2022-2023学年安徽省宣城六中七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省宣城六中七年级（下）期中数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.有下列实数：227，−3.14159， 8，0， 214，，π2，其中无理数的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.下列说法中正确的是( )
A. 4的平方根是2B. 16=±4
C. 1的立方根是±1D. 0的算术平方根是0
3.芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用.经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为( )
A. 2.01×10−8B. 0.201×10−7C. 2.01×10−6D. 20.1×10−5
4.下列运算正确的是( )
A. (−3a2)3=−9a6B. (−a)2⋅a3=a5
C. (2x−y)2=4x2−y2D. a2+4a2=5a4
5.不等式组：2x−4<0x+1≥0的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
6.如图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半弧交数轴于点M，则点M表示的数为( )
A. 2B. 5−1C. 10−1D. 2 3
7.长方形的面积是12a3−6ab+3a3，一边长是3a，则它的邻边长是( )
A. 4a2−2b+a2B. 2b−4a+a2C. a2+4a−2bD. 4a2−2b+a
8.某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打几折？如果将该商品打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是( )
A. 120x≥80×5%B. 120x−80≥80×5%
C. 120×x10≥80×5%D. 120×x10−80≥80×5%
9.若(x+2y)(2x−my−1)的结果中不含xy项，则m的值为( )
A. 4B. −4C. 2D. −2
10.已知关于x的不等式3x−a≥1只有两个负整数解，则a的取值范围是( )
A. −10二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.不等式2x−4≥0的解集是______．
12.364的平方根是______．
13.若x2−2(m−1)x+4是一个完全平方式，则m=______．
14.定义：对于实数a，符号[a]表示不大于的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5，[−π]=−4.如果[x+12]=3，则满足条件的所有正整数x的和为______．
三、解答题：本题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
计算：(−1)2022+(3.14−π)0−(−12)−2．
16.(本小题5分)
计算：[(2x+y)(x−y)+y2]⋅(2x)2．
17.(本小题6分)
解不等式组5x−2≤3xx−3318.(本小题8分)
已知a+3和2a−15是某正数的两个平方根，b的立方根是−2，c算术平方根是其本身，求2a+b−3c的值．
19.(本小题8分)
先化简，再求值：[(3x−2y)(3x+y)−3(x−y)(x+y)−(−y+2x)2]÷x，其中x=1，y=2．
20.(本小题8分)
两个边长分别为a和b的正方形如图放置(如图①)，其未叠合部分(阴影)面积为S1；若在图①中大正方形的右下角再摆放一个边长为b的小正方形(如图②)，两个小正方形叠合部分(阴影)面积为S2．

(1)用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
(2)图③也是由两个边长分别为a和b的正方形放置构成.用a、b的代数式表示图③中阴影部分的面积S3；并当S1+S2=32时，求S3的值．
21.(本小题8分)
我市某中学计划购进若干个甲种规格的排球和乙种规格的足球．如果购买20个甲种规格的排球和15个乙种规格的足球，一共需要花费2050元；如果购买10个甲种规格的排球和20个乙种规格的足球，一共需要花费1900元．
(1)求每个甲种规格的排球和每个乙种规格的足球的价格分别是多少元？
(2)如果学校要购买甲种规格的排球和乙种规格的足球共50个，并且预算总费用不超过3210元，那么该学校至多能购买多少个乙种规格的足球？
22.(本小题10分)
配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的整体或某一部分通过恒等变形，化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.我们定义：一个正整数能表示成a2+b2(a、b是正整数)的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为5=22+12，所以5是“完美数”．
【解决问题】：
(1)已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2(a、b是正整数)的形式：29= ______；
(2)已知x2+y2−2x+4y+5=0，求x+y的值；
【探究问题】：
(3)已知S=x2+4y2+4x−12y+k(x是正整数，y是大于1的正整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件k的值，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据无理数的定义，无理数有： 8，π2，
故选：B．
根据无理数的定义进行解答即可，无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数而无限不循环小数是无理数．
此题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，含π的数，有规律但是不循环的数．
2.【答案】D
【解析】解：A.4的平方根是±2，故此选项不合题意；
B. 16=4，故此选项不合题意；
C.1的立方根是1，故此选项不合题意；
D.0的算术平方根是0，故此选项符合题意．
故选：D．
直接利用平方根以及算术平方根、立方根的定义计算得出答案．
此题主要考查了平方根以及算术平方根、立方根的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：0.00000201=2.01×10−6．
故选：C．
绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与绝对值较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】B
【解析】解：选项A：(−3a2)3=−27a6，所以不符合题意；
选项B：(−a)2⋅a3=a2⋅a3=a5，所以符合题意；
选项C：(2x−y)2=4x2−4xy+y2，所以不符合题意；
选项D：a2+4a2=5a2，所以不符合题意；
故选：B．
A、根据积的乘方的进行计算即可判断；
B、先计算乘方，再根据同底数幂的乘法计算即可判断；
C、根据完全平方公式进行计算即可判断；
D、根据合并同类项法则进行计算即可确定答案．
本题考查了完全平方公式、合并同类项以及幂的乘方、积的乘方等知识，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：解不等式组得x<2x≥−1，
即−1≤x<2，
表示在数轴上，如图：
故选：B．
先解不等式组中的每一个不等式，得出不等式组的解集，再表示在数轴上，即可．
本题考查一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
6.【答案】C
【解析】解：在长方形ABCD中，AB=3，AD=1，
∴CD=AB=3，
∴AC= CD2+AD2= 32+12= 10，
∵以点A为圆心，AC的长为半弧交数轴于点M，
∴AM=AC= 10，
又∵点A表示的数是−1，
∴点M表示的数是 10−1，
故选：C．
根据勾股定理求出AC的长，再根据以点A为圆心，AC的长为半弧交数轴于点M，得出AM=AC= 10，即可得出结果．
本题考查了勾股定理，长方形的性质，实数与数轴，根据勾股定理求出AC的长是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由题意，得(12a3−6ab+3a3)÷3a=4a2−2b+a2，
∴它的另一边是4a2−2b+a2，
故选：A．
根据长方形的面积计算，则另一边为(12a3−6ab+3a3)÷3a，进行求解即可．
本题考查了整式的除法运算，正确计算是解决问题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：设该商品打x折销售，根据题意可得：
120×x10−80≥80×5%．
故选：D．
直接利用打折与利润的计算方法得出不等关系进而得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键．
9.【答案】A
【解析】解：(x+2y)(2x−my−1)
=2x2−mxy−x+4xy−2my2−2y
=2x2−(m−4)xy−2my2--x−2y
由题意得m−4=0，
解得m=4，
故选：A．
运用多项式乘多项式的计算方法进行求解．
此题考查了多项式乘多项式的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识．
10.【答案】B
【解析】解：∵3x−a≥1，
∴x≥a+13，
∵不等式只有2个负整数解，
∴不等式的负整数解为−1和−2，
则−3解得：−10故选：B．
先解不等式得出x≥a+13，根据不等式只有2个负整数解知其负整数解为−1和−2，据此得出−3本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出某一字母的不等式组．
11.【答案】x≥2
【解析】解：移项得，2x≥4，
x的系数化为1得，x≥2．
故答案为：x≥2．
先移项，再把x的系数化为1即可．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
12.【答案】±2
【解析】解：364=4，4的平方根为±2，
故答案为：±2．
原式利用立方根定义及平方根定义计算即可得到结果．
此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
13.【答案】3或−1
【解析】解：∵x2−2(m−1)x+4是一个完全平方式，
∴−2(m−1)x=±2⋅x⋅2，
解得：m=3或−1．
故答案为：3或−1．
根据完全平方公式得出2(m−1)x=±2⋅x⋅2，求出m即可．
本题考查了完全平方公式的应用，能熟记公式的特点是解此题的关键．
14.【答案】11
【解析】解：根据题意知x+12<4x+12≥3，
解不等式x+12<4，得：x<7，
x+12≥3，得：x≥5，
∴5≤x<7，
∴满足条件的所有正整数x的和为5+6=11，
故答案为：11．
先根据新定义列出不等式组x+12<4x+12≥3，再分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15.【答案】解：(−1)2022+(3.14−π)0−(−12)−2
=1+1−4
=−2．
【解析】根据有理数的乘方，零指数幂的运算，负整数指数幂的运算法则计算即可．
本题考查了有理数的乘方，零指数幂的运算，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
16.【答案】解：[(2x+y)(x−y)+y2]×(2x)2
=(2x2−2xy+xy−y2+y2)×4x2
=(2x2−xy)×4x2
=8x4−4x3y.
【解析】先对括号内的整式乘法进行计算，括号外利用积的乘方进行计算，再将括号内的各项合并同类项，最后和括号外的单项式相乘即可．
本题考查整式乘法的混合运算，积的乘方，多项式乘多项式等，掌握相关的运算法则和运算顺序是解题的关键．
17.【答案】解：由5x−2≤3x，得：x≤1，
由x−33−3，
则不等式组的解集为−3将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：∵某正数的两个平方根分别是a+3和2a−15，b的立方根是−2.c算术平方根是其本身
∴a+3+2a−15=0，b=−8，c=0或1，
解得a=4．
当a=4，b=−8，c=0，2a+b−3c=8−8−0=0；
当a=4，b=−8，c=1，2a+b−3c=8−8−3=−3．
【解析】先依据平方根的性质列出关于a的方程，从而可求得a的值，然后依据立方根的定义求得b的值，根据算术平方根得出c，最后，再进行计算即可．
本题主要考查的是平方根、立方根、算术平方根的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
19.【答案】解：原式=(9x2−2y2−3xy−3x2+3y2−4x2+4xy−y2)÷x
=(2x2+xy)÷x
=2x+y，
当x=1，y=2时，原式=2×1+2=4．
【解析】利用完全平方公式和平方差公式先计算括号内的，再按照多项式除以单项式的法则进行计算，最后再代入求值即可．
此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)由图可得，S1=a2−b2，
S2=a(a−b)+2b2−a2=2b2−ab；
(2)S3=a2+b2−12b(a+b)−12a2=12(a2+b2−ab)，
∵S1+S2=a2+b2−ab=32，
∴S3=12×32=16．
【解析】(1)根据拼图可用a、b的代数式表示S1，S2；
(2)可知当S1+S2=32时，就是a2+b2−ab=32，再利用a、b的代数式表示S3，变形后再整体代入计算即可求出答案．
本题考查了列代数式，整式的混合运算，三角形、正方形的面积，解题的关键是用a、b的代数式表示S1，S2，S3．
21.【答案】解：(1)设每个甲种规格的排球的价格为x元，每个乙种规格的足球的价格为y元，
依题意，得：20x+15y=205010x+20y=1900，
解得：x=50y=70．
答：每个甲种规格的排球的价格为50元，每个乙种规格的足球的价格为70元．
(2)设学校购买m个乙种规格的足球，则购买(50−m)个甲种规格的排球，
依题意，得：50(50−m)+70m≤3210，
解得：m≤3512．
又∵m为整数，
∴m的最大值为35．
答：该学校至多能购买35个乙种规格的足球．
【解析】(1)设每个甲种规格的排球的价格为x元，每个乙种规格的足球的价格为y元，根据“如果购买20个甲种规格的排球和15个乙种规格的足球，一共需要花费2050元；如果购买10个甲种规格的排球和20个乙种规格的足球，一共需要花费1900元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设学校购买m个乙种规格的足球，则购买(50−m)个甲种规格的排球，根据总价=单价×数量结合预算总费用不超过3210元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】22+52
【解析】解：(1)根据题意得
29=22+52，
故答案为：22+52；
(2)由题意得
(x2−2x+1)+(y2+4y+4)=0，
即(x−1)2+(y+2)2=0，
∵(x−1)2=0，(y+2)2=0，
∴x−1=0，y+2=0，
解得：x=1，y=−2，
则x+y=1−2=−1；
(3)当k=13时，S为“完美数”，理由如下：
S=x2+4y2+4x−12y+13+k−13
=(x2+4x+4)+(4y2−12y+9)+k−13
=(x+2)2+(2y−3)2+k−13，
∵S为“完美数”，
∴k−13=0，
解得：k=13，
∵x是正整数，y是大于1的正整数，
∴x+2，2y−3也是正整数，
∴S是一个“完美数”．
(1)根据“完美数”的定义，即可求解；
(2)可化为(x2−2x+1)+(y2+4y+4)=0，可得x−1=0，y+2=0，即可求解；
(3)可化为S=(x+2)2+(2y−3)2+k−13，根据“完美数”的定义，可得k−13=0，即可求解．
本题考查了新定义，配方法，理解新定义，掌握配方法是解题的关键．