初中数学中考复习 专题06 二次函数及其运用（讲+练）-2022年中考数学二轮复习核心专题复习攻略（原卷版）

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专题06  二次函数及其运用复习考点攻略 考点一  二次函数相关概念二次函数：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0【例1】若y=（a–1）x2–ax+6是关于x的二次函数，那么a的取值范围是（   ）A．a≠0         B．a≠1C．a≠1且a≠0        D．无法确定考点二  二次函数的图像和性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）对称轴x=–顶点（–，）a的符号a>0a<0图象开口方向开口向上开口向下最值当x=–时，y最小值=当x=–时，y最大值=最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系 字母的符号图象的特征aa>0开口向上a<0开口向下bb=0对称轴为y轴ab>0（a与b同号）对称轴在y轴左侧ab<0（a与b异号）对称轴在y轴右侧cc=0经过原点c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交【例2】已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ）A． B． C． D．【例3】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b； ④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（　　）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【例4】若二次函数的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3–m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是A．  B．C．  D．考点三  二次函数图像的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）． 2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：【注意】二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．【例5】如果将抛物线y=–x2–2向右平移3个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是A．y=–x2–5         B．y=–x2+1C．y=–（x–3）2–2        D．y=–（x+3）2–2考点四  二次函数与一元二次方程、一元二次不等式1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．  【例6】抛物线y=2x2–4x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程2x2–4x+m=0的解是__________．【例7】如图是二次函数y=a（x+1）2+2图象的一部分，则关于x的不等式a（x+1）2+2>0的解集是A．x<2          B．x>–3C．–3<x<1         D．x<–3或x>1考点五  二次函数的综合运用1、函数存在性问题解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 【例8】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（　　）A．ab＜0          B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间C．a＝      D．点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞时，y1＜y2【例9】如图，抛物线的顶点坐标为，并且与轴交于点，与轴交于、两点．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线交于点，点为直线上一动点，过点作轴的平行线，与抛物线交于点，问是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与△BCO相似．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．   第一部分 选择题一、选择题（本题有10小题，每题4分，共40分）函数y=是二次函数，则m的值是（  ）A．±1           B．1C．–1           D．以上都不对2.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ）A．B．C．D．3.在函数中，当随的增大而减小时，则的取值范围是（  ）A． B． C． D．4.把抛物线y=12x2–1先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为（  ）A．y=12（x+1）2–3       B．y=12（x–1）2–3C．y=12（x+1）2+1       D．y=12（x–1）2+15.如图，一次函数 (a>0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是（   ） A.             B.             C.             D. 当 (n为实数)时， 6.飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间以（单位：）的函数解析式是y=6t﹣t2．在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m所用的时间是（    ）s．A．10 B．20 C．30 D．10或307.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　）A．4米 B．5米 C．2米 D．7米8.已知二次函数，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程的两根之积为（    ）A．0 B． C． D．9.如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是（   ）A． B． C． D．10.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（　　）A．4 B．3 C．2 D．1 第二部分      填空题二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）11.已知抛物线．设点，在抛物线上，若，则m的取值范围          ．12.将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为         13.如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2.5 m，水面宽度增加              若A（–3.5，y1）、B（–1，y2）、C（1，y3）为二次函数y=–x2–4x+5的图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系是__________．如图，抛物线与直线交于A（-1，P），B（3，q）两点，则不等式的解集是__________． 16.如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点C的坐标为，则的面积可以等于2；③是抛物线上两点，若，则；④若抛物线经过点，则方程的两根为，3其中正确结论的序号为_______． 第三部分 解答题三、解答题（本题有6小题，共56分）17.如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是．求：（1）铅球在行进中的最大高度；（2）该男生将铅球推出的距离是多少m？    已知：二次函数与一次函数．（1）两个函数图象相交吗？若相交，有几个交点？（2）将直线向下平移个单位，使直线与抛物线只有一个交点，求的值．      如图，在平面直角坐标系中，二次函数 图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0). （1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围. （2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.      如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．写出点M′的坐标．       如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C(1，n)在该函数图象上.  （1）当m=5时，求n的值.    （2）当n=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y 时，自变量x的取值范围.    （3）作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围.         22.如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段上运动，如图1．求线段的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．