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【期中复习】2023-2024学年（沪教版2020选修）高二数学下册专题04数列全章复习攻略-考点归纳讲练.zip
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这是一份【期中复习】2023-2024学年（沪教版2020选修）高二数学下册专题04数列全章复习攻略-考点归纳讲练.zip，文件包含专题04数列全章复习攻略-考点归纳讲练原卷版docx、专题04数列全章复习攻略-考点归纳讲练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。
知识点一 数列及其有关概念
1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．
2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
思考 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？
答案 不是．顺序不一样．
知识点二 数列的分类
知识点三 函数与数列的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．
知识点四 数列的单调性
知识点五 通项公式
1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
知识点六 数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
知识点七 数列的前n项和Sn与an的关系
1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
知识点八 等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零．
知识点九 等差中项的概念
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b.
知识点十 等差数列的通项公式
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d.
知识点十一 从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，
则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.
知识点十二 等差数列通项公式的变形及推广
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
③d＝eq \f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．
其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．
②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.
③可用来由等差数列任两项求公差．
知识点十三 等差数列的性质
1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
2.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap.
3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列．
4．等差数列{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；
d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．
知识点十四 等差数列的前n项和公式
知识点十五 等差数列前n项和的性质
1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也是等差数列，且公差为eq \f(d,2).
2．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.
3．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(an＋1,an).
4．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(n,n＋1).
知识点十六 等差数列{an}的前n项和公式的函数特征
1．公式Sn＝na1＋eq \f(nn－1d,2)可化成关于n的表达式：Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n.当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝eq \f(d,2)x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．
2．等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，
当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥0，,an＋1≤0))确定；
当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤0，,an＋1≥0))确定．
(2)Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
知识点十七 等比数列的概念
1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．递推公式形式的定义：eq \f(an,an－1)＝q(n∈N*且n>1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或\f(an＋1,an)＝q，n∈N*)).
知识点十八 等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
知识点十九 等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)．
知识点二十 等比数列通项公式的推广和变形
等比数列{an}的公比为q，则
an＝a1qn－1①
＝amqn－m②
＝eq \f(a1,q)·qn.③
其中当②中m＝1时，即化为①.
当③中q>0且q≠1时，y＝eq \f(a1,q)·qx为指数型函数．
知识点二十一 实际应用题常见的数列模型
1．储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和y ＝a(1＋r)n.
2．总产值模型：基数为N，平均增长率为p，期数为n， 则总产值y ＝ N (1 ＋ p)n.
知识点二十二 等比数列的常用性质
设数列{an}为等比数列，则：
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.
(2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．
(3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列．
(4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{aeq \\al(2,n)}都是等比数列，且公比分别是q，eq \f(1,q)，q2.
(5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))也都是等比数列，公比分别为pq和eq \f(p,q).
知识点二十三 等比数列的前n项和公式
知识点二十四 等比数列前n项和的性质
1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．
2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．
3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，eq \f(S偶,S奇)＝q；
②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq \f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq \f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)．
知识点二十五 等比数列前n项和的实际应用
1．解应用问题的核心是建立数学模型．
2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．
3．注意问题是求什么(n，an，Sn)．
注意：
(1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．
(2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确．
(3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．
(4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求．
知识点二十六 数学归纳法
1．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)以当“n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
2．数学归纳法的证明形式
记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：(1) P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．
结论：P(n)为真．
3. 数学归纳法中的两个步骤
在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．只要将这两步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，从而完成证明．
一．数列的概念及简单表示法（共3小题）
1．（2022春•沙依巴克区校级期中）数列2，5，11，20，，47，中的值为
A．28B．32C．33D．27
2．（2023春•普陀区校级期中）已知数列的通项公式是，则是该数列中的第 项．
3．（2023春•闵行区月考）已知，，为整数，集合，中的数从小到大排列，组成数列，如，，
A．515B．896C．1027D．1792
二．数列的函数特性（共2小题）
4．（2023春•上海期中）已知数列，下列说法正确的是
A．有最大项，但没有最小项
B．没有最大项，但有最小项
C．既有最大项，又有最小项
D．既没有最大项，也没有最小项
5．（2023春•宝山区校级期中）给定下列四个命题：
①图像不经过点的幂函数一定不是偶函数；
②若一条直线垂直于平面内的无穷多条直线，则这条直线垂直于这个平面；
③有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱；
④设数列的前项和为，若是递增数列，则数列也是递增数列；
以上命题是真命题的序号是
A．①②B．②③C．③④D．①③
三．等差数列的性质（共7小题）
6．（2024春•宝山区校级月考）与的等差中项为 ．
7．（2023春•黄浦区期末）若是等差数列，则由下列关系确定的数列也一定是等差数列的是
A．B．C．D．
8．（2022春•杨浦区校级期末）若，，成等差数列，则，，一定
A．成等差数列
B．成等比数列
C．既成等差数列也成等比数列
D．既不成等差数列也不成等比数列
9．（2024春•宝山区校级月考）已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是
① ② ③ ④
A．1B．2C．3D．4
10．（2022春•浦东新区校级月考）等差数列前项和，若，则 ．
11．（2023春•嘉定区期末）已知数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等差数列．
12．（2023春•黄浦区期末）已知数列的前项和为．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）求的最大值及取得最大值时的值．
四．等差数列的通项公式（共6小题）
13．（2024春•宝山区校级月考）在等差数列中，若，，则的通项公式为 ．
14．（2024春•杨浦区校级月考）设数列为等差数列，若，，则公差 ．
15．（2023春•南岗区校级期中）已知是等差数列，，，则 ．
16．（2023•松江区校级模拟）已知等差数列，，，则 ．
17．（2023春•黄浦区期末）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，该书中提到：从冬至之日起，小寒、寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长次成等差数列，若立春的日影子长是12.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子为 尺．
18．（2024春•宝山区校级月考）在等差数列中，，．
（1）求的值；
（2）2022是否为数列中的项？若是，则为第几项？
五．等差数列的前n项和（共5小题）
19．（2024春•闵行区校级月考）已知数列是等差数列，若，，则 ．
20．（2024春•宝山区校级月考）等差数列满足，，则 ．
21．（2024春•宝山区校级月考）已知等差数列中，，，则的最大值为 ．
22．（2023秋•浦东新区校级期末）设是等差数列的前项和，若，则 ．
23．（2023秋•宝山区期末）已知等差数列的前项和为，若，则 ．
六．等比数列的性质（共6小题）
24．（2023•闵行区校级开学）等比数列中，，，则 ．
25．（2023春•闵行区校级期中）设等比数列的前项和，为正整数，若，，则 ．
26．（2023春•奉贤区校级期中）已知为等比数列，下列结论中正确的是
A．B．
C．若，则D．若，则
27．（2023春•徐汇区校级月考）下列命题正确的有 个．
（1）若数列为等比数列，为其前项和，则，，，也成等比数列；
（2）数列的通项公式为，则对任意的，，存在，使得；
（3）设为不超过实数的最大整数，例如：，，．设为正整数，数列满足，，记，则为有限集．
A．0B．1C．2D．3
28．（2023春•上海期中）若，，，成等比数列，则下列三个数列：
（1），，，；
（2），，；
（3），，，
必成等比数列的个数为
A．0B．1C．2D．3
29．（2023春•浦东新区期末）“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分又非必要条件
七．等比数列的通项公式（共3小题）
30．（2023春•杨浦区校级月考）等比数列满足：，，则 ．
31．（2023春•普陀区校级期末）已知为等比数列，且，则的公比为 ．
32．（2023春•宝山区期末）某产品经过4次革新后，成本由原来的200元下降到125元．如果这种产品每次革新后成本下降的百分比相同，那么每次革新后成本下降的百分比是 （结果精确到．
八．数列的极限（共4小题）
33．（2023春•闵行区校级期中）无穷等比数列的首项为，公比为，前项和为，且，则首项的取值范围是
A．B．，，C．D．，，
34．（2023春•杨浦区校级期末）已知数列是公比为的无穷等比数列，且，则 ．
35．（2023•嘉定区二模）已知数列的通项公式为前项和为，则 ．
36．（2023春•嘉定区校级期中）无穷等比数列的通项公式，前项的和为，若，则满足条件的的取值的集合为 ．
九．数学归纳法（共2小题）
37．（2023春•上海期中）用数学归纳法证明：为正整数）从到时，等式左边需增加的代数式是
A．B．C．D．
38．（2024春•闵行区校级月考）如果命题对于时成立，那么它对也成立．若对于时成立，则下列结论正确的是
A．对所有正整数成立
B．对所有正偶数成立
C．对所有正奇数成立
D．对所有大于1的正整数成立
一．填空题（共12小题）
1．（2023秋•徐汇区校级期末）已知是离最近的整数，如，，则无穷数列中共有 项的值等于100．
2．（2023秋•海沧区校级期中）在等差数列中，如果前5项的和为，那么等于 ．
3．（2023秋•青浦区校级期中）已知数列是等差数列，，则 ．
4．（2023秋•嘉定区校级期中）已知项数为的等差数列满足，．若，则的最大值是 ．
5．（2023秋•徐汇区校级月考）已知等差数列共有项，各项与公差均不为零，若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数列组成的集合为 ．
6．（2023秋•虹口区校级月考）已知等差数列的前项和满足，那么以下4个结论中正确的有 ．（填所有正确结论的序号
（1）公差
（2）不等式的最小正整数解为13
（3）
（4）满足的的个数为11个
7．（2024春•杨浦区校级月考）等比数列的前项积为，并且满足，，，现给出下列结论：①；②；③是中的最大值；④使成立的最大正整数是2019，其中正确的结论序号是 ．
8．（2023秋•宝山区校级月考）在等比数列中，， ．
9．（2023秋•浦东新区校级月考）定义域为集合，2，3，，上的函数满足：（1）（1）；（2），，2，3，，11；（3）（1）、（6）、成等比数列．这样的不同函数的个数为 ．
10．（2023秋•嘉定区期末）数列满足，且，求 ．
11．（2023秋•嘉定区期末）已知平面上有个点，，，，，，，，且，记的坐标为，，将，，依次顺时针排列，求， ．
12．（2023春•浦东新区校级月考）已知数列、、的通项公式分别为、、，其中，，，，，，令，，，，表示、、三者中的最大值），则对于任意，的最小值为 ．
二．选择题（共4小题）
13．（2023秋•嘉定区期末）已知等差数列，公差为，，则下列命题正确的是
A．函数可能是奇函数
B．若函数是偶函数，则
C．若，则函数是偶函数
D．若，则函数的图象是轴对称图形
14．（2023秋•杨浦区校级期中）定义在区间，， 的函数，如果对于任意给定的非常数等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”，下列函数是“保等比数列函数”的是
A．B．C．D．
15．（2023秋•徐汇区校级期中）已知是公比不为1的等比数列，为其前项和，满足，则下列等式恒成立的是
A．B．
C．D．
16．（2023秋•闵行区校级期末）在无穷等比数列中，，则的取值范围是
A．B．
C．D．，，
三．解答题（共5小题）
17．（2023秋•杨浦区校级期中）已知数列，若对于任意正整数，仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”．
（1）已知，判断数列是否为“回归数列”，并说明理由；
（2）若数列为“回归数列”，且对于任意正整数，均有成立，证明：数列为等差数列．
18．（2023秋•普陀区校级期中）设是等差数列，且，．
（1）求的通项公式；
（2）求．
19．（2023•上海开学）已知点， 满足，，且点的坐标为．
（1）求过点、的直线的方程；
（2）试用数学归纳法证明：对于任意，，点都在（1）中的直线上；
（3）试求数列、的通项公式．
20．（2023春•浦东新区校级期末）某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自2022年9月以来的第个月年9月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量内销量与出口量的和）分别为、和（单位：万件），依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：，（其中、为常数），已知万件， 万件， 万件．
（1）求，的值，并写出与满足的关系式；
（2）利用数学归纳法证明销售总量一直小于2万件，并判断总销量是否逐月递增，说明理由．
21．（2023秋•黄浦区校级月考）设数列的通项公式为，数列满足，．
（1）试确定实数的值，使得数列为等差数列；
（2）当数列为等差数列时，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数．
分类标准
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
已知量
首项，末项与项数
首项，公差与项数
求和公式
Sn＝eq \f(na1＋an,2)
Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d
已知量
首项、公比与项数
首项、公比与末项
求和公式
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a11－qn,1－q)q≠1，,na1q＝1))
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a1－anq,1－q)q≠1，,na1q＝1))
知识点一 数列及其有关概念
1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．
2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
思考 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？
答案 不是．顺序不一样．
知识点二 数列的分类
知识点三 函数与数列的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．
知识点四 数列的单调性
知识点五 通项公式
1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
知识点六 数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
知识点七 数列的前n项和Sn与an的关系
1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
知识点八 等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零．
知识点九 等差中项的概念
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b.
知识点十 等差数列的通项公式
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d.
知识点十一 从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，
则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.
知识点十二 等差数列通项公式的变形及推广
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
③d＝eq \f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．
其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．
②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.
③可用来由等差数列任两项求公差．
知识点十三 等差数列的性质
1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
2.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap.
3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列．
4．等差数列{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；
d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．
知识点十四 等差数列的前n项和公式
知识点十五 等差数列前n项和的性质
1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也是等差数列，且公差为eq \f(d,2).
2．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.
3．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(an＋1,an).
4．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(n,n＋1).
知识点十六 等差数列{an}的前n项和公式的函数特征
1．公式Sn＝na1＋eq \f(nn－1d,2)可化成关于n的表达式：Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n.当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝eq \f(d,2)x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．
2．等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，
当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥0，,an＋1≤0))确定；
当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤0，,an＋1≥0))确定．
(2)Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
知识点十七 等比数列的概念
1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．递推公式形式的定义：eq \f(an,an－1)＝q(n∈N*且n>1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或\f(an＋1,an)＝q，n∈N*)).
知识点十八 等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
知识点十九 等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)．
知识点二十 等比数列通项公式的推广和变形
等比数列{an}的公比为q，则
an＝a1qn－1①
＝amqn－m②
＝eq \f(a1,q)·qn.③
其中当②中m＝1时，即化为①.
当③中q>0且q≠1时，y＝eq \f(a1,q)·qx为指数型函数．
知识点二十一 实际应用题常见的数列模型
1．储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和y ＝a(1＋r)n.
2．总产值模型：基数为N，平均增长率为p，期数为n， 则总产值y ＝ N (1 ＋ p)n.
知识点二十二 等比数列的常用性质
设数列{an}为等比数列，则：
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.
(2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．
(3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列．
(4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{aeq \\al(2,n)}都是等比数列，且公比分别是q，eq \f(1,q)，q2.
(5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))也都是等比数列，公比分别为pq和eq \f(p,q).
知识点二十三 等比数列的前n项和公式
知识点二十四 等比数列前n项和的性质
1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．
2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．
3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，eq \f(S偶,S奇)＝q；
②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq \f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq \f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)．
知识点二十五 等比数列前n项和的实际应用
1．解应用问题的核心是建立数学模型．
2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．
3．注意问题是求什么(n，an，Sn)．
注意：
(1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．
(2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确．
(3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．
(4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求．
知识点二十六 数学归纳法
1．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)以当“n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
2．数学归纳法的证明形式
记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：(1) P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．
结论：P(n)为真．
3. 数学归纳法中的两个步骤
在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．只要将这两步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，从而完成证明．
一．数列的概念及简单表示法（共3小题）
1．（2022春•沙依巴克区校级期中）数列2，5，11，20，，47，中的值为
A．28B．32C．33D．27
2．（2023春•普陀区校级期中）已知数列的通项公式是，则是该数列中的第 项．
3．（2023春•闵行区月考）已知，，为整数，集合，中的数从小到大排列，组成数列，如，，
A．515B．896C．1027D．1792
二．数列的函数特性（共2小题）
4．（2023春•上海期中）已知数列，下列说法正确的是
A．有最大项，但没有最小项
B．没有最大项，但有最小项
C．既有最大项，又有最小项
D．既没有最大项，也没有最小项
5．（2023春•宝山区校级期中）给定下列四个命题：
①图像不经过点的幂函数一定不是偶函数；
②若一条直线垂直于平面内的无穷多条直线，则这条直线垂直于这个平面；
③有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱；
④设数列的前项和为，若是递增数列，则数列也是递增数列；
以上命题是真命题的序号是
A．①②B．②③C．③④D．①③
三．等差数列的性质（共7小题）
6．（2024春•宝山区校级月考）与的等差中项为 ．
7．（2023春•黄浦区期末）若是等差数列，则由下列关系确定的数列也一定是等差数列的是
A．B．C．D．
8．（2022春•杨浦区校级期末）若，，成等差数列，则，，一定
A．成等差数列
B．成等比数列
C．既成等差数列也成等比数列
D．既不成等差数列也不成等比数列
9．（2024春•宝山区校级月考）已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是
① ② ③ ④
A．1B．2C．3D．4
10．（2022春•浦东新区校级月考）等差数列前项和，若，则 ．
11．（2023春•嘉定区期末）已知数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等差数列．
12．（2023春•黄浦区期末）已知数列的前项和为．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）求的最大值及取得最大值时的值．
四．等差数列的通项公式（共6小题）
13．（2024春•宝山区校级月考）在等差数列中，若，，则的通项公式为 ．
14．（2024春•杨浦区校级月考）设数列为等差数列，若，，则公差 ．
15．（2023春•南岗区校级期中）已知是等差数列，，，则 ．
16．（2023•松江区校级模拟）已知等差数列，，，则 ．
17．（2023春•黄浦区期末）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，该书中提到：从冬至之日起，小寒、寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长次成等差数列，若立春的日影子长是12.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子为 尺．
18．（2024春•宝山区校级月考）在等差数列中，，．
（1）求的值；
（2）2022是否为数列中的项？若是，则为第几项？
五．等差数列的前n项和（共5小题）
19．（2024春•闵行区校级月考）已知数列是等差数列，若，，则 ．
20．（2024春•宝山区校级月考）等差数列满足，，则 ．
21．（2024春•宝山区校级月考）已知等差数列中，，，则的最大值为 ．
22．（2023秋•浦东新区校级期末）设是等差数列的前项和，若，则 ．
23．（2023秋•宝山区期末）已知等差数列的前项和为，若，则 ．
六．等比数列的性质（共6小题）
24．（2023•闵行区校级开学）等比数列中，，，则 ．
25．（2023春•闵行区校级期中）设等比数列的前项和，为正整数，若，，则 ．
26．（2023春•奉贤区校级期中）已知为等比数列，下列结论中正确的是
A．B．
C．若，则D．若，则
27．（2023春•徐汇区校级月考）下列命题正确的有 个．
（1）若数列为等比数列，为其前项和，则，，，也成等比数列；
（2）数列的通项公式为，则对任意的，，存在，使得；
（3）设为不超过实数的最大整数，例如：，，．设为正整数，数列满足，，记，则为有限集．
A．0B．1C．2D．3
28．（2023春•上海期中）若，，，成等比数列，则下列三个数列：
（1），，，；
（2），，；
（3），，，
必成等比数列的个数为
A．0B．1C．2D．3
29．（2023春•浦东新区期末）“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分又非必要条件
七．等比数列的通项公式（共3小题）
30．（2023春•杨浦区校级月考）等比数列满足：，，则 ．
31．（2023春•普陀区校级期末）已知为等比数列，且，则的公比为 ．
32．（2023春•宝山区期末）某产品经过4次革新后，成本由原来的200元下降到125元．如果这种产品每次革新后成本下降的百分比相同，那么每次革新后成本下降的百分比是 （结果精确到．
八．数列的极限（共4小题）
33．（2023春•闵行区校级期中）无穷等比数列的首项为，公比为，前项和为，且，则首项的取值范围是
A．B．，，C．D．，，
34．（2023春•杨浦区校级期末）已知数列是公比为的无穷等比数列，且，则 ．
35．（2023•嘉定区二模）已知数列的通项公式为前项和为，则 ．
36．（2023春•嘉定区校级期中）无穷等比数列的通项公式，前项的和为，若，则满足条件的的取值的集合为 ．
九．数学归纳法（共2小题）
37．（2023春•上海期中）用数学归纳法证明：为正整数）从到时，等式左边需增加的代数式是
A．B．C．D．
38．（2024春•闵行区校级月考）如果命题对于时成立，那么它对也成立．若对于时成立，则下列结论正确的是
A．对所有正整数成立
B．对所有正偶数成立
C．对所有正奇数成立
D．对所有大于1的正整数成立
一．填空题（共12小题）
1．（2023秋•徐汇区校级期末）已知是离最近的整数，如，，则无穷数列中共有 项的值等于100．
2．（2023秋•海沧区校级期中）在等差数列中，如果前5项的和为，那么等于 ．
3．（2023秋•青浦区校级期中）已知数列是等差数列，，则 ．
4．（2023秋•嘉定区校级期中）已知项数为的等差数列满足，．若，则的最大值是 ．
5．（2023秋•徐汇区校级月考）已知等差数列共有项，各项与公差均不为零，若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数列组成的集合为 ．
6．（2023秋•虹口区校级月考）已知等差数列的前项和满足，那么以下4个结论中正确的有 ．（填所有正确结论的序号
（1）公差
（2）不等式的最小正整数解为13
（3）
（4）满足的的个数为11个
7．（2024春•杨浦区校级月考）等比数列的前项积为，并且满足，，，现给出下列结论：①；②；③是中的最大值；④使成立的最大正整数是2019，其中正确的结论序号是 ．
8．（2023秋•宝山区校级月考）在等比数列中，， ．
9．（2023秋•浦东新区校级月考）定义域为集合，2，3，，上的函数满足：（1）（1）；（2），，2，3，，11；（3）（1）、（6）、成等比数列．这样的不同函数的个数为 ．
10．（2023秋•嘉定区期末）数列满足，且，求 ．
11．（2023秋•嘉定区期末）已知平面上有个点，，，，，，，，且，记的坐标为，，将，，依次顺时针排列，求， ．
12．（2023春•浦东新区校级月考）已知数列、、的通项公式分别为、、，其中，，，，，，令，，，，表示、、三者中的最大值），则对于任意，的最小值为 ．
二．选择题（共4小题）
13．（2023秋•嘉定区期末）已知等差数列，公差为，，则下列命题正确的是
A．函数可能是奇函数
B．若函数是偶函数，则
C．若，则函数是偶函数
D．若，则函数的图象是轴对称图形
14．（2023秋•杨浦区校级期中）定义在区间，， 的函数，如果对于任意给定的非常数等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”，下列函数是“保等比数列函数”的是
A．B．C．D．
15．（2023秋•徐汇区校级期中）已知是公比不为1的等比数列，为其前项和，满足，则下列等式恒成立的是
A．B．
C．D．
16．（2023秋•闵行区校级期末）在无穷等比数列中，，则的取值范围是
A．B．
C．D．，，
三．解答题（共5小题）
17．（2023秋•杨浦区校级期中）已知数列，若对于任意正整数，仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”．
（1）已知，判断数列是否为“回归数列”，并说明理由；
（2）若数列为“回归数列”，且对于任意正整数，均有成立，证明：数列为等差数列．
18．（2023秋•普陀区校级期中）设是等差数列，且，．
（1）求的通项公式；
（2）求．
19．（2023•上海开学）已知点， 满足，，且点的坐标为．
（1）求过点、的直线的方程；
（2）试用数学归纳法证明：对于任意，，点都在（1）中的直线上；
（3）试求数列、的通项公式．
20．（2023春•浦东新区校级期末）某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自2022年9月以来的第个月年9月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量内销量与出口量的和）分别为、和（单位：万件），依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：，（其中、为常数），已知万件， 万件， 万件．
（1）求，的值，并写出与满足的关系式；
（2）利用数学归纳法证明销售总量一直小于2万件，并判断总销量是否逐月递增，说明理由．
21．（2023秋•黄浦区校级月考）设数列的通项公式为，数列满足，．
（1）试确定实数的值，使得数列为等差数列；
（2）当数列为等差数列时，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数．
分类标准
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
已知量
首项，末项与项数
首项，公差与项数
求和公式
Sn＝eq \f(na1＋an,2)
Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d
已知量
首项、公比与项数
首项、公比与末项
求和公式
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a11－qn,1－q)q≠1，,na1q＝1))
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a1－anq,1－q)q≠1，,na1q＝1))
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