【寒假作业】沪教版2020 高中数学 高二寒假巩固提升训练 专题02+直线的方程（六大考点）-练习.zip

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一．直线的点斜式方程
已知直线l经过点，且斜率为k，则直线l的方程为．
这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的点斜式方程，简称点斜式．
当直线l的倾斜角为0°时（如图1），，即k=0，这时直线l与x轴平行或重合，l的方程就是，或．
当直线l的倾斜角为90°时（如图2），直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．因为这时l上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是，或．
直线的点斜式方程的推导
如图，设点是直线l上不同于点的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得 （1），即 （2）．
注意：方程（1）与方程（2）的差异：点的坐标不满足方程（1），但满足方程（2），因此，点不在方程（1）表示的图形上，而在方程（2）表示的图形上，方程（1）不能称为直线l的方程．
上述过程可以证明直线上每个点的坐标都是方程（2）的解．对上面的过程逆推，可以证明以方程（2）的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点，斜率为k的直线l的方程．
二．直线的斜截式方程
我们把直线l与y轴交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．
如果直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则方程为，即叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
当b=0时，表示过原点的直线；当k=0且b≠0时，表示与x轴平行的直线；当k=0且b=0时，表示与x轴重合的直线．
三．直线的两点式方程
1．直线的两点式方程的定义
已知直线过两点，当时，直线的方程为．这个方程是由直线上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式．
2．直线的两点式方程的推导
已知直线过两点（其中），此时直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的．
当时，所求直线的斜率．
任取中的一点，例如取，由点斜式方程，得，
当时，可写为．
四．直线的截距式方程
1．直线的截距式方程的定义
已知直线过点，（），则由直线的两点式方程可以得到直线的方程为．
我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的截距，此时直线在轴上的截距是．
这个方程由直线在两个坐标轴上的截距和确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式．
2．直线的截距式方程的推导
已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，如图，其中．
将两点，的坐标代入两点式，得，即．
五．中点坐标公式
若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为，则．此公式为线段的中点坐标公式．
六．直线的一般式方程
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式．
直线的一般式、斜截式、截距式如下表：
直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线．因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化：
（1）当时，可化为，它表示在y轴上的截距为，斜率为的直线．
（2）当均不为零时，可化为，它表示在x轴上的截距为，在y轴上的截距为的直线．
七.一般式方程中两直线平行与垂直的条件
若两条直线的方程是用一般式给出的，设直线的方程分别为，，则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下：
（1）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且．
即，且或．
（2）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，或．
即．
一．直线的点斜式方程（共2小题）
【例1】（2023春上海市·虹口·期中）设点，若直线l经过点H，且与直线垂直（O为坐标原点），则直线l的方程为 ．
【变式】（2022•浦东新区校级开学）过点（﹣1，﹣2）斜率为3的直线的点斜式方程是 ．
直线的斜截式方程（共2小题）
【例2】（2023春·上海市控江中学高一下期末）直线l：绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是____________.
【变式】（2023春·上海市青浦区·二模）过点与直线垂直的直线方程为 .
三．直线的两点式方程（共2小题）
【例3】（2022秋·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考阶段练习）已知中，
求边所在直线的方程
四．直线的截距式方程（共2小题）
【例4】（2022春•浦东新区校级期中）已知点A（1，0），B（0，1），则线段AB的方程是 ．
【变式1】（2022秋•浦东新区校级月考）过点M（3，﹣4），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程为 ．
【变式2】．（2022秋•闵行区校级月考）求过点p（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程 ．
五．一般式方程中两直线平行与垂直的条件（共2小题）
【例5】.（2023春·上海市控江中学高一下期末）已知常数，直线：，：，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【变式1】．（2022秋•浦东新区校级月考）若直线l1：ax+y+2a＝0与直线l2：4x+ay+3a+2＝0互相平行，则实数a＝ ．
【变式2】（2023春·上海市复旦附中高二第二学期期中）直线过点且与直线平行，则直线的方程是__________.
【例6】（2022秋•浦东新区校级月考）直线l1：px+3y+1＝0与直线l2：6x﹣2y﹣5＝0垂直，则p的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣9D．9
【变式】（2022秋•静安区校级期中）过点（2，0）且与直线2x﹣4y﹣1＝0垂直的直线的方程是 ．
六．直线方程的综合应用（共3小题）
【例7】（2023春·浦东新区·模拟预测）过点且在轴，轴上截距相等的直线方程为
【变式1】（2023春上海市·浦东新区·阶段练习）方程所表示的图形围成的区域的面积是 .
【变式2】（2022春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考阶段练习）已知直线经过点，且与轴、轴的正半轴分别交于点A、点，是坐标原点.
(1)当的面积最小时，求直线的一般式方程；
(2)当取最小值时，求直线的一般式方程，并求此最小值．
一、填空题
1．（2022·上海松江·高二期末）已知直线方程为，则该直线的倾斜角为_________.
2.（2022秋·上海普陀·高二曹杨二中校考期末）若直线的一个法向量为，则过原点的直线的方程为______.
3.（2020秋·上海徐汇·高二位育中学校考期中）过点且与直线夹角为的直线一般式方程是________.
4．（2022·上海市青浦高级中学高二阶段练习）已知直线，直线过点，若，则直线的方程是_________．
5．（2020·上海市南洋模范中学高二阶段练习）已知直线过点，在轴和轴上的截距互为相反数，则直线的方程为______
6．（2022·上海市行知中学高二期末）已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线在轴上的截距为________.
7．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）若非零实数，满足，且直线，恒过一定点，则定点坐标为______．
8．（2022·上海·闵行中学高二期中）已知直线，则直线恒过定点___________.
9．（2022·上海市崇明区横沙中学高一期末）过点且垂直于直线的直线方程为___．
10．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是______．
11．（2022·上海市行知中学高二阶段练习）已知直线与直线互相垂直，则实数的值为__________.
12.（2023秋上海市·浦东新区·开学考试）已知定点与定直线：，过点的直线与交于第一象限点，与轴正半轴交于点，求使面积最小的直线方程为 .
二、单选题
13.（2023·上海市静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
14．（2022·上海市行知中学高一期末）如果且，那么直线不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
15．（2022·上海·高三专题练习）若直线不通过第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
16．（2022·上海市青浦高级中学高二阶段练习）直线绕原点逆时针旋转，再向右平移１个单位，所得到的直线为(
A．B．
C．D．
三．解答题
17．（2022·上海市青浦高级中学高二阶段练习）已知直线过点，若直线在两坐标轴上截距相等，求直线的方程．
18．（2022秋·上海普陀·高二曹杨二中校考期末）如图，、是海岸线、上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线、的距离分别为2km、.测得，.以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头在第一象限，且三个码头、、均在一条航线上.
(1)求码头点的坐标；
(2)海中有一处景点（设点在平面内，，且），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标.
19．（2022秋·上海闵行·高二闵行中学校考期中）已知直线.
(1)若直线与直线垂直，且过点，求直线的方程；
(2)若直线与直线平行，且过点，求直线的方程.
20．（2020·上海市行知中学高二阶段练习）（1）一条直线过点且与直线垂直，求直线的方程；
（2）已知直线通过一定点，求出这一定点.
21．（2022春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考阶段练习）如图，已知，，，直线．
(1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标；
(2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程；
(3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程．
目录
新知导航：熟悉课程内容、掌握知识脉络
基础知识：知识点全面梳理，掌握必备
学以致用：考点剖析，提升能力
小试牛刀：过关检测，成果评定
一般式
斜截式
截距式
不同时为0）
都不为0）