2023-2024学年湖南省衡阳市衡阳县五校联考九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省衡阳市衡阳县五校联考九年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共32.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若，则点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.计算：的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.如图，在甲、乙两个大小不同的的正方形网格中，正方形，分别在两个网格上，且各顶点均在网格线的交点上．若正方形，的面积相等，甲、乙两个正方形网格的面积分别记为，，有如下三个结论：
正方形的面积等于的一半；
正方形的面积等于的一半；
：：．
上述结论中，所有正确结论的序号是(    )


 

A.  B.  C.  D.

4.如图，在中，，、分别为、的中点，平分，交于点，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

5.已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.已知，则的化简结果是(    )

A.  B.  C.  D.

7.已知，在平面直角坐标系中点、的坐标分别为，点、分别为轴、轴上的两个动点动点从点出发以秒个单位的速度沿到点，再以秒个单位的速度从点运动到点后停止则点运动花费的时间最短为秒．(    )

A.  B.  C.  D.

8.实数，，满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

9.我们规定运算符号的意义是：当时，；当时，，其它运算符号意义不变按上述规定，计算结果为______ ．

10.已知和关于轴对称，则的值为______．

11.设，是一元二次方程的两个根，则 ______ ．

12.如图中，、为的三等分点，为的中点，与、分别交于、，则：： ______ ．

13.将函数的图象上每个点的横、纵坐标都乘以，所得的新函数记作，我们称与互为位似函数则函数的位似函数是______ ．

14.如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是______．

15.如图，在正方形中，点是上一动点不与、重合，对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交、于点、下列结论：≌；；；∽；点在、两点的连线上其中正确的是______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分
已知，．
求的值；
设是小数部分，是整数部分，求代数式的值．

17.本小题分
接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径现有甲、乙两个社区疫苗接种点，已知甲社区接种点平均每天接种疫苗的人数是乙社区接种点平均每天接种疫苗的人数的倍，且甲社区接种点完成人的疫苗接种所需的时间比乙社区接种点完成人的疫苗接种所需的时间少天．
求甲、乙两个社区疫苗接种点平均每天接种疫苗的人数；
一段时间后，乙社区疫苗接种点加大了宣传力度该接种点平均每天接种疫苗的人数比原来平均每天接种疫苗的人数增加了，受乙社区疫苗接种点宣传的影响，甲社区疫苗接种点平均每天接种疫苗的人数比原来平均每天接种疫苗的人数减少了人，但不低于人，这样乙社区接种点天接种疫苗的人数比甲社区接种点天接种疫苗的人数多人，求的值．

18.本小题分
阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题

化简：．
解：隐含条件，解得：．
．
原式．
【启发应用】
按照上面的解法，试化简．
【类比迁移】
实数，在数轴上的位置如图所示，化简：．
已知，，为的三边长化简：．

19.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，，，过作轴，且满足．

求三角形的面积．
若过作交轴于，且，分别平分，，如图，求的度数．
在轴上是否存在点，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

20.本小题分
阅读材料，根据上述材料解决以下问题：
材料：若一元二次方程的两个根为，，则，．
材料：已知实数，满足，，且，求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料得，，所以．
材料理解：一元二次方程两个根为，，则：        ，        ．
类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．
思维拓展：已知实数、分别满足，，且求的值．

21.本小题分
如图，在正方形中，边长为，，将绕点旋转，其中边分别与射线、直线交于、两点，边与射线交于点；连接，且与直线交于点．
如图，点在线段上时，求证：；求证：垂直平分；
当时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得：
且，
解得：且，
，
，
点在第四象限，
故选：．
根据二次根式可得且，从而可得，进而可得，然后根据平面直角坐标系中点的坐标特征，即可解答．
本题考查了二次根式有意义的条件，点的坐标，熟练掌握二次根式是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：原式


．
故选：．
前面的括号内提取之后，再按平方差公式计算，最后根据二次根式的运算求解即可．
本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式的运用．

3.【答案】 

【解析】解：，
正方形网格的面积为：，
，
故结论错误；
，
正方形网格的面积为：，
，
故结论正确；
由得：，则，
由得：，则，
，
正方形，的面积相等，
，
故结论正确．
故选：．
分别求出正方形的面积及正方形网格的面积，再进行比较即可；
分别求出正方形的面积及正方形网格的面积，再进行比较即可；
结合进行求解即可．
本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是根据所给的图形表示出相应的图形的面积．

4.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
、分别为、的中点，
是的中位线，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故选：．
根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，得到，于是得到结论．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的两根分别为，，
方程中或，
解得：或，
即方程的两根分别为和，
故选：．
本题考查了一元二次方程的解的意义，将看成整体根据已知方程的解得出或是解此题的关键．根据已知方程的解得出或，然后解这两个一元一次方程即可求出的值．

6.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
，
，
．
原式


．
故选：．
先判断字母的范围，再化简．
本题考查二次根式的化简，保证每个二次根式有意义是求解本题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：如图，
作点关于轴的对称点，
过点作轴的垂线，在此垂线上取一点使，
，
连接，，，交轴于，
当点，，在同一条线上时，最小，最小值为，
在中，，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，，
，
点，
的解析式为，
当时，则，
，
，，
点运动花费的时间最短为
故选：．
先确定出当，，，在同一条直线上时，点运动时路程最短，最短为，再利用直角三角形的性质进行计算即可得出结论．
此题考查坐标与图形，关键是根据两点之间距离公式解答．

8.【答案】 

【解析】解：设一元二次方程为
当时，原方程化为
所以一元二次方程为有实数根，
所以．
故选：．
根据根的判别式，一元二次方程有实数根时，．
本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是用特殊值法．

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
根据给出的法则进行计算，一定要先比较两个数的大小．
本题是一个新定义的题目，考查了二次根式的混合运算，注，解题的关键是比较两个数的大小．

10.【答案】 

【解析】解：和关于轴对称，
，，
解得，，
则．
故答案为：．
直接利用关于轴对称点的性质横坐标不变，纵坐标互为相反数得出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的坐标，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．

11.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两个根，
，，
．
故答案为：．
由，是一元二次方程的两个根，得出，，再把变形为，即可求出答案．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

12.【答案】：： 

【解析】解：过点作，交，分别于，，
是的中点，
，
、是的三等分点，
，
，
，，
，，
设，，，
，
：：：：：：．
故答案为：：：．
首先过点作，交，分别于，，由是的中点与、是的三等分点，根据平行线分线段成比例定理，即可求得，然后根据比例的性质，即可求得：：的值．
此题考查了平行线分线段成比例定理与比例的性质．此题难度适中，解题的关键是注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

13.【答案】 

【解析】解：将函数的图象上每个点的横、纵坐标都乘以，所得的新函数记作，我们称与互为位似函数，
函数的位似函数是：，即．
故答案为：．
根据“位似函数”函数的定义作答．
本题主要考查了位似变换，解题的关键是掌握“位似函数”的定义，由此推知其运算法则．

14.【答案】 

【解析】解：由题意，得：，；
设的两根分别是、；则，；
；
根据三角形三边关系定理，得：
，即；
，解得．
根据原方程可得出：，；根据根与系数的关系，可求出方程的和的表达式，然后根据三角形三边关系定理求出的取值范围．
此题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系以及三角形三边关系定理．

15.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
故正确；
≌，
，
同理，，
正方形中，，
又，，
，且中
四边形是矩形．
，
在中，，，
为等腰直角三角形，
，
，
又，，，
，
故正确；
四边形是矩形，
，
在直角中，，
，
故正确；
≌，

是等腰直角三角形，而不一定是，
与不一定相似，
故错误；
≌，
，
是是中垂线，
，
又，
，
同理可证，
，
，
点，点，点三点共线，
故正确，
故答案为．
根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得，然后利用“角边角”证明和全等；
根据全等三角形对应边相等可得，同理，，证出四边形是矩形，得出，证得为等腰直角三角形，得出，，即可得到；
根据矩形的性质可得，再利用勾股定理即可得到；
判断出不一定等腰直角三角形，是等腰直角三角形，从而确定出两三角形不一定相似；
由线段垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，同理可证，即可证点，点，点三点共线．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定，勾股定理的综合应用，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟记各性质并准确识图是解决问题的关键．

16.【答案】解：，．
，
，
，，
，，
． 

【解析】将、的值代入计算即可；
求出、的值再代入求值．
本题考查无理数的估算，正确地求出、的值是正确解答的关键．

17.【答案】解：设乙社区疫苗接种点平均每天接种人，则甲社区疫苗接种点平均每天接种人，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲社区疫苗接种点平均每天接种人，乙社区疫苗接种点平均每天接种人；
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
，
，
不符合题意舍去，
答：的值为． 

【解析】设乙社区疫苗接种点平均每天接种人，则甲社区疫苗接种点平均每天接种人，根据题意：甲社区接种点完成人的疫苗接种所需的时间比乙社区接种点完成人的疫苗接种所需的时间少天．即可列出关于的分式方程，解分式方程即可，注意检验；
根据题意：乙社区接种点天接种疫苗的人数比甲社区接种点天接种疫苗的人数多人，列出关于的一元二次方程，解方程，即可解决问题．
本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出一元二次方程．

18.【答案】解：隐含条件，解得：，
，
原式；
观察数轴得隐含条件：，，，
，，
原式；
由三角形的三边关系可得隐含条件：，，，，
，，，
原式

． 

【解析】根据二次根式有意义的条件判断出的范围，再根据二次根式的性质化简可得；
由，在数轴上的位置判断出、，再利用二次根式的性质化简即可得；
由三角形的三边关系得出，，，再利用二次根式的性质化简可得．
本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质及三角形的三边关系等知识点．

19.【答案】解：，，
，，
，，

，，
三角形的面积；
轴，，
，
，
过作，
，
，
，分别平分，，
，，
；
存在．理由如下：
设点坐标为，直线的解析式为，
把、代入得，
解得，
直线的解析式为，
点坐标为，
，解得或，
点坐标为或． 

【解析】根据非负数的性质得到，，解得，，则，，，即可计算出三角形的面积；
由于轴，，则，即，过作，则，然后利用角平分线的定义可得到，，所以；
先根据待定系数法确定直线的解析式为，则点坐标为，然后利用进行计算．
本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．也考查了非负数的性质．

20.【答案】   

【解析】解：，．
故答案为；．
，，且，
、可看作方程，
，，



．
把，两边同时除以得：
，
则实数和可看作方程的根，
，，




．
直接根据根与系数的关系可得答案；
由题意得出、可看作方程，据此知，，将其代入计算可得；
把两边同时除以，，据此可得实数和可看作方程的两根，进一步代入计算可得．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及．

21.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
．
，
，，
，
，
，，
∽，
，
，，
∽，
，
，
，，
，
垂直平分线段．
解：


当点在线段上时，作于，于．
在中，，
，
，设，
，
，
，，，
∽，
，
．
 

当点在的延长线上时，作于，于．
在中，，
，
，设，
，
，
，，，
∽，
，
．
综上所述，的长为或．

【解析】只要证明即可解决问题；
利用相似三角形的性质证明即可解决问题；
当点在线段上时，作于，于由∽，可知，想办法求出，，即可解决问题；当点在的延长线上时，作于，于，方法类似．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题，属于中考常考题型．