中考数学二轮复习核心专题复习攻略（讲+练）专题10 锐角三角函数及其运用（2份打包，原卷版+解析版）

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考点一 锐角三角函数
锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
正弦：sinA= SKIPIF 1 < 0 ；
余弦：csA= SKIPIF 1 < 0 ；
正切：tanA= SKIPIF 1 < 0 ．
【注意】根据定义求三角函数值时，一定要根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
【例1】如图，在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=2，则sinA的值为（ ）
A．B．C．D．
考点二 特殊角的三角函数值
【例2】的值为（ ）
A．B．C．D．1
考点三 解直角三角形
1．在直角三角形中，求直角三角形所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的常用关系：
在Rt△ABC中，∠C=90°，则：
（1）三边关系：a2+b2=c2；
（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；
（3）边与角关系：sinA=csB= SKIPIF 1 < 0 ，csA=sinB= SKIPIF 1 < 0 ，tanA= SKIPIF 1 < 0 ；
（4）sin2A+cs2A=1．
3．科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；
已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；
已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；
已知直边求斜边，用除还需正余弦.
【例3】如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 长为6米，坡角 SKIPIF 1 < 0 为45°， SKIPIF 1 < 0 的坡角 SKIPIF 1 < 0 为30°，则 SKIPIF 1 < 0 的长为 ________ 米 （结果保留根号）

【例4】如图，大海中有 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线 SKIPIF 1 < 0 上点 SKIPIF 1 < 0 处测得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；在点 SKIPIF 1 < 0 处测得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
⑴ 判断 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并说明理由
⑵ 求两个岛屿 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间的距离（结果精确到 SKIPIF 1 < 0 ）．（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）







考点四 锐角三角函数的应用
1．仰角和俯角：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
2．坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i= SKIPIF 1 < 0 ．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．
坡度越大，α角越大，坡面越陡．
3．方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．
4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：

5．解直角三角形实际应用的一般步骤
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
6.解直角三角形应用题应注意的问题：
（1） 分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；
（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；
（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；
（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．
【例5】如图，一名滑雪爱好者先从山脚下A处沿登山步道走到点B处，再沿索道乘坐缆车到达顶部C．已知在点A处观测点C，得仰角为35°，且A，B的水平距离AE＝1000米，索道BC的坡度i＝1：1，长度为2600米，求山的高度（即点C到AE的距离）（参考数据：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.41，结果保留整数）

【例6】如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处．
（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）
（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔150海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为60海里，进入这个区域，就有触礁的危险．请判断海轮到达B处是否有触礁的危险？如果海伦从B处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
第一部分 选择题
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）
1. 比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点 SKIPIF 1 < 0 ，塔身中心线 SKIPIF 1 < 0 与垂直中心线 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 向垂直中心线 SKIPIF 1 < 0 引垂线，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ．通过测量可得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的长度，利用测量所得的数据计算 SKIPIF 1 < 0 的三角函数值，进而可求 SKIPIF 1 < 0 的大小．下列关系式正确的是（ ）

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）

A．c＝bsinB B．b＝csinBC．a＝btanB D．b＝ctanB
已知α是锐角，sinα=cs60°，则α等于（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．不能确定
若∠A是锐角，且sinA= ，则（ ）
A. 0°