6)，符合题意，故选B．
8．已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝eq \f(π,3)，a＝eq \r(3)，则bc的取值范围为( A )
A．(2,3] B．(1,4]
C．(1,3] D．(2,4]
[解析] 根据正弦定理利用角B表示bc，利用三角变换及三角函数的性质可求bc的取值范围．因为A＝eq \f(π,3)，a＝eq \r(3)，故三角形外接圆直径为eq \f(a,sin A)＝eq \f(\r(3),sin \f(π,3))＝2，所以eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2，所以b＝2sin B，c＝2sin C，故bc＝(2sin B)·(2sin C)＝4sin Bsin C＝4sin Bsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－B))＝4×sin Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(2π,3)cs B－cs \f(2π,3)sin B))＝2eq \r(3)sin Bcs B＋2sin2B＝eq \r(3)sin 2B＋2×eq \f(1－cs 2B,2)＝eq \r(3)sin 2B－cs 2B＋1＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2B－\f(π,6)))＋1，因为三角形为锐角三角形，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0sin B，故C正确；对于D，由eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，再根据比例式的性质可知D正确．故选ACD．
11．(2023·武汉调研)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是( ACD )
A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形
B．若acs A＝bcs B，则△ABC是等腰三角形
C．若bcs C＋c cs B＝b，则△ABC是等腰三角形
D．若eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)，则△ABC是等边三角形
[解析] ∵tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)，
∵tan A＋tan B＋tan C＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan C＝－tan C(1－tan Atan B)＋tan C＝tan Atan Btan C>0，∴A，B，C均为锐角，∴选项A正确；
由acs A＝bcs B及正弦定理，可得sin 2A＝sin 2B，∴A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴选项B错误；由bcs C＋ccs B＝b及正弦定理，
可知sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin B，
∴sin A＝sin B，∴A＝B，则△ABC是等腰三角形，∴选项C正确；
由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C，A＝B＝C，则△ABC是等边三角形，∴选项D正确．
三、填空题
12．(2022·北京海淀模拟)在△ABC中，A＝eq \f(2π,3)，a＝eq \r(3)c，则eq \f(b,c)＝ 1 .
[解析] 由题意知sin eq \f(2π,3)＝eq \r(3)sin C，∴sin C＝eq \f(1,2)，又0