2023-2024学年山东省威海市乳山市银滩高级中学高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省威海市乳山市银滩高级中学高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选1-8，每题5分，共40分，解答题15-19，共77分等内容，欢迎下载使用。

1．一个做直线运动的质点的位移s（m）与时间t（s）的关系式为s＝100t﹣5t2，则该质点的瞬时速度为0m/s时，t＝（ ）
A．50sB．20sC．10sD．5s
2．已知函数f（x）在点x＝2处的切线方程为2x+y﹣1＝0，则f′（2）+f（2）＝（ ）
A．﹣5B．﹣3C．3D．5
3．若函数y＝f（x）在x＝x0处可导，则等于（ ）
A．f′（x0）B．2f′（x0）C．﹣2f′（x0）D．0
4．已知函数f（x）＝x（x﹣c）2在x＝2处有极大值，则c的值为（ ）
A．3B．6C．3或6D．2或6
5．函数的单调减区间为（ ）
A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（1，e）D．（1，+∞）
6．若曲线y＝e2ax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1＝0垂直，则a＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
7．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为（0，+∞），若xf′（x）＜2f（x），则（ ）
A．4e2f（2）＜16f（e）＜e2f（4）
B．e2f（4）＜4e2f（2）＜16f（e）
C．e2f（4）＜16f（e）＜4e2f（2）
D．16f（e）＜e2f（4）＜4e2f（2）
8．若点P是曲线y＝lnx﹣x2上任意一点，则点P到直线l：x+y﹣6＝0的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题9-11，每题6分，共18分。
（多选）9．下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．
C．（csx）'＝﹣sinx
D．
（多选）10．关于函数，下列说法正确的有（ ）
A．函数f（x）的图象关于点对称
B．函数f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减
C．若方程f（x）＝t恰有一个实数根，则
D．若∀x∈R，都有f（x）＞m，则m≤﹣2
（多选）11．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，此定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f（x），存在一个实数x0使得f（x0）＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，x0为函数的不动点．现新定义：若x0满足f（x0）＝﹣x0，则称x0为f（x）的次不动点．设函数f（x）＝ex+1+e﹣x﹣1+x2+x+a，若f（x）在区间（﹣2，1）上存在次不动点，则a的取值可以是（ ）
A．﹣1B．e2+e﹣2+4C．﹣e2﹣e﹣2﹣3D．﹣e2﹣e﹣2﹣1
三、填空12-14，每题5分，共15分。
12．若函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2f′（1）lnx+x，则f（e）＝ ．
13．烧水时，水温随着时间的推移而变化．假设水的初始温度为20℃，加热后的温度函数T（t）＝100﹣ke﹣0.1t（k是常数，t表示加热的时间，单位：min），加热到第10min时，水温的瞬时变化率是 ℃/min．
14．若函数f（x）＝aex+csx在区间上单调递减，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题15-19，共77分。
15．已知函数f（x）＝x2+x﹣3lnx．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的极值．
16．已知函数f（x）＝ex（x2﹣ax﹣a）．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求实数a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
17．已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+12x+b在x＝2处取得极小值5．
（1）求实数a，b的值；
（2）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的最小值．
18．（17分）已知函数f（x）＝x3﹣3lnx．
（1）求f（x）的最小值；
（2）设，证明：f（x）≤g（x）．
19．（17分）设a＞0，函数f（x）＝aex+x2+ax+a+1，g（x）＝lnx+ax+a．
（Ⅰ）若f′（0）＝2，求a的值；
（Ⅱ）求证：f（x）恰有1个极小值点，g（x）恰有1个零点；
（Ⅲ）若x1是f（x）的极值点，x2是g（x）的零点，求证：x1＝﹣ax2﹣a．
参考答案
一、单选1-8，每题5分，共40分。
1．一个做直线运动的质点的位移s（m）与时间t（s）的关系式为s＝100t﹣5t2，则该质点的瞬时速度为0m/s时，t＝（ ）
A．50sB．20sC．10sD．5s
【分析】根据题意，求出函数的导数，令s′＝0，求出t的值，即可得答案．
解：根据题意，s＝100t﹣5t2，则s′＝100﹣10t，
若该质点的瞬时速度为0m/s，即s′＝100﹣10t＝0，解可得t＝10．
故选：C．
【点评】本题考查导数的计算，注意导数的几何意义，属于基础题．
2．已知函数f（x）在点x＝2处的切线方程为2x+y﹣1＝0，则f′（2）+f（2）＝（ ）
A．﹣5B．﹣3C．3D．5
【分析】由已知结合导数的几何意义求解即可．
解：∵函数f（x）在点x＝2处的切线方程为2x+y﹣1＝0，
∴f′（2）＝﹣2，且2×2+f（2）﹣1＝0，得f（2）＝﹣3，
∴f′（2）+f（2）＝﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查导数的几何意义及应用，是基础题．
3．若函数y＝f（x）在x＝x0处可导，则等于（ ）
A．f′（x0）B．2f′（x0）C．﹣2f′（x0）D．0
【分析】利用导数的定义求解即可．
解：∵函数y＝f（x）在x＝x0处可导，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了导数的几何意义，属于基础题．
4．已知函数f（x）＝x（x﹣c）2在x＝2处有极大值，则c的值为（ ）
A．3B．6C．3或6D．2或6
【分析】对函数f（x）＝x（x﹣c）2求导，利用函数的导函数与极值的关系，令导函数等于0即可解出c的值．
解：f′（x）＝（x﹣c）2+2x（x﹣c），
f′（2）＝（2﹣c）2+2×2（2﹣c）＝0，
解得c＝6或2．
验证知当c＝2时，函数在x＝2处有极小值，舍去
故c＝6
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，对函数求导，令导函数等于0即可解出c的值，由于本题明确指出在该点出取到极大值，故需对求出的c的值进行验证，如本题，c＝2必需舍去，做题时要注意考虑周详．
5．函数的单调减区间为（ ）
A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（1，e）D．（1，+∞）
【分析】对函数求导，令导函数小于零，解得x的范围即可得到减区间．
解：函数的定义域为（0，+∞），
令，
解得x＞1，
则函数的单调减区间为（1，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
6．若曲线y＝e2ax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1＝0垂直，则a＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】由切线与直线垂直可得切线斜率为2，再对曲线求导，根据导数的几何意义结合条件即得．
解：直线x+2y+1＝0的斜率为，
由题设知：y＝e2ax在（0，1）处的切线的斜率为2，而y′＝2a•e2ax，
∴y′|x＝0＝2a＝2，可得a＝1．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数求切线的方法，属于基础题．
7．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为（0，+∞），若xf′（x）＜2f（x），则（ ）
A．4e2f（2）＜16f（e）＜e2f（4）
B．e2f（4）＜4e2f（2）＜16f（e）
C．e2f（4）＜16f（e）＜4e2f（2）
D．16f（e）＜e2f（4）＜4e2f（2）
【分析】设，利用导数得到函数单调性，从而求解．
解：∵xf′（x）＜2f（x），
∴，
设，则g（x）在（0，+∞） 上单调递减，
∴g（2）＞g（e）＞g（4），
∴，即4e2f（2）＞16f（e）＞e2f（4），故C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于基础题．
8．若点P是曲线y＝lnx﹣x2上任意一点，则点P到直线l：x+y﹣6＝0的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，以及点到直线的距离公式，即可求解．
解：直线l：x+y﹣6＝0，
则直线l的斜率为﹣1，
y＝lnx﹣x2，
则y'＝，
令，解得x＝1（负值舍去），
当x＝1时，y＝﹣1，
故平行于直线l：x+y﹣6＝0且与直线y＝lnx﹣x2相切的切点坐标为（1，﹣1），
所以点P到直线l：x+y﹣6＝0的距离的最小值为：＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，属于中档题．
二、多选题9-11，每题6分，共18分。
（多选）9．下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．
C．（csx）'＝﹣sinx
D．
【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．
解：，
，故AB错误；
（csx）'＝﹣sinx，故C正确；
＝，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
（多选）10．关于函数，下列说法正确的有（ ）
A．函数f（x）的图象关于点对称
B．函数f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减
C．若方程f（x）＝t恰有一个实数根，则
D．若∀x∈R，都有f（x）＞m，则m≤﹣2
【分析】根据题意，依次分析选项：对于A，求出f（﹣1﹣x）的表达式，分析f（x）与f（﹣1﹣x）的关系，可得A错误，对于B，由导数与函数单调性的关系可得B正确，对于C，举出反例可得C错误，对于D，分析f（x）的值域，可得D正确，综合可得答案．
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数，f（﹣1﹣x）＝，f（x）≠﹣f（﹣1﹣x），
则f（x）的图象不关于点（﹣，0）对称，A错误；
对于B，f′（x）＝＝＝，
在区间（﹣∞，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
在区间（2，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，B正确；
对于C，＝0，解可得x＝﹣，
当t＝0时，方程f（x）＝t恰有一个实数根，C错误；
对于D，当x＞﹣时，f（x）＞0，
当x＜﹣时，f（x）＜0，此时f（x）＝﹣，
又由x2+1﹣（x2++）＝＞0，则f（x）＝﹣＞﹣2，
则有f（x）＞﹣2，
故若∀x∈R，都有f（x）＞m，则m≤﹣2，D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查函数的单调性，涉及函数与方程的关系，属于基础题．
（多选）11．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，此定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f（x），存在一个实数x0使得f（x0）＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，x0为函数的不动点．现新定义：若x0满足f（x0）＝﹣x0，则称x0为f（x）的次不动点．设函数f（x）＝ex+1+e﹣x﹣1+x2+x+a，若f（x）在区间（﹣2，1）上存在次不动点，则a的取值可以是（ ）
A．﹣1B．e2+e﹣2+4C．﹣e2﹣e﹣2﹣3D．﹣e2﹣e﹣2﹣1
【分析】由题意可得，ex+1+e﹣x﹣1+x2+x+a＝﹣x在（﹣2，1）上有解，即ex+1+e﹣（x+1）+（x+1）2＝1﹣a有解，然后换元构造函数，利用导数求最值即可．
解：根据题意，若f（x）在区间（﹣2，1）上存在次不动点，
则f（x）＝﹣x在区间（﹣2，1）上有解，
即ex+1+e﹣x﹣1+x2+x+a＝﹣x，
即ex+1+e﹣（x+1）+（x+1）2＝1﹣a有解，
令t＝x+1，t∈（﹣1，2），则1﹣a＝t2+et+e﹣t，
令函数g（t）＝t2+et+e﹣t，g′（t）＝2t+et﹣e﹣t且单调递增，
当t∈（0，2）时，g′（t）＞0，
所以g（t）在（0，2）上单调递增，
g（﹣t）＝t2+et+e﹣t＝g（t），
所以g（t）为偶函数，
所以g（t）在（﹣1，0）上单调递减，
g（t）min＝g（0）＝2，g（t）＜g（2）＝4+e2+e﹣2，
故1﹣a∈[2，4+e2+e﹣2），a∈（﹣e2﹣e﹣2﹣3，﹣1]，
则﹣1∈（﹣e2﹣e﹣2﹣3，﹣1]，﹣e2﹣e﹣2﹣1∈（﹣e2﹣e﹣2﹣3，﹣1]．
故选：AD．
【点评】本题属于新概念题，考查了函数的奇偶性、单调性及导数的综合运用，属于中档题．
三、填空12-14，每题5分，共15分。
12．若函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2f′（1）lnx+x，则f（e）＝ ﹣2+e ．
【分析】由求导计算公式求出f′（1），再代入求出f（e）即可．
解：由f（x）＝2f′（1）lnx+x，得，
令x＝1，则，解得f′（1）＝﹣1，
所以f（x）＝﹣2lnx+x，f（e）＝﹣2+e．
故答案为：﹣2+e．
【点评】本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
13．烧水时，水温随着时间的推移而变化．假设水的初始温度为20℃，加热后的温度函数T（t）＝100﹣ke﹣0.1t（k是常数，t表示加热的时间，单位：min），加热到第10min时，水温的瞬时变化率是 ℃/min．
【分析】根据公式和已知条件直接求解即可
解：因为水的初始温度为20℃，所以T（0）＝100﹣k＝20，解得k＝80，所以T′（t）＝8e﹣0.1t，
则，所以加热到第10min时，水温的瞬时变化率是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查导数的应用，属于基础题．
14．若函数f（x）＝aex+csx在区间上单调递减，则实数a的取值范围为 （﹣∞，] ．
【分析】由函数f（x）在区间上单调递减，得到f'（x）≤0在区间上恒成立，再求出a的取值范围即可．
解：因为函数f（x）＝aex+csx在区间上单调递减，
所以f'（x）＝aex﹣sinx≤0在区间上恒成立，所以只需a≤（）min．
令g（x）＝，x∈，则g'（x）＝，
当x∈时，g'（x）≤0恒成立，且仅当x＝时取等号，
所以g（x）在上单调递减，
所以g（x）min＝g（）＝，所以a≤（）min＝，
所以实数a的取值范围为（﹣∞，]．
故答案为：（﹣∞，]．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想和函数思想，属中档题．
四、解答题15-19，共77分。
15．已知函数f（x）＝x2+x﹣3lnx．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的极值．
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求得切线的斜率，再利用点斜式写出切线方程即可；
（2）先判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，再求极值即可．
解：（1）f（x）＝x2+x﹣3lnx的定义域为（0，+∞），
f'（x）＝2x+1﹣，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k＝f′（1）＝0，
因为f（1）＝1+1﹣0＝2，所以切点为（1，2），
所以曲线在（1，f（1））处的切线方程为y＝2．
（2）f'（x）＝2x+1﹣＝＝，定义域为（0，+∞），
当x＝1时，f'（x）＝0；
当x＞1时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递增；
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，1）上单调递减，
所以极小值为f（1）＝2，无极大值．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，熟练掌握导数的几何意义，函数的单调性与导数之间的关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16．已知函数f（x）＝ex（x2﹣ax﹣a）．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求实数a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，求出切线的斜率f'（1），再根据曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求出a的值；
（Ⅱ）对f（x）求导，分a＝﹣2，a＜﹣2和a＞﹣2三种情况，求出f（x）的单调区间即可．
解：（Ⅰ）由f（x）＝ex（x2﹣ax﹣a），得f′（x）＝ex[x2+（2﹣a）x﹣2a]，
∵f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，∴f′（1）＝0，
∴e（3﹣3a）＝0，解得a＝1，经检验a＝1符合题意．
（Ⅱ）∵f′（x）＝ex[x2+（2﹣a）x﹣2a]，令f'（x）＝0，解得x＝﹣2或x＝a．
当a＝﹣2时，∵f′（x）＝ex（x+2）2≥0，当且仅当x＝﹣2时，f'（x）＝0，
∴f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增．
当a＜﹣2时，随x的变化，f'（x）和f（x）的变化情况如下表所示．
∴f（x）在区间（﹣∞，a）上单调递增，在区间（a，﹣2）上单调递减，在区间（﹣2，+∞）上单调递增．
当a＞﹣2时，随x的变化，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示．
∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2）上单调递增，在区间（﹣2，a）上单调递减，在区间（a，+∞）上单调递增．
综上，当a＝﹣2时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无单调递减区间；
当a＜﹣2时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（﹣2，+∞），单调递减区间为（a，﹣2）；
当a＞﹣2时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（a，+∞），单调递减区间为（﹣2，a）．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．
17．已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+12x+b在x＝2处取得极小值5．
（1）求实数a，b的值；
（2）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的最小值．
【分析】（1）对f（x）求导，根据函数f（x）在x＝2处取得极小值5，列方程求出a，b的值即可；
（2）对f（x）求导，判断f（x）在[0，3]上的单调性，再求出f（x）的最小值即可．
解：（1）由f（x）＝2x3﹣ax2+12x+b，得f'（x）＝6x2﹣2ax+12，
因为f（x）在x＝2处取极小值5，所以f（2）＝24﹣4a+12＝0，解得a＝9，
此时f'（x）＝6x2﹣18x+12x＝6（x﹣1）（x﹣2），
所以f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
所以f（x）在x＝2时取极小值，符合题意，
所以a＝9，f（x）＝2x3﹣9x2+12x+b．
又f（2）＝4+b＝5，所以b＝1，
所以a＝9，b＝1．
（2）f（x）＝2x3﹣9x2+12x+1，所以f'（x）＝6（x﹣1）（x﹣2），
f（x）和f'（x）随着x的变化情况如下表所示．
所以x∈[0，3]时，f（x）min＝f（0）＝1．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数求函数在给定区间上的最值，属基础题．
18．（17分）已知函数f（x）＝x3﹣3lnx．
（1）求f（x）的最小值；
（2）设，证明：f（x）≤g（x）．
【分析】（1）对f（x）求导，判断f（x）的单调性，再求出最小值即可；
（2）构造函数，利用导数证得h（x）≥0恒成立，从而得证．
解：（1）因为f（x）＝x3﹣3lnx，x＞0，则，
令f′（x）＜0，得0＜x＜1；令f′（x）＞0，得x＞1；
所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以f（x）的最小值为f（1）＝1﹣3ln1＝1．
（2）证明：因为，
所以由f（x）≤g（x），得，即，
令，则，
令h′（x）＜0，得0＜x＜1；令h′（x）＞0，得x＞1；
所以h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
则h（x）≥h（1）＝ln1+1﹣1＝0，即恒成立，
所以f（x）≤g（x）．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，利用综合法证明不等式，考查了函数思想，属中档题．
19．（17分）设a＞0，函数f（x）＝aex+x2+ax+a+1，g（x）＝lnx+ax+a．
（Ⅰ）若f′（0）＝2，求a的值；
（Ⅱ）求证：f（x）恰有1个极小值点，g（x）恰有1个零点；
（Ⅲ）若x1是f（x）的极值点，x2是g（x）的零点，求证：x1＝﹣ax2﹣a．
【分析】（I）求出f（x）导数，即可求出；
（Ⅱ）根据零点存在性定理即可判断f′（x）和g（x）有唯一零点；
（Ⅲ）转化可得x1和lnx2是h（x）＝aex+x+a的零点，再根据h（x）有唯一零点可得x1＝lnx2即可证明．
解：（I）因为f′（x）＝aex+x+a，所以f′（0）＝2a＝2，解得a＝1；
证明；（Ⅱ）因为f′（x）＝aex+x+a在R上单调递增，且f′（﹣2a）＝ae﹣2a﹣a＝a（e﹣2a﹣1）＜0，f′（﹣a）＝ae﹣a＞0，
所以存在唯一x0∈（﹣2a，﹣a），f（x0）＝0，
当x∈（﹣∞，x0）时，f′（x0）＜0，f（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，f（x0）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）在x＝x0处取得极小值，所以f（x）恰有1个极小值点；
因为g（x）＝lnx+ax+a在（0，+∞）单调递增，且g（e﹣2a）＝a（e﹣2a﹣1）＜0，g（1）＝2a＞0，
所以g（x）有唯一一个零点．
证明：（Ⅲ）因为x1是f（x）的极值点，所以，
令h（x）＝aex+x+a，则可得x1和lnx2是h（x）的零点，
由（Ⅱ）可知h（x）存在唯一零点，所以x1＝lnx2，即，
所以，即x1＝﹣ax2﹣a．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题．
x
（﹣∞，a）
a
（a，﹣2）
﹣2
（﹣2，+∞）
f'（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
单调递增
f（a）
单调递减
f（﹣2）
单调递增
x
（﹣∞，﹣2）
﹣2
（﹣2，a）
a
（a，+∞）
f'（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
单调递增
f（﹣2）
单调递减
f（a）
单调递增
x
0
（0，1）
1
（1，2）
2
（2，3）
3
f'（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
1
↑
极大值6
↓
极小值5
↑
10