【期中复习】2023-2024学年（沪教版2020选修）高二数学下册专题1-2直线的方程-考点归纳讲练.zip

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知识点1．直线的点斜式方程
设P（x，y）是直线l上不同于P0的任意一点．
方程y﹣y0＝k（x﹣x0）是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线的点斜式方程．
知识点2．直线的斜截式方程
1．直线在y轴上的截距
一条直线与y轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y轴上的截距．（注意：截距是坐标概念，不是距离）
2．直线的斜截式方程
已知直线l的斜率为k，在y轴上的截距是b，则直线l的斜截式方程为y＝kx+b．
由于这个方程是由直线的斜率和直线在y轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程．
知识点3．直线的两点式方程
直线的两点式方程：
经过直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式．
（x1≠x2，y1≠y2）
#注意：两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线．
特别地：①当x1＝x2时，直线l的方程为x＝x1；
②当y1＝y2时，直线l的方程为y＝y1．
知识点4．直线的截距式方程
直线的截距式方程：
若直线l与x轴交点为（a，0），与y轴交点为（0，b），其中a≠0，b≠0，a为直线l在x轴上的截距，b为直线l在y轴上的截距，由两点式：可推得直线的斜截距方程为：．
#注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线．
知识点5.直线的一般式方程
1、定义：关于、的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式。
2、适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示。
3、系数的几何意义：当时，（斜率），（轴上的截距）
当时，则（轴上的截距），此时斜率不存在。
知识点6.直线的一般式方程与其他形式方程的互化
知识点7.直线的点法式方程
1.直线的法向量
(1)一般地,与直线上任意一个向量都垂直的非零向量叫做该直线的法向量
(2)以直线l的一般式方程ax+by+c=0(a、b不同时为零)的一次项系数为坐标的向量=(a,b)是l的一个法向量
2.直线的点法式方程
如果知道了直线l上的一个点M(x，y)和的一个法向量=(a,b),那么平面上一点P(x,y)在直线l上的充要条件是,或用向量数量积写成.因为向量,所以平面上一点P(x,y)在直线l上的充要条件变成了a(x-x)+b(y-y)=0，这个方程称为直线的 点法式方程
题型一：直线的点斜式方程
1．（2022秋•浦东新区校级期末）过点，倾斜角为的直线方程为
A．B．C．D．
【分析】先求出直线的斜率，再结合直线的点斜式方程，即可求解．
【解答】解：直线的斜率为，
故直线方程为，即．
故选：．
【点评】本题主要考查直线的点斜式方程，属于基础题．
2．（2023秋•浦东新区校级期中）直线过点且倾斜角为，则直线的方程为 ．
【分析】直线过点且倾斜角为，则斜率不存在，直接写出方程即可
【解答】解：直线过点且倾斜角为，则斜率不存在，
故直线的方程为，
故答案为：
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率关系，是基础题目．
3.已知在第一象限的中，A（1，1），B（5，1），且∠CAB=60°，∠CBA=45°，求边AB，AC和BC
所在直线的点斜式方程．
【解析】由A（1，1），B（5，1）可知边AB所在直线的斜率为0，故边AB所在直线的方程为y-1=0．
由AB∥x轴，且在第一象限，知边AC所在直线的斜率kAC=tan 60°=，边BC所在直线的斜率kBC=tan（180°-45°）=-1，
所以，边AC所在直线的方程为y-1=（x-1），边BC所在直线的方程为y-1=-（x-5）．
题型二：直线的斜截式方程
4．（2022春•黄浦区校级月考）已知直线在在轴上的截距为4，倾斜角为，且，则直线的斜截式方程为 ．
【分析】由题意，利用同角三角函数的基本关系，求得直线的斜率，再用点斜式求出直线的方程．
【解答】解：直线在在轴上的截距为4，倾斜角为，且，
，斜率，
直线的斜截式方程为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
5．已知直线l与直线y=-2x+3的斜率相同，且在y轴上的截距为5，求直线l的斜截式方程，并画出图形．
【解析】因为直线l与直线y=-2x+3的斜率相同，所以直线l的斜率为-2．
又直线l在y轴上的截距为5，所以直线l的斜截式方程为y=-2x+5．
在直线l上取一点（1，3），作出图形如图所示．
【名师点评】直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情形．
题型三：直线的点斜式与斜截式方程的应用
6.已知的顶点为，，，
（Ⅰ）求AB边上的中线CM所在直线的方程;
（Ⅱ）AB边上的高线CH所在直线的方程
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）求出中点坐标，再求得直线斜率，由点斜式写出直线方程，并整理成一般式即可．
（Ⅱ）由垂直求出直线的斜率，写出点斜式方程，整理成一般式．
【详解】
（Ⅰ）AB中点M的坐标是，
∴，
∴中线CM所在直线的方程是，
即中线CM所在直线的方程是，
（Ⅱ）∵，
，
∴高线CH所在直线方程为，
即．
7.求适合下列条件的直线方程：
经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的倍；
经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
【答案】（1）（2）或
【分析】
（1）根据倾斜角等于直线的倾斜角的倍，求出直线的倾斜角，再利用点斜式写出直线．
（2）与两坐标轴围成一个等腰直角三角形等价于直线的斜率为.
【详解】
（1）已知，
直线方程为化简得
（2）由题意可知，所求直线的斜率为.
又过点，由点斜式得，
所求直线的方程为或
【点睛】
本题考查直线方程，属于基础题
题型四：直线的两点式与截距式方程
8．（2022秋•衡阳县期中）已知一直线经过点M（﹣3，4）和点N（2，6），则这条直线的方程为 ．
【分析】根据两点式求得直线方程．
【解答】解：因为直线经过M（﹣3，4）和点N（2，6），
所以直线的方程为，
整理得2x﹣5y+26＝0．
故答案为：2x﹣5y+26＝0．
【点评】本题主要考查直线的两点式方程，考查运算求解能力，属于基础题．
9．（2022春•浦东新区校级期中）已知点，，则线段的方程是 ．
【分析】由题意，利用截距式求直线的方程．
【解答】解：点，，则线段的方程是，即，
故答案为：．
【点评】本题主要考查用截距式求直线的方程，属于基础题．
10．（2023春•徐汇区校级期中）已知直线在轴上的截距为3，在轴上的截距为，则的方程 ．
【分析】利用截距式即可得出．
【解答】解：直线在轴上的截距为3，在轴上的截距为，
则的方程为，即．
故答案为：．
【点评】本题考查了截距式，属于基础题．
11．（2023春•浦东新区校级期中）设直线的方程为，．
（1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求的值．
【分析】（1）由题意，按照直线在坐标轴上的截距的定义，求得的值．
（2）由题意，按照直线在坐标轴上的截距的定义，求得的值．
【解答】解：（1）根据直线的方程为，，
在两坐标轴上的截距相等，
当时，，直线的方程即，它在轴上没有截距，不满足题意．
故．
令，可得直线在轴上的截距为，
令，可得直线在轴上的截距为，
则有，求得或．
（2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则，
即，即或，
求得．
【点评】本题主要考查直线在坐标轴上的截距的定义，属于基础题．
题型五：直线的一般式方程
12．（2023春•普陀区校级期中）若，，且，则经过，、，的直线的一般方程为 ．
【分析】根据，、，都在同一直线上，结合两点确定一条直线可知直线的唯一性，即得直线方程．
【解答】解：若，，
则点，在直线上，
点，在直线上，
即，、，都在同一直线上，
因为两点确定一条直线，所以由，、，确定的直线即为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的一般式方程，属于基础题．
13．（2023春•杨浦区校级期中）直线关于点对称的直线的一般式方程为 ．
【分析】在对称的直线上任意取一点，则关于点对称点在直线上，化简可得结论．
【解答】解：在线关于点对称的直线上任意取一点，
则关于点对称点在直线上，
故有，化简可得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查求一条直线关于某个点的对称直线方程的方法，属于基础题．
题型六：直线的一般式方程的应用
14．（2022春•黄浦区校级月考）将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，则与两坐标轴所围成的三角形面积大小为 ．
【分析】在直线中，令，得，令，设直线的倾斜角为，则，的倾斜角为，求出的斜率，从而的方程为，由此能求出与两坐标轴所围成的三角形面积．
【解答】解：在直线中，令，得，，
令，得，直线与轴交点，，
直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，
设直线的倾斜角为，则，的倾斜角为，
的斜率，
的方程为，即，
令，得，与轴交点坐标为，，
与两坐标轴所围成的三角形面积为：
．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与两坐标轴围成的三角形的面积的求法，考查直线的截距、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（2023春•杨浦区校级期中）在中，顶点的坐标为，的平分线所在直线的方程为，且边上的中线所在直线的方程为．
（1）求点的坐标；
（2）求边所在直线的一般式方程．
【分析】（1）设点，可得线段的中点的坐标，再把点的坐标代入边上中线方程，求得的值，可得结论．
（2）由题意利用角平分线的性质，以及一条直线到另一条直线的角的公式，求得的斜率，用点斜式求出的方程．
【解答】解：（1）中，已知点，平分线方程为：，
可设点，故线段的中点，，
边上中线方程为：，
，求得，故点．
（2）设直线的斜率为，则由题意可得，
直线到平分线的角，等于平分线到直线的角，
直线的斜率为，平分线的斜率为2，
，求得，
故直线的方程为，即．
【点评】本题主要考查用待定系数法、用点斜式求直线的方程，角平分线的性质，属于中档题．
题型七：直线的点法式方程
16．（2023秋•奉贤区校级期中）已知经过点的直线的一个法向量为，则的点法式方程为 ．
【分析】由已知直线的法向量及直线所过定点，直接写出直线的点法式方程．
【解答】解：直线的一个法向量为，且经过点，
则的点法式方程为：．
故答案为：．
【点评】本题考查直线的点法式方程，是基础题．
17．（2021春•普陀区校级期中）过点且以为法向量的直线方程为 ．
【分析】过点且以为法向量的直线方程的斜率为，由此能求出结果．
【解答】解：过点且以为法向量的直线方程的斜率为，
过点且以为法向量的直线方程为：
，整理得：．
故答案为：．
【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线的法向量、点斜式方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．（2023春•浦东新区校级期中）过点，且一个法向量为的直线的点法式方程是 ．
【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，求出结果．
【解答】解：过点，且一个法向量为，
在此直线上任意取一点，则向量和此法向量垂直，
故有，
故答案为：．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
一．填空题（共7小题）
1．（2023秋•杨浦区校级期中）直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为 ．
【分析】利用直线平行，求出直线的斜率，利用点斜式求出直线的方程．
【解答】解：直线经过点，且与直线平行，直线的斜率为：；
所以直线的方程为：．即．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与直线的平行，直线方程的求法，考查计算能力，基础题．
2．（2023秋•长宁区校级期末）经过（2，0），（0，3）两点的直线方程的一般式是 3x+2y﹣6＝0 ．
【分析】由两点求出斜率，写出点斜式，再化成一般式．
【解答】解：由（2，0），（0，3）得直线的斜率，
所以直线的点斜式方程为，
化为一般式方程为3x+2y﹣6＝0
故答案为：3x+2y﹣6＝0．
【点评】本题考查直线方程的求法，属于基础题．
3．（2023秋•嘉定区校级期末）已知直线与直线具有相同的法向量，且经过点，则直线的一般式方程为 ．
【分析】由题意可知直线平行于已知直线，设直线的方程，将的坐标代入，可得参数的值，即求出直线的方程．
【解答】解：因为直线与直线具有相同的法向量，所以直线与直线平行，
设直线的方程为，将点代入可得：，
可得，
所以直线的方程为：．
故答案为：．
【点评】本题考查与已知直线平行的直线的设法，属于基础题．
4．（2023秋•闵行区校级期末）已知直线与平行，则 1 ．
【分析】由题意两直线平行得斜率相等且截距不等，求解即可．
【解答】解：由已知方程可化为，则直线斜率为，
由两直线，平行，则的斜率也存在，且为，
则方程可化为：，
所以有，且，解得．
故答案为：1．
【点评】本题考查直线与直线平行的条件，是基础题．
5．（2023秋•虹口区校级期末）已知点与点关于直线对称，则直线的方程为 ．
【分析】求出的中点，的斜率，推出对称轴的斜率，利用点斜式方程求出对称轴方程．
【解答】解：点与点关于直线对称，
所以的中点坐标为：，的斜率为：，
所以对称轴的斜率为：1，
所以对称轴方程为：，
即：．
故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查对称问题，直线方程的求法，考查计算能力．
6．（2023秋•浦东新区校级期末）已知直线，，若，则的值为 ．
【分析】根据已知条件，结合两直线平行的性质，即可求解．
【解答】解：直线，，，
则，解得，
经检验，时，两直线不重合，
故．
故答案为：．
【点评】本题主要考查两直线平行的性质，属于基础题．
7．（2023秋•虹口区校级期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 ．
【分析】求出点关于直线的对称点，由题意可知最短距离应为和圆心直接的距离减去圆的半径，根据对称的性质列出方程组，求解运算即可．
【解答】解：设关于直线的对称点，
设军营所在区域的圆心为，
根据题意，为最短距离，
的中点，，
直线的斜率为1，
由，解得，，
所以，
故答案为：．
【点评】本题考查了点关于直线的对称点以及与圆有关的最值问题，属于中档题．
二．选择题（共5小题）
8．（2023春•杨浦区校级期末）已知常数，直线，，则是的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】两条不重合的直线，若斜率相等，则平行，由此可判断．
【解答】解：，则直线，，
这两条直线的斜率都为，且不重合，则，
反之，若，则，，
当时直线，，
此时两条直线的斜率都为，且不重合，则，
则是的充分不必要条件．
故选：．
【点评】本题考查两条直线的位置关系，属于基础题．
9．（2023春•浦东新区期中）若直线经过点、，则以下不是直线的方程的为
A．B．C．D．
【分析】先求出直线的斜率，再结合选项中的直线方程，即可求解．
【解答】解：直线经过点、，
则直线的斜率为，故选项中的直线不是直线的方程．
故选：．
【点评】本题主要考查直线方程的求解，属于基础题．
10．（2023秋•闵行区校级期末）若直线l经过点A（2，﹣3）、B（3，1），则以下是直线l的方程的为（ ）
A．
B．y﹣1＝4（x﹣3）
C．4x﹣y+11＝0
D．（x﹣2）+4（y+3）＝0
【分析】由直线l过两点的坐标，可得直线的斜率，由两点式或点斜式可得直线的方程．
【解答】解：因为直线l经过点A（2，﹣3）、B（3，1），所以直线的斜率k＝＝4，
所以直线的两点式方程为：＝，所以A不正确．
直线的点斜式方程为y﹣1＝4（x﹣3），整理可得4x﹣y﹣11＝0，所以B正确，CD不正确．
故选：B．
【点评】本题考查直线过两点的直线方程的求法，属于基础题．
11．（2023春•闵行区校级月考）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有 条．
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据直线过原点和不过原点，即可求解直线方程．
【解答】解：若直线经过原点，则，在坐标轴上的截距均为0，符合题意，
若截距均不为0，则设直线方程为，
将代入得，此时直线方程为．
故选：．
【点评】本题主要考查了直线的截距式方程，属于基础题．
12．（2023春•徐汇区校级期中）直线关于直线对称的直线方程为
A．B．C．D．
【分析】直接利用反函数的定义求出直线的方程．
【解答】解：由直线，整理得，
即，故．
故直线关于直线对称的直线方程为．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：反函数的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
三．解答题（共7小题）
13．（2023春•宝山区期末）已知直线，．
（1）若，求实数的值；
（2）若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值．
【分析】（1）根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解；
（2）根据已知条件，结合截距的定义，并分类讨论，即可求解．
【解答】解：（1）直线，．
则，解得或，
当时，直线，重合，
当时，直线，不重合，符合题意，
故；
（2）当，即时，，满足直线在两个坐标轴上的截距相等；
当且时，
则直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
由题意可知，，解得，
综上所述，或．
【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
14．（2022春•青浦区校级期末）已知直线方程，，问为何值时，，相交，平行，重合？
【分析】，相交时，；，平行时，；，重合时，．
【解答】解：直线方程，，
，相交时，，即，
时，，相交；
，平行时，，解得，
时，，平行；
，重合时，，解得，
时，，重合．
【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线相交、平行、重合的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（2023秋•闵行区校级期末）已知，．
（1）求线段垂直平分线所在直线方程．
（2）若直线过，且、到直线距离相等，求方程．
【分析】（1）由题可得的中点坐标，再根据互相垂直的直线斜率之间的关系及点斜式方程即得；
（2）根据点到直线距离公式结合条件即得．
【解答】解：（1）易得的中点坐标为，，
所求直线斜率为，
故线段垂直平分线所在直线方程为，即．
（2）直线过，且，，
当直线斜率不存在时，直线为，显然不符合题意，舍去；
当直线斜率存在时，设直线为即，
、到直线距离相等，
，解得或，
直线为或．
【点评】本题考查的知识要点：直线的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
16．（2023秋•普陀区校级期末）已知，设直线，直线．
（1）若，求的值；
（2）当与相交时，求交点的坐标（用表示），并证明点恒在一条定直线上．
【分析】（1）写出两条直线平行的充要条件，进而求出的值；
（2）要使两条直线有交点，则且，联立两条直线的方程，可得，的值，进而可得，的关系，即求出交点所在的直线方程．
【解答】（1）解：若两条直线平行，可得，且，
解得，
即的值为；
（2）证明：要使两条直线有交点，则且，时，两条直线重合），
联立，解得，
即交点，，
可得，
即两条直线的交点所在的直线方程为：．
即证明点恒在一条定直线上．
【点评】本题考查两条直线平行的条件的充要条件的应用及两条直线的交点的求法，属于基础题．
17．（2023秋•奉贤区校级期中）已知，，．
（1）求边上的高所在直线的一般式方程；
（2）直线经过点，且点、点到直线的距离相等，求直线的一般式方程．
【分析】（1）利用斜率公式计算，从而知边上的高所在直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可得解；
（2）分直线与平行或过的中点两种情况讨论，结合两条直线的平行关系，中点坐标公式，以及直线方程的点斜式，即可得解．
【解答】解：（1），，
直线的斜率，
边上的高所在直线的斜率为1，
故所求直线方程为，即．
（2）直线过点且点、点到直线的距离相等，
直线与平行或过的中点，
当直线与平行时，直线的斜率为，
直线的方程为，即；
当直线过的中点时，的坐标为，，
直线的方程为，即，
综上，直线的方程是或．
【点评】本题考查直线方程的求法，熟练掌握直线的斜率公式，两条直线的平行与垂直关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
18．（2023春•浦东新区校级期中）已知，，三点的坐标分别为，，，是否存在实数，使得，，三点能构成直角三角形？若存在，求的取值集合；若不存在，请说明理由．
【分析】假设存在，再通过分类讨论以及利用平面向量处理垂直问题进行求解．
【解答】解：存在实数，理由如下：
由题意，得，
．
若为直角，则，得．
若为直角，则，得．
若为直角，则，
△，所以方程无解．
故的取值集合为．
【点评】本题考查了平面向量数量积的应用，属于基础题．
19．（2022春•宝山区校级期中）（1）已知、两点，求线段的中垂线所在直线方程；
（2）已知直线与直线平行，直线与两坐标轴所构成的三角形的面积为12，求直线的方程．
【分析】（1）由，的坐标可得的中点的坐标，求出直线的斜率，由题意可得线段的中垂线的方程；
（2）由题意设直线的方程，求出在，轴的交点，由三角形的面积，可得参数的值，进而求出直线的方程．
【解答】解：（1）因为、两点，可得的中点，，
，
所以的中垂线的方程为，即；
（2）由题意设直线的方程为：，可得在，轴的交点分别为，，，
由题意可得，解得，
所以直线的方程为或．
【点评】本题考查直线方程的求法及三角形面积公式的应用，属于基础题．