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【期中复习】2023-2024学年（沪教版2020选修）高二数学下册专题1-4点到直线的距离-考点归纳讲练.zip
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这是一份【期中复习】2023-2024学年（沪教版2020选修）高二数学下册专题1-4点到直线的距离-考点归纳讲练.zip，文件包含专题1-4点到直线的距离-考点归纳讲练原卷版docx、专题1-4点到直线的距离-考点归纳讲练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。
知识点1．点到直线的距离
1．点到直线的距离
点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值．
2．点到直线的距离公式
平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为．
【点拨】用向量法推导点P到直线l的距离|PQ|公式的向量法推导，在直线上取任意一点M，与直线方向向量垂直的单位向量为n，则有 ，所以有.
知识点2．点到直线的距离问题
（1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．
（2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或．
（3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．
知识点3.两条平行直线间的距离
1．两条平行直线间的距离
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长．
2．两条平行直线间的距离公式
一般地，两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离．
知识点4．直线关于直线对称
（1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质：
①若与相交，则直线l是、夹角的平分线；
②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等；
③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l，且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）．充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法．
（2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0，
①l关于x轴对称的直线是Ax+B（−y）+C=0；
②l关于y轴对称的直线是A（−x）+By+C=0；
③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0；
④l关于直线y=−x对称的直线是A（−y）+B（−x）+C=0．
知识点5．两点间的距离
两点间的距离公式 平面上任意两点间的距离公式为.
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离．
知识点6．对称问题
对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称．
1．点关于点对称
点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题．
设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点．特别地，点P关于坐标原点O的对称点为．
2．点关于直线对称
对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系：
①（直线l的斜率存在且不为零）；
②线段的中点在直线l上；
③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即．
常见的点关于直线的对称点：
①点关于x轴的对称点；
②点关于y轴的对称点；
③点关于直线y=x的对称点；
④点关于直线y=−x的对称点；
⑤点关于直线x=m（m≠0）的对称点；
⑥点关于直线y=n（n≠0）的对称点
题型一：求点到直线的距离
一、填空题
1．（2023下·上海静安·高二校考期中）点到直线的距离为 ．
2．（2023·上海·高二专题练习）已知为坐标原点，在直线上存在点，使得，则的取值范围为 ．
3．（2023下·上海浦东新·高二统考期中）已知动点在直线上，则的最小值为 .
二、解答题
4．（2023上·高二课时练习）求平行直线与之间的距离．
5．（2023上·高二课时练习）分别求点到下列直线的距离：
(1)；
(2)．
6．（2023上·高二课时练习）已知点是直线上任意一点，求点与点之间距离的最小值．
7．（2023下·上海浦东新·高二华师大二附中校考开学考试）已知直线，直线，点，为和的交点.求分别满足下列条件要求的过点的直线方程.
(1)平行于直线.
(2)点到所求直线的距离最大.
8．（2023下·上海·高二期中）在平面直角坐标系内，已知点P及线段l，Q是线段l上的任意一点，线段长度的最小值称为“点P到线段l的距离”，记为.
(1)设点，线段，求；
(2)设､､，线段，线段，若点是上的动点，请将表示成x的函数.
9．（2023下·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期中）已知直线和，
(1)求与l1与l2距离相同的点的轨迹；
(2)过l1与l2交点作一条直线l，使它夹在两平行线与之间的线段长为，求直线l的方程．
10．（2023上·高二课时练习）证明：点到直线的距离恒小于．
题型二：直线围成图形的面积问题
一、填空题
1．（2024上·上海·高二华师大二附中校考期末）已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为 .
二、解答题
2．（2023上·上海奉贤·高二上海市奉贤中学校考阶段练习）已知直角坐标系中三点，，.
(1)求以三点为顶点的三角形中边上的高所在直线的方程
(2)求以三点为顶点的三角形的面积
3．（2023下·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）已知的三个顶点，，.
(1)求直线的方程；
(2)求的面积.
题型三：已知点到直线的距离求参数
一、填空题
1．（2023上·上海奉贤·高二上海市奉贤中学校考阶段练习）已知点和点到直线的距离相等，则 .
2．（2024·上海·高二假期作业）直线关于点对称的直线的一般式方程为 ．
二、解答题
3．（2024·上海·高二假期作业）已知点到直线的距离等于4，求实数的值．
4．（2023下·上海·高二阶段练习）已知直线和点，若正方形的边在直线上，点为正方形的中心，求直线和的一般式方程.
5．（2023上·高二课时练习）已知点、，若点与点到直线的距离都为2，求直线的方程．
6．（2024·上海·高二假期作业）如图，、是海岸线、上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线、的距离分别为2km、.测得，.以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头在第一象限，且三个码头、、均在一条航线上.
(1)求码头点的坐标；
(2)海中有一处景点（设点在平面内，，且），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标.
题型四：求到两点距离相等的直线方程
一、填空题
1．（2023上·上海浦东新·高二华师大二附中校考期中）已知x，y为实数，代数式的最小值是 ．
二、解答题
2．（2023上·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期末）已知，
(1)求线段垂直平分线所在直线方程
(2)若直线过，且、到直线距离相等，求方程
3．（2023上·上海奉贤·高二上海市奉贤中学校考期中）已知，，.
(1)求边BC上的高所在直线的一般式方程；
(2)直线l经过点A，且点B、点C到直线l的距离相等，求直线l的一般式方程.
题型五：点关于直线的对称点、直线关于直线对称
一、单选题
1．（2023上·上海奉贤·高二校考阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ）
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是
B．将军在河边饮马的地点的坐标为
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是
D．“将军饮马”走过的总路程为5
2．（2024·上海·高二假期作业）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题
3．（2023·上海·高二专题练习）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为
4．（2023下·上海静安·高二上海市新中高级中学校考期中）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则实数 ．
5．（2023上·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期末）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在直线方程为 （用一般式表示）
6．（2024·上海·高二假期作业）已知正实数满足，则的取最小值 .
三、解答题
7．（2023上·上海浦东新·高二校考阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．以点为坐标原点，以为轴（为正方向），建立平面直角坐标系．
(1)求的重心的坐标，及点的坐标；
(2)求的周长．
一、填空题
1．（2024上·高二单元测试）两条平行直线和的距离为 .
2．（2024上·上海·高二专题练习）已知，，从点处射出的光线经x轴反射后，反射光线与平行，且点B到该反射光线的距离为，则实数 ．
3．（2024上·上海·高二专题练习）两平行直线之间的距离为 .
4．（2024上·上海·高二上海市复兴高级中学校考期末）已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ．
5．（2023上·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知，两点关于直线对称，则点的坐标为 .
6．（2023下·上海杨浦·高二校考期中）若直线被两平行线与所截得的线段的长为2，则直线的倾斜角为 ．
7．（2023下·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）直线与直线间的距离为
8．（2023下·上海青浦·高二统考期末）点到直线的距离为 ．
9．（2024·上海·高二假期作业）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是 ．
10．（2024·上海·高二假期作业）平行直线与之间的距离为 ．
11．（2023下·上海浦东新·高二上海师大附中校考阶段练习）已知点分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 .
12．（2024上·上海·高二专题练习）已知函数的定义域为，其最小值为2．点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为．其中为坐标原点．给出下列四个结论：
①； ②不存在点，使得；
③的值恒为； ④四边形面积的最小值为．
其中，所有正确结论的序号是 ．
二、单选题
13．（2024上·上海·高二专题练习）在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023下·上海浦东新·高二上海师大附中校考期中）直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
15．（2023下·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）
A．1.8cmB．2.5cmC．3.2cmD．3.9cm
16．（2023下·上海宝山·高二上海交大附中校考开学考试）点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
三、解答题
17．（2024上·高二单元测试）已知直线过点且它的一个法向量为，直线
(1)写出直线的方程， 并求当时，与的夹角θ；
(2)若∥，求实数a的值，并求此时直线到直线的距离d．
18．（2024上·上海·高二上海市行知中学校考期末）已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点.
(1)求直线的方程；
(2)直线恒过定点，求点到直线的距离.
19．（2024上·高二单元测试）已知一条动直线，
(1)求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标，并求出点到动直线的最大距离.
(2)若直线与x．y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①的周长为12；②的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
20．（2024上·上海·高二专题练习）已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点.
(1)已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值；
(2)已知点､点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标；
(3)已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围.
21．（2024上·上海·高二专题练习）已知直线和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，．
(1)已知直线，直线，求原点到直线的有向距离；
(2)已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由；
(3)设直线，问是否存在实数，使得对任意的参数都有：点到的有向距离满足？如果满足，求出所有满足条件的实数；如果不存在，请说明理由．
知识点1．点到直线的距离
1．点到直线的距离
点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值．
2．点到直线的距离公式
平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为．
【点拨】用向量法推导点P到直线l的距离|PQ|公式的向量法推导，在直线上取任意一点M，与直线方向向量垂直的单位向量为n，则有 ，所以有.
知识点2．点到直线的距离问题
（1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．
（2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或．
（3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．
知识点3.两条平行直线间的距离
1．两条平行直线间的距离
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长．
2．两条平行直线间的距离公式
一般地，两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离．
知识点4．直线关于直线对称
（1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质：
①若与相交，则直线l是、夹角的平分线；
②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等；
③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l，且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）．充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法．
（2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0，
①l关于x轴对称的直线是Ax+B（−y）+C=0；
②l关于y轴对称的直线是A（−x）+By+C=0；
③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0；
④l关于直线y=−x对称的直线是A（−y）+B（−x）+C=0．
知识点5．两点间的距离
两点间的距离公式 平面上任意两点间的距离公式为.
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离．
知识点6．对称问题
对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称．
1．点关于点对称
点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题．
设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点．特别地，点P关于坐标原点O的对称点为．
2．点关于直线对称
对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系：
①（直线l的斜率存在且不为零）；
②线段的中点在直线l上；
③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即．
常见的点关于直线的对称点：
①点关于x轴的对称点；
②点关于y轴的对称点；
③点关于直线y=x的对称点；
④点关于直线y=−x的对称点；
⑤点关于直线x=m（m≠0）的对称点；
⑥点关于直线y=n（n≠0）的对称点
题型一：求点到直线的距离
一、填空题
1．（2023下·上海静安·高二校考期中）点到直线的距离为 ．
2．（2023·上海·高二专题练习）已知为坐标原点，在直线上存在点，使得，则的取值范围为 ．
3．（2023下·上海浦东新·高二统考期中）已知动点在直线上，则的最小值为 .
二、解答题
4．（2023上·高二课时练习）求平行直线与之间的距离．
5．（2023上·高二课时练习）分别求点到下列直线的距离：
(1)；
(2)．
6．（2023上·高二课时练习）已知点是直线上任意一点，求点与点之间距离的最小值．
7．（2023下·上海浦东新·高二华师大二附中校考开学考试）已知直线，直线，点，为和的交点.求分别满足下列条件要求的过点的直线方程.
(1)平行于直线.
(2)点到所求直线的距离最大.
8．（2023下·上海·高二期中）在平面直角坐标系内，已知点P及线段l，Q是线段l上的任意一点，线段长度的最小值称为“点P到线段l的距离”，记为.
(1)设点，线段，求；
(2)设､､，线段，线段，若点是上的动点，请将表示成x的函数.
9．（2023下·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期中）已知直线和，
(1)求与l1与l2距离相同的点的轨迹；
(2)过l1与l2交点作一条直线l，使它夹在两平行线与之间的线段长为，求直线l的方程．
10．（2023上·高二课时练习）证明：点到直线的距离恒小于．
题型二：直线围成图形的面积问题
一、填空题
1．（2024上·上海·高二华师大二附中校考期末）已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为 .
二、解答题
2．（2023上·上海奉贤·高二上海市奉贤中学校考阶段练习）已知直角坐标系中三点，，.
(1)求以三点为顶点的三角形中边上的高所在直线的方程
(2)求以三点为顶点的三角形的面积
3．（2023下·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）已知的三个顶点，，.
(1)求直线的方程；
(2)求的面积.
题型三：已知点到直线的距离求参数
一、填空题
1．（2023上·上海奉贤·高二上海市奉贤中学校考阶段练习）已知点和点到直线的距离相等，则 .
2．（2024·上海·高二假期作业）直线关于点对称的直线的一般式方程为 ．
二、解答题
3．（2024·上海·高二假期作业）已知点到直线的距离等于4，求实数的值．
4．（2023下·上海·高二阶段练习）已知直线和点，若正方形的边在直线上，点为正方形的中心，求直线和的一般式方程.
5．（2023上·高二课时练习）已知点、，若点与点到直线的距离都为2，求直线的方程．
6．（2024·上海·高二假期作业）如图，、是海岸线、上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线、的距离分别为2km、.测得，.以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头在第一象限，且三个码头、、均在一条航线上.
(1)求码头点的坐标；
(2)海中有一处景点（设点在平面内，，且），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标.
题型四：求到两点距离相等的直线方程
一、填空题
1．（2023上·上海浦东新·高二华师大二附中校考期中）已知x，y为实数，代数式的最小值是 ．
二、解答题
2．（2023上·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期末）已知，
(1)求线段垂直平分线所在直线方程
(2)若直线过，且、到直线距离相等，求方程
3．（2023上·上海奉贤·高二上海市奉贤中学校考期中）已知，，.
(1)求边BC上的高所在直线的一般式方程；
(2)直线l经过点A，且点B、点C到直线l的距离相等，求直线l的一般式方程.
题型五：点关于直线的对称点、直线关于直线对称
一、单选题
1．（2023上·上海奉贤·高二校考阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ）
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是
B．将军在河边饮马的地点的坐标为
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是
D．“将军饮马”走过的总路程为5
2．（2024·上海·高二假期作业）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题
3．（2023·上海·高二专题练习）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为
4．（2023下·上海静安·高二上海市新中高级中学校考期中）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则实数 ．
5．（2023上·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期末）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在直线方程为 （用一般式表示）
6．（2024·上海·高二假期作业）已知正实数满足，则的取最小值 .
三、解答题
7．（2023上·上海浦东新·高二校考阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．以点为坐标原点，以为轴（为正方向），建立平面直角坐标系．
(1)求的重心的坐标，及点的坐标；
(2)求的周长．
一、填空题
1．（2024上·高二单元测试）两条平行直线和的距离为 .
2．（2024上·上海·高二专题练习）已知，，从点处射出的光线经x轴反射后，反射光线与平行，且点B到该反射光线的距离为，则实数 ．
3．（2024上·上海·高二专题练习）两平行直线之间的距离为 .
4．（2024上·上海·高二上海市复兴高级中学校考期末）已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ．
5．（2023上·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知，两点关于直线对称，则点的坐标为 .
6．（2023下·上海杨浦·高二校考期中）若直线被两平行线与所截得的线段的长为2，则直线的倾斜角为 ．
7．（2023下·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）直线与直线间的距离为
8．（2023下·上海青浦·高二统考期末）点到直线的距离为 ．
9．（2024·上海·高二假期作业）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是 ．
10．（2024·上海·高二假期作业）平行直线与之间的距离为 ．
11．（2023下·上海浦东新·高二上海师大附中校考阶段练习）已知点分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 .
12．（2024上·上海·高二专题练习）已知函数的定义域为，其最小值为2．点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为．其中为坐标原点．给出下列四个结论：
①； ②不存在点，使得；
③的值恒为； ④四边形面积的最小值为．
其中，所有正确结论的序号是 ．
二、单选题
13．（2024上·上海·高二专题练习）在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023下·上海浦东新·高二上海师大附中校考期中）直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
15．（2023下·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）
A．1.8cmB．2.5cmC．3.2cmD．3.9cm
16．（2023下·上海宝山·高二上海交大附中校考开学考试）点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
三、解答题
17．（2024上·高二单元测试）已知直线过点且它的一个法向量为，直线
(1)写出直线的方程， 并求当时，与的夹角θ；
(2)若∥，求实数a的值，并求此时直线到直线的距离d．
18．（2024上·上海·高二上海市行知中学校考期末）已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点.
(1)求直线的方程；
(2)直线恒过定点，求点到直线的距离.
19．（2024上·高二单元测试）已知一条动直线，
(1)求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标，并求出点到动直线的最大距离.
(2)若直线与x．y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①的周长为12；②的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
20．（2024上·上海·高二专题练习）已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点.
(1)已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值；
(2)已知点､点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标；
(3)已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围.
21．（2024上·上海·高二专题练习）已知直线和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，．
(1)已知直线，直线，求原点到直线的有向距离；
(2)已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由；
(3)设直线，问是否存在实数，使得对任意的参数都有：点到的有向距离满足？如果满足，求出所有满足条件的实数；如果不存在，请说明理由．
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