2022年（通用版）中考数学二轮复习核心专题复习攻略：专题06 二次函数及其运用（原卷+解析版）

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专题06 二次函数及其运用复习考点攻略

考点一 二次函数相关概念
1. 二次函数：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2. 二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0
【例1】若y=（a–1）x2–ax+6是关于x的二次函数，那么a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a≠1
C．a≠1且a≠0 D．无法确定

【答案】【答案】B
【解析】根据二次函数的定义，a–1≠0，即a≠1．故选B．

考点二 二次函数的图像和性质
1．二次函数的图象与性质
解析式
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴
x=–
顶点
（–，）
a的符号
a>0
a0
开口向上
a0（a与b同号）
对称轴在y轴左侧
ab0
与y轴正半轴相交
c0，∴y1>y3>y2；故选A．

考点三 二次函数图像的平移
1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．
2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：

【注意】二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
【例5】如果将抛物线y=–x2–2向右平移3个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是
A．y=–x2–5 B．y=–x2+1
C．y=–（x–3）2–2 D．y=–（x+3）2–2
【答案】C
【解析】y=–x2–2的顶点坐标为（0，–2），∵向右平移3个单位长度，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，–2），∴所得到的新抛物线的表达式是y=–（x–3）2–2．故选C．

考点四 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．
2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac0的解集是

A．x–3
C．–30，∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确；C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，C错误；D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D错误．故选：B．
3.在函数中，当随的增大而减小时，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】二次函数的对称轴为直线，
∵，∴时，随的增大而减小.故选D.
4.把抛物线y=12x2–1先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y=12（x+1）2–3 B．y=12（x–1）2–3
C．y=12（x+1）2+1 D．y=12（x–1）2+1
【答案】B
【解析】∵把抛物线y=12x2–1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，∴得到的抛物线的解析式为y=12（x–1）2–3，故选B．
5.如图，一次函数 (a>0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是（   ）

A.             B.             C.             D. 当 (n为实数)时，
【答案】 D
【解析】
解：A、∵图象开口向上，∴a>0，∵对称轴在y轴左侧，
∴x=-0；
∵图象与y轴的交点在y轴上方，
∴c>0， ∴abc>0, 不符合题意；
B、∵抛物线与x轴有两个交点，
∴  ，
即  ,不符合题意；
C、设图象的顶点为（1，k）,
∴ky3
【解析】对称轴为直线x=–=–=–2，∵a=–1y1>y3．故答案为：y2>y1>y3．
15. 如图，抛物线与直线交于A（-1，P），B（3，q）两点，则不等式的解集是__________．

【答案】或
【解析】∵抛物线与直线交于，两点，
∴，，∴抛物线与直线交于，两点，
观察函数图象可知：当或时，直线在抛物线的下方，

∴不等式的解集为或．故答案为：或．

16.如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点C的坐标为，则的面积可以等于2；③是抛物线上两点，若，则；④若抛物线经过点，则方程的两根为，3其中正确结论的序号为_______．

【答案】①④
【解析】解：① 开口向下， a0， abc4,>， ，故错误．
③ ，从图像可知 到1的距离小于 到1的距离，从图像可知，越靠近对称轴，函数值越大； ，故错误．
④把点（3，-1）代入抛物线得 ，即 ，∴，即x=3，是方程的解，根据抛物线的对称性，所以另一解为-1，故正确．

第三部分 解答题
三、解答题（本题有6小题，共56分）
17.如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是．求：

（1）铅球在行进中的最大高度；
（2）该男生将铅球推出的距离是多少m？
【答案】（1）铅球在行进中的最大高度为；（2）该男生把铅球推出的水平距离是．
【解析】（1），
∵，
∴y的最大值为3，
∴铅球在行进中的最大高度为．
（2）令得：
解方程得，，（负值舍去）．
∴该男生把铅球推出的水平距离是．
18. 已知：二次函数与一次函数．
（1）两个函数图象相交吗？若相交，有几个交点？
（2）将直线向下平移个单位，使直线与抛物线只有一个交点，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1），
解得，或，
即两个函数图象相交，有两个交点；
（2）将直线向下平移个单位，得直线，
令，
得，
∵直线与抛物线只有一个交点，
△，解得，．
19. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0).

（1） 求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围.
（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.

【答案】（1）1