【期中复习】2023-2024学年人教A版2019高二数学下册考点清单 专题演练 专题06 第七章 概率与数列，统计与导数交汇.zip

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【考点题型一】概率与数列交汇
【例1】（2024高三·全国·专题练习）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为．由抽签确定第次投篮的人选，第次投篮的人是甲、乙的概率各为．则求第次投篮的人是甲的概率为 .
【答案】
【分析】记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
【详解】记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
设，依题可知，，
则，
即，
构造等比数列，
设，解得，则，
又，则，所以是首项为，公比为的等比数列，
即，．
则第次投篮的人是甲的概率为.
故答案为：
【例2】（23-24高三上·广西·阶段练习）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以表示没有出现连续3次正面向上的概率，由题意可知，则 ．
【答案】
【分析】求出，，分类讨论，即分第次反面向上，和第次正面向上情况，确定，由此可求得答案.
【详解】当时，，
当时，出现连续3次正面的情况可能是：正正正反、正正正正、反正正正，
所以，
要求，即抛郑次没有出现连续3次正面的概率，分类进行讨论，
若第次反面向上，前次未出现连续3此正面即可；
若第次正面向上，则需要对第进行讨论，依次类推，得到下表：
所以，
又，
故答案为：
【例3】（2024·江苏·模拟预测）某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为，第二天选择餐厅乙就餐的概率为；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为，第二天选择餐厅甲就餐的概率为．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，选择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第天选择餐厅甲就餐的概率为．
(1)记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求随机变量的分布列及期望；
(2)学校为缓解就餐压力，决定每天从各年级抽调21人到甲乙两个餐厅参加志愿服务，请求出的通项公式，根据以上数据合理分配甲，乙两个餐厅志愿者人数，并说明理由．
【答案】(1)分布列见解析，；
(2)，分配到甲，乙两个餐厅志愿者人数分别为和.
【分析】（1）先求某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望；
（2）根据题意先求与的关系，然后利用构适法可得通项，由确定两餐厅志愿者人数分配.
【详解】（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率
某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率
所以3位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为
记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，所有可能的取值为，
则
的分布列为：
.
（2）依题意，，即，
则有，当时，可得，
数列是首项为公比为的等比数列，则，
时，，
所以，各年级抽调的21人中，分配到餐厅甲的志愿者人数为，分配到餐厅乙的志愿者人数为.
【例4】（2024高三·全国·专题练习）某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额的数学期望为．
(1)求及的分布列．
(2)写出与的递推关系式，并证明为等比数列；
(3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（考数据：​）
【答案】(1)，分布列见解析；
(2)，证明见解析；
(3)（元）
【分析】（1）根据条件，直接求出，的取值及相应的概率，再利用期望的计算公式，即可求出结果；
（2）根据条件，建立关系式，即可求出结果，再构造成，利用等比数列的定义，即可证明结果；
（3）由（2）得到，即可求出结果.
【详解】（1）依题意，抽到一个红球的概率为，抽到一个黑球的概率为0.4，
显然的值为25，50，则，
所以，
又的值为，
则，
所以的分布列为：
（2）依题意，当时，甲第n次抽到红球所得的奖券数额为，对应概率为，
抽到黑球所得的奖券数额为25元，对应概率为，
因此当时，，
，即，又，
数列为等比数列，公比为1.2，首项为90．
（3）由（2）得，，即，
所以顾客甲抽奖6次，所得奖券数额的期望为（元）．
【例5】（23-24高三上·河北邢台·期末）杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“莲莲”，聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素．本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情．某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均匀的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出现3的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，当队员到达第7或第8步台阶时，游戏结束．规定：到达第7步台阶，认定失败；到达第8步台阶可赢得一组吉祥物．假设平地记为第0步台阶．记队员到达第步台阶的概率为（），记．
(1)投掷4次后，队员站在的台阶数为第阶，求的分布列；
(2)①求证：数列（）是等比数列；
②求队员赢得吉祥物的概率．
【答案】(1)答案见解析
(2)①证明见解析 ；②
【分析】（1）由题意可得爬一步台阶的概率为，爬两步台阶的概率为，列出随机变量可能取值，求出对应的概率，求出分布列即可；
（2）（i）由题意可得，分类讨论到达第步台阶的情况，求出对应的概率，进而（），结合等比数列的定义即可证明；（ii）由（i），根据等比数列的通项公式可得，利用累加法求得（），令计算即可求解.
【详解】（1）由题意得每轮游戏爬一步台阶的概率为，爬两步台阶的概率为，
所以随机变量可能取值为4，5，6，7，8，
可得，，
，，
，
所以的分布列：
（2）（ⅰ）证明：，即爬一步台阶，是第1次掷骰子，
向上点数不是3的倍数概率，则
到达第步台阶有两种情况：
①前一轮爬到第步台阶，又掷骰子是3的倍数得爬两步台阶，其概率为，
②前一轮爬到第步台阶，又掷骰子不是3的倍数爬一步台阶，其概率为，
所以（），
则（），
所以数列（）是首项为，公比为的等比数列．
（ⅱ）因为数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，，…，，
各式相加，得：，所以（），
所以活动参与者得到纪念品的概率为
．
【变式1-1】.（23-24高三上·甘肃·阶段练习）某学校有、两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在这两个餐厅中选择一个就餐，如果甲当天选择了某个餐厅，他第二天会有的可能性换另一个餐厅就餐，假如第天甲选择了餐厅，则第天选择餐厅的概率为 .
【答案】
【分析】根据全概率公式可得出，可得出，由此可得出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式.
【详解】当且时，若甲在第天选择了餐厅，
那么在第天有的可能性选择餐厅，
若甲在第天选择了餐厅，那么在第天有的可能性选择餐厅，
所以第天选择餐厅的概率，
即，所以.
又由题意得，，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以.
故答案为：.
【变式1-2】.（23-24高三上·河南驻马店·期末）一枚质地均匀的小正四面体，其中两个面标有数字1，两个面标有数字2.现将此正四面体任意抛掷次，落于水平的桌面，记次底面的数字之和为.
(1)当时，记为被3整除的余数，求的分布列与期望；
(2)求能被3整除的概率.
【答案】(1)分布列见解析，期望为
(2)
【分析】（1）先确定的可能值，再分别求概率列表求期望.
（2）先得到递推关系，再构造等比数列求解.
【详解】（1）由题可知，正四面体与桌面接触的数字为1和2的概率均为，
的取值可能为0，1，2.
，
，
，
则的分布列为
.
（2）由题可知，当时，次底面的数字之和能被3整除的概率为，
所以，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，即.
【变式1-3】.（2024·广东湛江·一模）甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n格的概率为．
(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X，求X的分布列和期望；
(2)证明：数列为等比数列．
【答案】(1)分布列见解析；期望；
(2)证明见解析；
【分析】（1）写出X的所有可能取值并求出对应的概率，即可列出分布列，计算求出期望值；
（2）依题意根据跳格规则可得，即可得出证明；
【详解】（1）根据题意可知，X的所有可能取值为0，1，2；
则，，；
可得X的分布列如下：
期望值为.
（2）依题意，当时，棋子跳到第格有两种可能：
第一种，棋子先跳到第格，再摸出两球颜色不同；
第二种，棋子先跳到第格，再摸出两球颜色相同；
又可知摸出两球颜色不同，即跳两格的概率为，
摸出两球颜色相同，即跳一格的概率为；
因此可得；
所以，
因此可得，
即数列是公比为的等比数列.
【变式1-4】.（23-24高三下·新疆·阶段练习）我国某企业研发的家用机器人，其生产共有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道工序是出厂检测工序，包括智能自动检测与人工抽检，其中智能自动检测为次品的会被自动淘汰，合格的进入流水线进行人工抽检．已知该家用机器人在生产中前三道工序的次品率分别为．
(1)已知某批次的家用机器人智能自动检测显示合格率为，求在人工抽检时，工人抽检一个家用机器人恰好为合格品的概率（百分号前保留两位小数）；
(2)该企业利用短视频直播方式扩大产品影响力，在直播现场进行家用机器人推广活动，现场人山人海，场面火爆，从现场抽取幸运顾客参与游戏，游戏规则如下：参与游戏的幸运顾客，每次都要有放回地从10张分别写有数字的卡片中随机抽取一张，指挥家用机器人运乒乓球，直到获得奖品为止，每次游戏开始时，甲箱中有足够多的球，乙箱中没有球，若抽的卡片上的数字为奇数，则从甲箱中运一个乒乓球到乙箱；若抽的卡片上的数字为偶数，则从甲箱中运两个乒乓球到乙箱，当乙箱中的乒乓球数目达到9个时，获得奖品优惠券960元；当乙箱中的乒乓球数目达到10个时，获得奖品大礼包一个，获得奖品时游戏结束．
①求获得“优惠券”的概率；
②若有16个幸运顾客参与游戏，每人参加一次游戏，求该企业预备的优惠券总金额的期望值．
【答案】(1)
(2)①；②元
【分析】（1）根据条件概率的概率公式计算可得；
（2）①设乙箱中有个球的概率为，即可求出、，当时可得，从而得到，即当时数列是公比为的等比数列，求出，再用累加法求出，即可求出；
②设参与游戏的个幸运顾客中获得优惠券的人数为，则，设优惠券的总金额为元，则，再根据二项分布的期望公式及期望的性质计算可得.
【详解】（1）设家用机器人经过前三道工序后是合格品的概率为，
则，
设家用机器人智能自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，则，
，
所以，
即在人工抽检时，工人抽检一个家用机器人恰好为合格品的概率约为.
（2）①设乙箱中有个球的概率为，
第一次抽到奇数，家用机器人运个乒乓球，概率为，即，
乙箱中有个球，有两类情况，所以，
乙箱中有个球的情况有：
i家用机器人已运个球，又抽出偶数，其概率为；
ii家用机器人已运个球，又抽出奇数，其概率为；
所以，且，
所以，所以，
即当时数列是公比为的等比数列，
所以，
又，，所以当时也成立，
所以，，，，
上述各式相加得
，
又，
所以，，
经检验，当时上式也成立，
所以，
所以，即获得“优惠券”的概率为.
②设参与游戏的个幸运顾客中获得优惠券的人数为，则，
所以的期望，
设优惠券的总金额为元，则，
所以个幸运顾客中获得优惠券总金额的期望值（元），
故该企业预备的优惠券总金额的期望值为元.
【点睛】关键点点睛：第二问关键是由相互独立事件及互斥事件的概率公式得到，再利用构造法及累加法求出.
【变式1-5】.（23-24高三上·浙江温州·期末）现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．
(1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率；
(2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列；
(3)记n号盒子中红球的个数为，求的期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
(3)
【分析】(1)由古典概率模型进行求解；
(2) 可取，求出对应的概率，再列出分布列即可；
(3) 记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，
为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，
则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，且，化解得，即可求解.
【详解】（1）由题可知2号盒子里有2个红球的概率为；
（2）由题可知可取，
，
，
所以3号盒子里的红球的个数ξ的分布列为
（3）记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，
为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，
则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，
且，
化解得，
得，
而则数列为等比数列,首项为，公比为，
所以，
又由求得：
因此．
【点睛】关键点点睛：记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，且，即可求解.
【考点题型二】借助导数求概率中最值问题
【例1】（2024·全国·模拟预测）公元1651年，一个问题引发了数学家德梅赫、帕斯卡、费马和惠更斯等人的讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢局，谁便赢得全部赌注元．每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立．在甲赢了局，乙赢了局时，赌博意外终止．赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注．
(1)甲、乙赌博意外终止，若，，，，，求甲应分得的赌注；
(2)记事件为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当，，时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率；当时，求事件发生的概率的最大值．
【答案】(1)元；
(2)0.0272．
【分析】（1）根据给定条件，利用互斥事件的概率公式，结合独立重复试验的概率公式求出甲赢得全部赌注概率.
（2）求出乙赢得全部赌注的概率，进而求出，再利用导数求出函数的最大值即得.
【详解】（1）设赌博再继续进行局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注，
当时，甲以赢，则，
当时，甲以赢，则，
当时，甲以赢，则，
于是得甲赢得全部赌注的概率为，
所以甲应分得的赌注为元．
（2）设赌博继续进行局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，
当时，乙以赢，，
当时，乙以赢，，
则乙赢得全部赌注的概率为，
于是甲赢得全部赌注的概率，
，
因，即，从而有在上单调递增，
因此，乙赢的概率最大值为，
所以事件发生的概率的最大值为0.0272．
【例2】（2024·广东汕头·一模）2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到颗番石榴（不妨设颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前颗番石榴，自第颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为.
(1)若，求；
(2)当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.
（取）
【答案】(1)；
(2)的最大值为，此时的值为.
【分析】（1）根据给定条件，利用有限制条件的排列求出古典概率.
（2）利用全概率公式求出，再构造函数，利用导数求出最大值.
【详解】（1）依题意，4个番石榴的位置从第1个到第4个排序，有种情况，
要摘到那个最大的番石榴，有以下两种情况：
①最大的番石榴是第3个，其它的随意在哪个位置，有种情况；
②最大的番石榴是最后1个，第二大的番石榴是第1个或第2个，其它的随意在哪个位置，有种情况，
所以所求概率为.
（2）记事件表示最大的番石榴被摘到，事件表示最大的番石榴排在第个，则，
由全概率公式知：，
当时，最大的番石榴在前个中，不会被摘到，此时；
当时，最大的番石榴被摘到，当且仅当前个番石榴中的最大一个在前个之中时，此时，
因此，
令，求导得，由，得，
当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
则，于是当时，取得最大值，
所以的最大值为，此时的值为.
【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题.
【例3】（2024·吉林·模拟预测）篮球运动是在1891年由美国马萨诸塞州斯普林尔德市基督教青年会训练学校体育教师詹姆士·奈史密斯博士，借鉴其他球类运动项目设计发明的．起初，他将两只桃篮钉在健身房内看台的栏杆上，桃篮上沿离地面约米，用足球作为比赛工具，任何一方在获球后，利用传递、运拍，将球向篮内投掷，投球入篮得一分，按得分多少决定比赛胜负．在1891年的12月21日，举行了首次世界篮球比赛，后来篮球界就将此日定为国际篮球日．甲、乙两人进行投篮，比赛规则是：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分．已知甲和乙每次进球的概率分别是和p，且每人进球与否互不影响．
(1)若，求乙在一轮比赛中获得一个积分的概率；
(2)若，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）分别求得甲和乙在每一轮比赛中投进球对应的概率，再结合题意，求出乙在一轮比赛中获得1个积分的概率即可；
（2）先求得乙在每轮比赛至少要超甲2个球的概率，设随机变量表示轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，根据二项分布的期望计算公式求得，进而根据题意，列出不等关系，结合导数研究函数的单调性，从而求得结果.
【详解】（1）设事件表示甲在一轮比赛中投进个球，表示乙在一轮比赛中投进个球，
则，，，；
，，，；
若乙在一轮比赛中获得一个积分，则乙胜利次，
故其概率
.
（2）设事件表示乙每场比赛至少要超甲2个球，则
；
设随机变量表示轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，
显然，故，
要满足题意，则，即，又，故，
令，则在恒成立，
故在上单调递增，又的最大值为，
则的最大值为，的最小值为，而，
故理论上至少要进行轮比赛.
【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键是设出随机变量，利用二项分布的期望求解公式，解得；同时，构造函数，利用导数研究其单调性和最值；属综合困难题.
【例4】（21-22高三·云南昆明·开学考试）甲､乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256元，谁先赢满5局，谁便赢得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为，甲赢的概率为，每局游戏相互独立，在乙赢了3局甲赢了1局的情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为合理？有专家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢5局且游戏意外终止的情况，则甲､乙按照游戏再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.
(1)若，则乙应该得多少奖金；
(2)记事件A为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率，并判断当时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.（注：若随机事件发生的概率小于，则称随机事件为小概率事件）
【答案】(1)252（元）
(2)事件A是小概率事件，理由见解析.
【分析】（1）根据已知，利用二项分布、相互独立事件、和事件的概率公式计算概率，再进行求解.
（2）利用概率公式计算概率，转化为函数问题，再利用导数研究最值，再根据结果进行判断.
【详解】（1）设游戏再继续进行下去X局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢.
由题知，当时，乙以赢，所以，
当时，乙以赢，所以，
当时，乙以赢，所以，
当时，乙以赢，所以，
所以乙赢得全部奖金的概率为，
所以乙应该得多少奖金为（元）.
（2）设游戏继续进行Y局甲获得全部奖金，则最后一局必然甲赢.
由题知，当时，甲以赢，所以，
当时，甲以赢，所以，
甲获得全部奖金的概率，
所以，
所以，
，，
在上单调递减，所以，
故事件A是小概率事件.
【变式2-1】.（2024·全国·模拟预测）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）．
(1)当时，若发送0，则要得到正确信号，试比较单次传输和三次传输方案的概率大小；
(2)若采用三次传输方案发送1，记收到的信号中出现2次信号1的概率为，出现3次信号1的概率为，求的最大值．
【答案】(1)单次传输小于三次传输
(2)
【分析】（1）分别算出单次、三次传输发送0译码为0的概率，比大小，即可下结论；
（2）由题意可得，．设，利用导数讨论函数的性质求出即可.
【详解】（1）单次传输发送0译码为0的概率．
三次传输发送0译码为0的概率．
因为，所以要得到正确信号，三次传输方案的概率大．
（2）由题意得，．
记函数，
则．
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
所以当时，，
所以的最大值是．
【变式2-2】.（2022·海南·模拟预测）在政府精准扶贫政策的扶持下，甲、乙，丙三位学徒跟老李师傅学习制作某种陶器，经过一段时间的学习后，他们各自能制作成功该陶器的概率分别为，，，且．现需要他们三人制作一件该陶器，每次只有一个人制作，且每个人只制作一次，如果有一个人制作失败则换下一个人重新制作，若陶器制作成功则结束．
(1)按照甲、乙、丙的顺序制作该陶器，若，且，求制作该陶器的人数均值的最大值；
(2)若这种陶器制作成功后需要两轮检测都合格才能上市销售，已知学徒甲制作的陶器第一轮检测合格的概率为，第二轮检测合格的概率为，且两轮检测是否合格相互之间没有影响．如果这种陶器可以上市销售，则每件陶器可获利100元；如果这种陶器不能上市销售，则每件陶器亏损80元．现有学徒甲制作的这种陶器4件，求这4件陶器获利220元的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设制作人数为，求得随机变量的分布列，得到，设，求得，得到函数的单调性与最小值，即可求解；
（2）设“该陶器能上市销售”为事件，求得，结合独立重复试验的概率公式，即可求解.
【详解】（1）解：设制作人数为，他们三人各自能制作成功该陶器的概率分别为、、，
可得，
则随机变量的分布列为
均值为，
，
设，，
因为，且，
所以在上单调递增，所以，
所以，
所以当时，的最大值为．
（2）解：记“该陶器能上市销售”为事件，则,
由已知可知4件陶器获利220元的情况是可上市销售3件，
则概率为．
【变式2-3】.（22-23高二下·广东江门·阶段练习）三年多的“新冠之战”在全国人民的共同努力下刚刚取得完胜，这给我们的个人卫生和公共卫生都提出更高的要求！某机构欲组建一个有关“垃圾分类”相关事宜的项目组，对各个地区“垃圾分类”的处理模式进行相关报道，该机构从600名员工中进行筛选，筛选方法如下：每位员工测试A，B，C三项工作，3项测试中至少2项测试“不合格”的员工，将被认定为“暂定”，有且只有一项测试“不合格”的员工将再测试A，B两项，如果这两项中有1项以上（含1项）测试“不合格”，将也被认定为“暂定”，每位员工测试A，B，C三项工作相互独立，每一项测试“不合格”的概率均为．
(1)记每位员工被认定为“暂定”的概率为，求；
(2)每位员工不需要重新测试的费用为90元，需要重新测试的前后两轮测试的总费用为150元，所有员工除测试费用外，其他费用总计为1万元，若该机构的预算为8万元，且600名员工全部参与测试，试估计上述方案是否会超出预算，并说明理由．
【答案】(1)
(2)不会超过预算，理由见详解
【分析】（1）利用互斥事件的概率加法计算公式和n次独立重复实验的概率计算公式进行求解即可；
（2）设每位员工测试的费用为X元，则X的可能取值为90，150，利用n次独立重复实验的概率计算公式和离散型随机变量的数学期望公式求出数学期望的表达式，通过构造函数，利用导数判断函数的单调性求最值即可．
【详解】（1）由题意知，每位员工首轮测试被认定为“暂定”的概率为，
每位员工再次测试被认定为“暂定”的概率为，
综上可知，每位员工被认定为“暂定”的概率为
．
（2）设每位员工测试的费用为X元，则X的可能取值为90，150，
由题意知，， ，
所以随机变量X的数学期望为
（元），，
令，，
则，
所以当时，；当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即（元）.
所以此方案的最高费用为（万元），
综上可知，若以此方案实施估计不会超过预算．
【点睛】本题考查互斥事件的概率加法公式、n次独立重复实验的概率计算公式、离散型随机变量的数学期望公式和利用导数判断函数的单调性求最值；考查运算求解能力和转化与化归能力；通过构造函数，利用导数求最值是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题．
第次
次
次
概率
反面
正面
反面
正面
正面
反面
X
0
1
2
3
P
25
50
100
0.4
0.24
0.36
4
5
6
7
8
0
1
2
0
1
2
1
2
3
P
1
2
3