2022年（通用版）中考数学二轮复习核心专题复习攻略：专题10 锐角三角函数及其运用（原卷+解析版）

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专题10  锐角三角函数及其运用复习考点攻略考点一   锐角三角函数锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．【注意】根据定义求三角函数值时，一定要根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.【例1】如图，在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=2，则sinA的值为（    ）A．    B．    C．   D． 考点二  特殊角的三角函数值αsinαtanα30°45°160°【例2】的值为（   ）A． B． C． D．1考点三  解直角三角形1．在直角三角形中，求直角三角形所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；（4）sin2A+cos2A=1．3．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.【例3】如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为  ________ 米 （结果保留根号）             【例4】如图，大海中有和两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线上点处测得，；在点处测得，，．⑴ 判断、的数量关系，并说明理由⑵ 求两个岛屿和之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，，，，，）            考点四  锐角三角函数的应用1．仰角和俯角：仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．2．坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．3．方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角． 4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：     5．解直角三角形实际应用的一般步骤（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．6.解直角三角形应用题应注意的问题：（1） 分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位． 【例5】如图，一名滑雪爱好者先从山脚下A处沿登山步道走到点B处，再沿索道乘坐缆车到达顶部C．已知在点A处观测点C，得仰角为35°，且A，B的水平距离AE＝1000米，索道BC的坡度i＝1：1，长度为2600米，求山的高度（即点C到AE的距离）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.41，结果保留整数）                    【例6】如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处．（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔150海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为60海里，进入这个区域，就有触礁的危险．请判断海轮到达B处是否有触礁的危险？如果海伦从B处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：≈1.414，≈1.732）第一部分 选择题一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）1. 比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（    ）                   A． B． C． D．如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）                            A．c＝bsinB    B．b＝csinB C．a＝btanB     D．b＝ctanB已知α是锐角，sinα=cos60°，则α等于（    ）A．30° B．45°    C．60° D．不能确定若∠A是锐角，且sinA= ，则（       ）            A. 0°<∠A<30°              B. 30°<∠A<45°            C. 45°<∠A<60°                D. 60°<∠A<90°点（-sin60°，cos60°）关于y轴对称的点的坐标是（    ）            A. （ ， ）             B. （- ， ）          C. （- ，- ）         D. （- ，- ）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（　　）A． B． C． D．如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（    ）A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米                         菱形ABCD的对角线AC=10cm，BD=6cm，那么tan为（    ）A． B． C． D．如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6 cm，圆锥的侧面积为15π cm2  ， 则sin∠ABC的值为 （    ）                                          B.                                          C.                                         D. 如图，四边形是一张平行四边形纸片，其高，底边，，沿虚线将纸片剪成两个全等的梯形，若，则的长为（  ）                         A． B． C． D．第二部分  填空题二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）11..若tan（α–15°）= ，则锐角α的度数是________．  12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=，则sinB=___________．如图，A，B，C是上的三点，若是等边三角形，则___________．                         如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为4． 则自动扶梯的垂直高度=_________．（结果保留根号）如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则长度是_________．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．，斜坡长，斜坡的坡比为12∶5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿至少向右移________时，才能确保山体不滑坡．（取）第三部分  解答题二、解答题（本题有7小题，共46分）17. 如图，在中，的平分线交于点．求的长？   18.  已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，对角线BD=8，tan∠CBD=．（1）求边AB的长；（2）求cos∠BAE的值．  如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面．（点在同一平面内）           （1）求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度．（结果精确到1米）（参考数据）      如图，某船向正东航行，在A处望见海岛C在北偏东60°，前进6海里到B点，此时测得海岛C在北偏东45°，已知在该岛周围6海里内有暗礁，问船继续向正东航行，有触礁的危险吗?
                               如图，直升飞机在隧道BD上方A点处测得B、D两点的俯角分别为45°和31°．若飞机此时飞行高度AC为1208m，且点C、B、D在同一条直线上，求隧道BD的长．（精确到1m）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）         如图，在某建筑物AC上，挂着“缘分‘天柱’定，悠然在潜山”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30°，再往条幅方向前行30米到达点E处，看到条幅顶端B，测得仰角为60°，求宣传条幅BC的长．（注：不计小明的身高，结果精确到1米，参考数据≈1.4，≈1.7）                         数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）