2022-2023学年山东省威海市乳山市银滩高级中学高二下学期4月月考数学试题含解析

山东省威海市乳山市银滩高级中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．假设是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（    ）．

A．  B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用条件概率的概率公式以及相互独立事件的概率公式，对选项逐一分析判断即可

【详解】解：对于A选项，由，，

可知，故A正确；

对于B选项，成立的条件为是两个独立事件，故B错误；

对于C选项，由，，

故当时才有，故C错误；

对于D选项，若，

故，即是两个独立事件时成立，故D错误．

故选：A．

2．将英文单词“”中的6个字母重新排列，其中字母b不相邻的排列方法共有（    ）

A．120种 B．240种 C．480种 D．960种

【答案】B

【分析】先排除b之外的其余四个字母，再从这四个字母排完后的5个空中选2个放入b即可.

【详解】由题意可先排除b之外的其余四个字母，有种排法，

再从这四个字母排完后的5个空中选2个放入b，有种放法，

故字母b不相邻的排列方法共有（种），

故选：B

3．小陈和小李是某公司的两名员工，在每个工作日小陈和小李加班的概率分别为和，且两人同时加班的概率为，则某个工作日，在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意结合条件概率公式运算求解.

【详解】记“小李加班”为事件A，“小陈加班”为事件B，则，

故在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为.

故选：C.

4．已知函数为的导函数，则的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求出，判断奇偶性，并结合特殊值验证，即可判断出答案.

【详解】由可知，

则，即为奇函数，故A，D错误；

又，故C错误，B正确，

故选：B

5．目前，国际上常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出任选一名员工为肥胖者的概率和肥胖者员工为男性的概率，再根据条件概率计算即可.

【详解】设公司男、女员工的人数分别为和，

则男员工中，肥胖者有人，

女员工中，肥胖者有人，

设任选一名员工为肥胖者为事件，肥胖者为男性为事件，

则，，

则.

故选：D.

6．已知函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将函数有两个零点，转化为的图象有两个交点问题，利用导数判断的单调性，作出其大致图象，数形结合，列出能保证存在唯一的整数的不等关系，即可求得答案.

【详解】由题意函数有两个零点，

即，得有两个正实根，

设，则，

令，解得，当时，，在上单调递增；

当时，在上单调递减；

故当时，函数取得极大值，且，

又时，；当时，；

当时，，

作出函数的大致图象，如图所示：

直线与的图象的两个交点的横坐标即分别为，

由题意知，又，

因为存在唯一的整数，所以，

又直线与的图象有两个交点，

由图可知：，即，

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题是根据函数零点的个数求参数的取值范围问题，关键在于要保证存在唯一的整数，因此解答时利用导数判断函数的单调性，作出函数图象，数形结合，列出保证条件成立的不等式，求解答案.

7．已知函数对于任意时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将不等式化为，构造进而化为，利用导数研究单调性，再得在上恒成立，构造研究其最值，即可得参数范围.

【详解】由题设，即，

令且，上述不等式等价于，

而，故在上递增，则有在上恒成立，

所以在上恒成立，记，令，则，

当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，

所以在上递减，在上递增，则，故.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：由并构造函数并研究单调性，将问题转化为在上恒成立，再次构造研究最值求范围.

8．已知，设，则（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】将化为，和b比较，确定变量，构造函数，利用其导数判断其单调性，即可比较大小，再比较，即可得答案.

【详解】由于，

故设函数 ，

当时，，即在上单调递增，

由于，

故，即，

又，故，

故选：D

【点睛】关键点睛：比较的大小时，要注意根据两数的结构特征，确定变量，从而构造函数，这是比较大小关键的一步，然后利用导数判断函数的单调性，即可求解.

二、多选题

9．已知事件满足，则（    ）

A．若，则

B．若与互斥，则

C．若，则与相互独立

D．若与相互独立，则

【答案】BC

【分析】根据事件的关系以及运算，互斥事件的概率加法公式，独立事件的概率公式，条件概率的概率公式等即可求出．

【详解】对A，因为，所以，错误；

对B，因为与互斥，所以，正确；

对C，因为，所以，而，

所以，正确；

对D，因为与相互独立，所以与相互独立，所以，

，错误．

故选：BC.

10．已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论正确的是（    ）

A．展开式中所有项的系数之和为 B．展开式中系数最大项为第项

C．展开式中有项有理项 D．展开式中不含的一次项

【答案】CD

【分析】根据题意列关于的方程，求出值，然后根据二项展开式的通项公式以及赋值法，结合组合数的性质可解答此题．

【详解】在的展开式中，前3项的系数成等差数列，，解得：或1（舍去）．

当时，所有项的系数和为：，错；

通项为：

展开式中第3项与第4项系数最大，错，

当，6时为有理项，共2项，对；

由上面通项可令，解得不为整数，

展开式不含一次项，对．

故选：．

11．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数，则（    ）

A．一定有两个极值点

B．函数在R上单调递增

C．过点可以作曲线的2条切线

D．当时，

【答案】BCD

【分析】对求导，得出，没有极值点，可判断A，B；由导数的几何意义求过点的切线方程条数可判断C；求出三次函数的对称中心，由于函数的对称中心为，可得，由倒序相加法求出所给的式子的值，可判断D.

【详解】由题意知，，恒成立，

所以在R上单调递增，没有极值点，A错误，B正确；

设切点为，则，

切线方程为，

代入点得，

即，解得或，

所以切线方程为或，C正确；

易知，令，则．

当时，，，所以点是的对称中心，

所以有，即．

令，

又，

所以，

所以，D正确．

故选：BCD.

12．关于函数，下列判断正确的是（    ）

A．是的极小值点

B．函数图像上的点到直线的最短距离为

C．函数有且只有1个零点

D．不存在正实数k，使成立

【答案】AB

【分析】对A：求导，利用导数求极值点；对B：结合导数的几何意义分析运算；对C：求导，利用导数分析零点问题；对D：结合选项C中的结论分析判断.

【详解】对A：函数的定义域为，，

当时，；当时，；

故函数在上单调递减，在上单调递增，

所以是的极小值点，故A正确；

对B：设直线与函数的图像相切，切点坐标为，

由，可得，解得，

所以，即切点为，

则切点到直线的距离为，

即函数图像上的点到直线的最短距离为，故B正确；

对C：因为，所以，

当时，；当时，；

故函数在上单调递减，在上单调递增，则，

所以函数不存在零点，故C不正确，

对D：由选项C可知：，即恒成立，

所以存在正实数k，使恒成立，故D错误．

故选：AB．

【点睛】方法点睛：本题主要考查利用导数研究函数的极值、导数的几何意义、零点问题和不等式问题等，基础性与综合性并举，对考生的逻辑推理能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力等思维能力要求比较高．注意极值点和零点都是数，不是点，不要混淆．对于选项B，注意数形结合，将直线平移，使之与曲线相切，求出切点，再利用点到直线的距离公式求解．

三、填空题

13．函数有一条斜率为2的切线，则切点的坐标为_____________

【答案】

【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义即可求解.

【详解】设切点坐标为，由函数可得，

因为函数有一条斜率为2的切线，所以，

解得，所以切点坐标为，

故答案为：.

14．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为________．

【答案】15

【分析】根据超几何分布概率公式列出不等式，进而解出n.

【详解】用X表示中奖票数，

P(X≥1)＝，

所以，解得n≥15.

故答案为：15.

15． 的展开式中不含的各项系数之和______.

【答案】128

【分析】对每一个括号利用二项展开式的通项公式进行展开，展开后对每一项进行合并，合并后使得项幂次为0，确定项数后即可得到答案.

【详解】利用二项展开式的通项公式进行展开，设项为，项为，项为.

展开后得对每一项进行合并得 ，因为展开式中不含，所以，又得取值为，得取值为，故得.

代入展开式得，又得取值为，分别带入后各项系数之和为.

故答案为：128

16．已知对，不等式恒成立，则实数的最小值是__________.

【答案】/

【分析】，令，求导后判断在上单调递增，从而问题转化为，恒成立.而，令，求导得到，进而可求解.

【详解】

令，

则，恒成立.

对求导得，所以在上单调递增.

所以，恒成立.

而

令，则

令，

所以当时，单调递增；

当时，单调递减.

所以.

故，即实数的最小值是.

故答案为：

【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.

四、解答题

17．（1）求值：．

（2）若，且．求的值．

【答案】（1） 时， ； 时， ；（2）

【分析】（1）根据组合数的性质推出n的取值范围，再分类求解；

（2）先求出n的值，再运用赋值法求解.

【详解】（1）由组合数的性质，可得解得．又因为，

所以或，当时，原式，当时，原式；

（2）由，得

，

即，解得或（舍去），所以，

当时，由已知，得，

令，得，令，得，

所以

18．已知m，n是正整数，f（x）＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7．

（1）对于使f（x）的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；

（2）利用上述结果，求f(0.003)的近似值；(精确到0.01)

（3）已知(1＋2x)8的展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，求．

【答案】（1）5；（2）2.02；（3）．

【分析】（1）由题可得，即得；

（2）利用二项式展开式可得；

（3）由题可得a，再列出不等式组，即解.

【详解】（1）根据题意得，即m＋n＝7，①

f（x）中的x2的系数为，

将①变形为n＝7－m代入上式得x2的系数为

m2－7m＋21＝＋，

故当m＝3或m＝4时，x2的系数有最小值为9．

当m＝3，n＝4时，x3的系数为；

当m＝4，n＝3时，x3的系数为．

即此时x3的系数为5.

（2）f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3≈＋×0.003＋＋×0.003≈2.02．

（3）由题意可得，a＝＝70，

∵展开式的通项为，

由即

∴k＝5或6时系数最大，此时，b＝7×28，

∴.

19．已知函数.

(1)当时,求曲线的极值;

(2)求函数的单调区间;

(3)若对任意及时,恒有成立, 求实数的取值范围.

【答案】(1)极小值为

(2)答案见解析

(3)

【分析】（1）先求函数导数，再求导函数在定义区间上零点．列表分析导函数符号变化规律得函数极值；

（2）由导函数为零点得，共分四种情况，，，进行讨论单调区间即可；

（3）先分离得,即；再分离得的最小值

【详解】（1）函数的定义域为,当时,, 解得(舍去),,

当时，；当时，，

所以在上递减, 在上递增,

所以的极小值为.

（2）,令可得，

①当时, 当，，在上单调递减,

当，，在上单调递增；

②当时, 当，，在上单调递减,

当时，，在和上单调递增；

③当时, 由可得在上单调递增；

④当时, 当，，在上单调递减,

当，，在和上单调递增.

（3）由题意可知, 对时, 恒有成立, 等价于,

由（2）知, 当时,在上单调递增,,

所以原题等价于时, 恒有成立, 即.

在时, 由,故当时,恒成立,.

【点睛】方法点睛：导数与函数的单调性

（1）函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则

在该区间为增函数；如果，则在该区间为减函数.

（2）函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.

20．已知函数（为自然对数的底数）.

（1）求函数的单调区间；

（2）设函数，存在实数，，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）0；（2）或．

【详解】试题分析：（1）求导得，根据导数的符号即可求出 的单调区间（2）如果存在，使得 成立，那么 由题设得，求导得 由于含有参数，故分情况讨论，分别求出 的最大值和最小值如何分类呢？由得 ，又由于 故以0、1为界分类 当时， 在上单调递减；当 时，在上单调递增以上两种情况都很容易求得 的范围当时，在上单调递减， 在上单调递增，所以最大值为 中的较大者，最小值为，，一般情况下再分类是比较这两者的大小，但 ，由（1）可知，而 ，显然，所以 无解

试题解析：（1）∵函数的定义域为R，

∴当时，，当 时，

∴在上单调递增，在 上单调递减

（2）假设存在，使得 成立，则．

∵

∴

当时，， 在上单调递减，∴ ，即

②当时，， 在上单调递增，∴ ，即

③当时，

在，， 在上单调递减，

在，， 在上单调递增，

所以，即 ――――――――

由（1）知，在上单调递减，

故，而 ，所以不等式无解

综上所述，存在，使得命题成立

考点：1、导数的应用；2、不等关系

21．某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛.

小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.

(1)求小明在第一轮得40分的概率；

(2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？

【答案】(1)；

(2)小明更容易晋级复赛.

【分析】（1）对A类的5个问题进行编号：，设小明只能答对4个问题的编号为：，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率；

（2）依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分；或第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答对一题得分，第二轮答对两题得分；分别求出小芳和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论.

【详解】（1）对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，

则有共种，

设小明只能答对4个问题的编号为：，

则小明在第一轮得40分，有共种，

则小明在第一轮得40分的概率为：；

（2）由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为，

则小明在第一轮得0分的概率为：，

依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分

当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时，

小芳和小明晋级复赛的概率分别为：

；

；

当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时，

小芳和小明晋级复赛的概率分别为：

；；

当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时，

小芳和小明晋级复赛的概率分别为：

；；

当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时，

小芳晋级复赛的概率分别为：

；

小芳晋级复赛的概率为：；

小明晋级复赛的概率为：；

，

小明更容易晋级复赛.

22．已知函数，．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，试讨论函数的单调性；

（Ⅲ）设斜率为的直线与函数的图象交于两点（）,证明：．

【答案】（I）；（II）当时，在，上单调递增，在上单调递减，当时，在，上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递增；（III）证明见解析.

【详解】试题分析：（I）当时，，根据，，求得切线方程为；（II）定义域为，求导得，由得，，，对分成类，结合函数图像进行分类讨论的单调区间；（III）先用分析法分析，要证，即证，因，即证，令（），即证（），令利用导数可证明上述不等式成立.

试题解析：

（Ⅰ）依题意得，则，，

则曲线在点处的切线方程为.

（Ⅱ）∵函数的定义域为,且

，

当时，由得，，，

①当时，，由得，，或；由得，，所以在，上单调递增，在上单调递减

③ 当时，，由得，，或；由得，，

所以在，上单调递增，在上单调递减

③当时，，在上，，

所以在上单调递增.

综上,当时，在，上单调递增，在上单调递减；

当时，在，上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增.

（Ⅲ）依题意得，

要证，即证，

因，即证，

令（），即证（），

令（）则，

∴在（1，+）上单调递增，

∴=0，即（）①

同理可证：②

综①②得（），即

【方法点晴】求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点， 而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.函数的零点就是的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转 化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.