湖南省长沙市浏阳市2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份湖南省长沙市浏阳市2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，八年级抽取成绩的平均数等内容，欢迎下载使用。

1．下列实数中绝对值最小的是（ ）
A．2B．C．0D．
2．如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．方程x（x+2）＝0的根是（ ）
A．x＝2B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣2D．x1＝0，x2＝2
5．已知，将一块直角三角板如图放置，使直角顶点位于直线和之间，若，则（ ）
A．B．C． D．
6．如图，直线y1=mx经过P（2，1）和Q（-4，-2）两点，且与直线y2=kx+b交于点P，则不等式kx+b＞mx的解集为（ ）

A．x＞2B．x＜2C．x＞-4D．x＜-4
7．如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（ ）

A．B．C．D．
8．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．15B．12πC．15πD．30π
9．我国古代著作《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之，”题意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，设快马天可以追上慢马，可列方程是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在直角坐标系中，以点O为圆心，半径为4的圆与y轴交于点B，点A（8，4）是圆外一点，直线AC与⊙O切于点C，与x轴交于点D，则点C的坐标为（ ）
A．（，）B．（，）
C．（，）D．（，-2）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解：a2﹣16b2＝ ．
12．计算： ．
13．低空经济作为战略性新兴产业，中商产业研究院分析师预测，2024年市场规模将达5035亿元．请将5035亿元用科学记数法表示为 元．
14．以下命题：（1）如果，那么（2）等弧所对的圆周角相等（3）对应角相等的两个四边形是相似四边形（4）方程有两个不相等的实数根（5）一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形．真命题共有 个．
15．“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度（米）与水平距离（米）接近于抛物线，烟花可以达到的最大高度是 米．
16．如图：在平面直角坐标系中，的顶点，，对角线与相交于点，函数经过点，则 ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算： .
18．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，在中，，是通过如图的作图痕迹作图而得，，交于点．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
21．某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
a：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．（数据分成5组，，，，，）
b：七年级抽取成绩在7这一组的是：70，72，73，73，75，75，75，76，77，77，78，78，79，79，79，79．
c：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：
请结合以上信息完成下列问题：
(1)七年级抽取成绩在的人数是_______，并补全频数分布直方图；
(2)表中m的值为______；
(3)七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，则______（填“甲”或“乙”）的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；
(4)七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数．
22．为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．
（1）求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；
（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30幅，且支出不超过1480元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？
23．张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸：
①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平．
②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．
③可得到．老师请同学们讨论说明理由．
三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证．
(1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率．
(2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由．
24．如图，锐角内接于，，射线经过圆心并交于点，连接，，与的延长线交于点．
(1)求证：平分．
(2)若，的半径为，求的长．
(3)若，半径为4，直接写出阴影部分的面积．
25．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
(3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题主要考查了绝对值、实数比较大小等知识，熟练掌握实数比较大小的方法是解题关键．首先确定各数的绝对值，比较大小即可获得答案．
【解答】解：∵，，，，
又∵，
∴绝对值最小的是0．
故选：C．
2．D
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看第一列是一个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列是两个小正方形，
故选:D．
【点拨】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
3．D
【分析】根据二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘以单项式逐项分析判断即可求解．
【解答】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D.
【点拨】本题考查了二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘以单项式，正确地计算是解题的关键．
4．C
【分析】本题可根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
【解答】解：x（x+2）＝0，
∴x＝0或x+2＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣2．
故选：C．
【点拨】此题考查解一元二次方程，正确掌握解方程的方法及能依据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键．
5．A
【分析】设直角三角板的三个顶点分别为E，G，H，过点E作，可得，根据平行线的性质可得，即可求解．
【解答】解：如图，设直角三角板的三个顶点分别为E，G，H，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A
【点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
6．B
【分析】从图象确定kx+b＞mx时，x的取值范围即可．
【解答】解：从图象可以看出，当x＜2时，kx+b＞mx，
故选B．
【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键．
7．A
【分析】如图，，则；由等边三角形，得，，解，得．
【解答】如图，，则，
∵是等边三角形，O是中点
∴，
中，
故选A．
【点拨】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、解直角三角形；根据图形性质识别直角三角形，进而运用解直角三角形知识是解题的关键．
8．C
【分析】求出底面周长，即为侧面展开图的弧长，利用扇形面积公式即可求解．
【解答】解：圆锥侧面积为，
故选：C．
【点拨】本题考查求圆锥侧面积，掌握扇形面积公式是解题的关键．
9．D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设快马天可以追上慢马，根据“天快马行走路程天慢马行走路程慢马先走12天行走路程”，列出方程即可．
【解答】解：设快马天可以追上慢马，可列方程为．
故选：D．
10．C
【解答】解：作 AE⊥x 轴于 E，CH⊥x 轴于 H，连接 OC，如图，
∵B（0，4），A（8，4），
∴AB＝8，AE＝OB＝4，AB⊥y 轴，
∴AB 为⊙O 的切线，
∵直线 AC 与⊙O 切于点 C，
∴OC⊥AC，AC＝AB＝8，
在△OCD 和△AED 中
，
∴△OCD≌△AED，
∴OD＝AD，
设 OD＝x，则 AD＝x，DE＝8﹣x，
在 Rt△ADE 中，（8﹣x）2+42＝x2，解得 x＝5，
∴OD＝5，DE＝CD＝3，
∵ CH•OD＝OC•CD，
∴CH＝＝，
在 Rt△OCH 中，OH＝=，
∴C 点坐标为（，）．
故选C．
【点拨】本题考查切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了坐标与图形性质．
11．（a+4b）（a-4b）
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=（a+4b）（a-4b）．
故答案为：（a+4b）（a-4b）．
【点拨】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
12．
【分析】本题主要考查了整式运算，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．首先根据单项式乘多项式法则、平方差公式进行运算，然后合并同类项即可．
【解答】解：
．
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键要正确确定的值以及的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此即可获得答案．
【解答】解：5035亿．
故答案为：．
14．3
【分析】本题主要考查了判断命题真假，熟练掌握相关知识是解题关键．根据平方根的性质、圆周角定理、相似多边形的判定条件、一元二次方程的根的判别式、菱形的判定条件，逐一分析判断即可．
【解答】解：（1）如果，那么或，故原命题是假命题；
（2））等弧所对的圆周角相等，是真命题；
（3）对应角相等，且对应边成比例的两个四边形是相似四边形，故原命题是假命题；
（4）对于方程，因为，所以该方程有两个不相等的实数根，该命题是真命题；
（5）一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，该命题是真命题．
综上所述，真命题共有3个．
故答案为：3．
15．12
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．将原抛物线解析式化为顶点式，结合二次函数的图像与性质即可获得答案．
【解答】解：∵，
又∵，
∴当（米）时，烟花可以达到的最大高度，最大高度为12米．
故答案为：12．
16．4.5
【分析】本题主要考查了待定系数法则求反比例函数解析式、平行四边形的性质、坐标与图形等知识，确定点的坐标是解题关键．根据平行四边形“对角线相互平分”的性质可得，进而可得，将点的坐标代入反比例函数解析式并求解即可．
【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∵函数经过点，
即有，解得．
故答案为：4.5．
17．
【分析】将二次根式化为最简二次根式，再用幂的运算公式及特殊角的三角函数值进行计算即可．
【解答】解：原式
.
【点拨】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则及特殊角的三角函数值是解题的关键．
18．，见解答
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤是解题关键．分别解两个不等式，然后按照“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集，然后将其表示在数轴上即可．
【解答】解：，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴该不等式的解集为 ，
将解集在数轴上表示出来如下图：
19．，．
【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的混合运算法则计算即可．
【解答】
，
当时，原式．
20．(1)见解答
(2)
【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）由作图可知，为的平分线，易得，再根据“两直线平行，内错角相等”可得，进而可得，即可证明结论；
（2）首先证明，结合为的平分线，易得，再根据可得，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【解答】（1）证明：由作图可知，为的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．(1)38，理由见解析
(2)77
(3)甲
(4)七年级竞赛成绩90分及以上人数约为64人
【分析】（1）根据题意及频数分布直方图即可得出结果；
（2）根据中位数的计算方法求解即可；
（3）由七八年级中位数与甲乙学生成绩的比较即可得出结果；
（4）用总人数乘以七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数占总的人数的比例求解即可．
【解答】（1）解：由题意可得：70≤x<80这组的数据有16人，
∴七年级抽取成绩在60≤x<90的人数是：12+16+10=38人，
故答案为：38；补全频数分布直方图如图所示；

（2）解：∵4+12=16<25，4+12+16>25，
∴七年级中位数在70≤x<80这组数据中，
∴第25、26的数据分别为77，77，
∴m=，
故答案为：77；
（3）解：∵七年级学生的中位数为77<78，八年级学生的中位数为79>78，
∴甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前，
故答案为：甲；
（4）解：（人）
答：七年级竞赛成绩90分及以上人数约为64人．
【点拨】题目主要考查统计的相关应用，包括频数分布直方图及用部分估计总体、中位数的求法等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
22．（1）购买一副乒乓球拍28元，一副羽毛球拍60元；（2）这所中学最多可购买20副羽毛球拍．
【分析】（1）设购买一副乒乓球拍x元，一副羽毛球拍y元，由购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元，购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元，可得出方程组，解出即可．
（2）设可购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍（30﹣a）副，根据购买足球和篮球的总费用不超过1480元建立不等式，求出其解即可．
【解答】（1）设购买一副乒乓球拍x元，一副羽毛球拍y元，
由题意得，，
解得：．
答：购买一副乒乓球拍28元，一副羽毛球拍60元．
（2）设可购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍（30﹣a）副，
由题意得，60a+28（30﹣a）≤1480，
解得：a≤20，
答：这所中学最多可购买20副羽毛球拍．
考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
23．(1)
(2)选择小彤的方法说明，理由见解答
【分析】（1）用表示三种解题方法，根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案；
（2）连接，由折叠的性质可得，，，，，由垂直平分线的性质可得，即可证明为等边三角形，得到，由矩形的性质可得，可求出，即可证明结论．
【解答】（1）解：用表示三种解题方法，根据题意，作出树状图如下，
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小峰选择同一种方法的结果有3种，
∴小明和小峰选择同一种方法的概率为；
（2）选择小彤的方法说明，理由如下：
连接，如下图，
由折叠的性质可得，，，，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了列举法求概率、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识，解题关键是结合折叠的性质和垂直平分线的性质证明为等边三角形．
24．(1)见解答
(2)6
(3)
【分析】（1）首先根据圆内接四边形的性质证明，再证明，
易得，即可证明结论；
（2）首先根据三角形函数定义以及“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，易得，在中，由勾股定理解得，，，证明，由相似三角形的性质解得，然后由求解即可；
（3）连接，过点作于点，证明，进而可证明为等边三角形，然后由求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形为的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分；
（2）∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵的半径为，
∴，
∴在中，，
解得，
∴，
由 （1）可知，，，
∴，
∴，即，
解得，
∴；
（3）如下图，连接，过点作于点，
∵是的直径，，
∴，即，
∴
由（1）可知，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，半径为4，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、等边三角形的判定与性质、扇形面积计算等知识，综合性强，难度较大，综合运用相关知识是解题关键．
25．(1)
(2)存在，或（3，4）
(3)存在，
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解；
（3）由已知条件可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据，根据二次函数的性质即可求的最大值．
【解答】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以抛物线的解析式为．
（2）设直线AB的解析式为，
将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以直线AB的解析式为．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．
过点B作BE⊥PM，垂足为E．
所以
．
因为A（4，0），B（1，4），所以．
因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，
所以，．
设，则．
所以，
即，
解得，．
所以点P的坐标为或（3，4）．
（3）
记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点
，
，
设
直线AB的解析式为．
设，则
整理得
时，取得最大值，最大值为
【点拨】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键．
年级
平均数
中位数
七年级
76.5
m
八年级
78.2
79