2023-2024学年山东省淄博实验中学、齐盛高级中学高一（下）诊断数学试卷（4月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省淄博实验中学、齐盛高级中学高一（下）诊断数学试卷（4月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a、b满足|a|=2，|b|=5，且a与b夹角的余弦值为15，则(a+2b)⋅(2a−b)=( )
A. −36B. −28C. 3 3D. 12
2.已知平面向量a，b，c满足a+b+c=0，|a|=|b|=1，|c|= 3，则a与b的夹角为( )
A. π4B. π3C. 23πD. 34π
3.要得到函数y=3cs(2x+π4)的图象，只需将y=3sin2x的图象( )
A. 向左平移π8个单位B. 向左平移3π8个单位
C. 向左平移3π4个单位D. 向右平移3π4个单位
4.已知α∈(π4,3π4),sin2α−2cs2α=1，则tan(π4−α)=( )
A. −2B. −12C. 12D. 2
5.已知函数f(x)=2sin2ωx+ 3sin2ωx(ω>0)在(0,π)上恰有两个零点，则ω的取值范围是( )
A. (23,1]B. (1,53]C. [23,1)D. [1,53)
6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且△ABC的面积S△ABC= 3，S△ABC= 34(a2+c2−b2)，则AB⋅BC=( )
A. 3B. − 3C. 2D. −2
7.用数学的眼光观察世界，神奇的彩虹角约为42°.如图，眼睛与彩虹之间可以抽象为一个圆锥，设AO是眼睛与彩虹中心的连线，AP是眼睛与彩虹最高点的连线，则称∠OAP为彩虹角.若平面ABC为水平面，BC为彩虹面与水平面的交线，M为BC的中点，BC=1200米，AM=800米，则彩虹(BPC)的长度约为(参考数据：sin42°≈0.67，sin1.1≈6067)( )
A. (1340π−1474)米B. (1340π−670)米
C. (2000π−1474)米D. (2000π−670)米
8.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c−b=2bcsA，则下列四个结论中正确的是( )
A. B=2A
B. B的取值范围为(0,π4)
C. ab的取值范围为( 2, 3)
D. 1tanB−1tanA+2sinA的最小值为2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. AB+BA=0
B. 若a，b为单位向量，则a=b
C. 若a/​/b、b/​/c，则a/​/c
D. 对于两个非零向量a，b，若|a+b|=|a−b|，则a⊥b
10.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是( )
A. 若acsA=bcsB，则△ABC为等腰三角形
B. 在锐角△ABC中，不等式sinA>csB恒成立
C. 若B=π3，a=2 3，且△ABC有两解，则b的取值范围是(3,2 3)
D. 若∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，BD=1，则4a+c的最小值为9
11.函数f(x)=cs(ωx+π6)(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后与原图象关于x轴对称，则下列结论一定正确的是( )
A. f(π2)=− 32B. f(x)的一个周期是π
C. f(x−π12)是偶函数D. f(x)在(0,π3ω)上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(−2,2),b=(1,1)，则a−b在b方向上的投影向量为______．
13.已知向量a=(m+1,m)，b=(2,−1)，若a与b所成的角为锐角，则实数m的取值范围为______．
14.已知函数f(x)=sin(2x+π6),g(x)=f(x2+π4)，若对任意的a，b∈[π−m,m]，当a>b时，f(a)−f(b)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c，
(1)若a=2且(2+b)⋅(sinA−sinB)=(c−b)sinC，求△ABC面积S的最大值
(2)△ABC为锐角三角形，且B=2C，若m=(sinA,csA)，n=(csB,sinB)，求|3m−2n|2的取值范围．
16.(本小题15分)
在△ABC中，AB=2 7，C=π6，点D在AC边上，且∠ADB=π3．
(1)若BD=4，求tan∠ABC；
(2)若AD= 3BC，求△ABC的周长．
17.(本小题15分)
在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ac=a2+b2−c2b2，且a≠c．
(1)求证：B=2C；
(2)若∠ABC的平分线交AC于D，且a=12，求线段BD的长度的取值范围．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=2 3sin2x+(sinx+csx)2− 3．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若x∈[−π4,π4]，求y=f(x)的最值及取最值时x的值；
(3)若函数y=f(x)−m在x∈[0,π2]内有且只有一个零点，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=4sin(ωx+π12)cs(ωx+π12)+1，其中ω>0．
(1)若f(x1)≤f(x)≤f(x2),|x1−x2|min=π2，求f(x)的对称中心；
(2)若2<ω<4，函数f(x)图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，x=π3是g(x)的一个零点，若函数g(x)在[m,n](m，n∈R且m(3)已知函数h(x)=acs(2x−π6)−2a(a<0)，在第(2)问条件下，若对任意x1∈[0,π4]，存在x2∈[0,π4]，使得h(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：已知向量a、b满足|a|=2，|b|=5，且a与b夹角的余弦值为15，
则a⋅b=|a||b|cs〈a,b〉=2×5×15=2，
所以(a+2b)⋅(2a−b)=2a2−2b2+3a⋅b=2×22−2×52+3×2=−36．
故选：A．
根据给定条件，利用数量积的运算律计算即得．
本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为a+b+c=0，所以a+b=−c，
所以|−c|=|a+b|= (a+b)2= a2+2a⋅b+b2= 1+2a⋅b+1= 3，
解得a⋅b=12，
设a与b的夹角为θ，θ∈[0,π]，
所以csθ=a⋅b|a||b|=12，所以θ=π3．
故选：B．
由题得a+b=−c，再由平面向量的数量积与夹角公式计算即可．
本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由题意：y=3cs(2x+π4)=3sin(2x+π4+π2)
=3sin(2x+3π4)=3sin[2(x+3π8)]，
故要得到函数y=3cs(2x+π4)的图象，
只需将y=3sin2x的图象向左平移3π8个单位，
故选：B．
根据诱导公式把函数化为同名函数，结合函数图象变换的性质即可判定．
本题考查的知识点：函数图象的平移变换，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为sin2α−2cs2α=1，
所以−2cs2α=1−sin2α，则−2(csα+sinα)(csα−sinα)=(csα−sinα)2，
因为α∈(π4,3π4)，所以csα−sinα≠0，csα+sinα≠0，
则tan(π4−α)=1−tanα1+tanα=csα−sinαcsα+sinα=−2．
故选：A．
利用三角函数的倍角公式，结合正切函数的和差公式，逆用正余弦的和差公式即可得解．
本题考查两角和与差的三角函数，考查运算能力，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：由题意，函数f(x)=1−cs2ωx+ 3sin2ωx=1+2sin(2ωx−π6)，
令f(x)=0，即sin(2ωx−π6)=−12，
∵00，∴−π6<2ωx−π6<2ωπ−π6，
又函数f(x)在(0,π)上恰有两个零点，
所以11π6<2ωπ−π6≤19π6，
解得1<ω≤53．
故选：B．
由二倍角公式和辅助角公式化简f(x)，利用已知x的范围，求出2ωx−π6的范围，根据函数恰有两个零点列不等式，解出ω的取值范围．
本题考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：∵△ABC的面积S△ABC= 3=12acsinB，
∴acsinB=2 3，
S△ABC= 34(a2+c2−b2)，
则 34(a2+c2−b2)=12acsinB，
∴tanB=sinBcsB= 3，
∵B∈(0,π)，
∴B=π3，sinB= 32，
∴ac=4
∴AB⋅BC=accs(π−B)=−2．
故选：D．
根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．
本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：在△AMB中，由勾股定理，
可得：AB= AM2+BM2= 8002+6002=1000，
连接PO，则在△APO中，PO=AP⋅sin42°≈670，
连接OB，OC，OM，则在△OBM中，
sin∠BOM=BMBO=600670=6067，
故∠BOM≈1.1，∠BOC≈2.2，
则彩虹(BPC)的长度约为：
(2π−2.2)×670=1340π−1474．
故选：A．
先求出圆锥的母线长，再求出圆锥的底面半径，连接OB，OC，OM，进而在△OBM中求∠BOM，最后利用弧长公式求得彩虹长度．
本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，属中档题．
8.【答案】C
【解析】解：对A：由正弦定理可将式子c−b=2bcsA化为sinC−sinB=2sinBcsA，
又sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，
代入上式得sinAcsB−csAsinB=sinB，即sin(A−B)=sinB，
因为00，故0所以A−B=B或A−B+B=π，即A=2B或A=π(舍去)，
所以A=2B，故A错误；
对B：因为△ABC为锐角三角形，A=2B，所以C=π−3B，
由0对C：ab=sinAsinB=sin2BsinB=2csB，
因为B∈(π6,π4)，所以csB∈( 22, 32)，2csB∈( 2, 3)，
即ab的取值范围为( 2, 3)，故C正确；
对D：1tanB−1tanA+2sinA=csBsinB−csAsinA+2sinA=sin(A−B)sinAsinB+2sinA
=1sinA+2sinA≥2 1sinA×2sinA=2 2，
当且仅当1sinA=2sinA，即sinA= 22时取等号，
但因为B∈(π6,π4)，所以A=2B∈(π3,π2)，sinA∈( 32,1)，无法取到等号，故D错误．
故选：C．
对A：借助正弦定理与两角差的正弦公式计算即可得；对B：借助锐角三角形及三角形内角的关系计算即可得；对C：借助正弦定理将边的比例化成正弦值的比例后借助角A与角B间的关系化简即可得；对D：借助三角函数间的关系与基本不等式计算即可得．
本题考查三角形的正弦定理、三角函数的恒等变换和基本不等式、正弦函数和余弦函数的性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：选项A，根据相反向量，知AB+BA=0，
故A正确；
选项B，由a，b为单位向量，
即|a|=|b|=1，
而a，b方向不一定相同，
故B错误；
选项C，规定零向量与任意向量共线，
即当b=0时，
则a/​/b，且b/​/c均成立，
而a，c为任意向量，它们不一定共线，
故C错误；
选项D，由|a+b|=|a−b|，
得|a+b|2=|a−b|2，
则a2+2a⋅b+b2=a2−2a⋅b+b2，
整理得a⋅b=0，
又已知a，b是两个非零向量，
故a⊥b．
故D正确．
故选：AD．
A项，由相反向量与加法运算几何意义可得；B项，单位向量a，b的方向不一定相同；C项，由零向量的规定它与任何向量共线可得；D项，两边平方展开化简可得．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量模的运算，属中档题．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查正弦定理及余弦定理的应用、三角形面积公式，基本不等式的性质的应用，属于中档题．
A项，用余弦定理统一成边形式化简判断出A的真假；B项，由△ABC为锐角三角形，与正弦函数的单调性可得B选项的真假；C项，结合图形，根据边角的关系与解的数量判断C的真假；D项，根据三角形面积可得到1a+1c=1，将4a+c变为(4a+c)(1a+1c)，展开后利用基本不等式，即可求得答案，判断出D的真假．
【解答】
解：选项A，因为acsA=bcsB，
由正弦定理可得：a(b2+c2−a2)2bc=b(a2+c2−b2)2ac，
所以有a2(b2+c2−a2)=b2(a2+c2−b2)，
整理可得(a2−b2)(a2+b2−c2)=0，
所以a=b或a2+b2=c2，
故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
选项B，若△ABC为锐角三角形，所以A+B>π2，
所以π2>A>π2−B>0，
由正弦函数y=sinx在(0,π2)单调递增，
则sinA>sin(π2−B)=csB，故B正确；
选项C，如图，
若△ABC有两解，则asinB所以3选项D，∠ABC的平分线交AC于点D，BD=1，
由S△ABC=S△ABD+S△BCD，由角平分线性质和三角形面积公式得，
得12acsin120°=12asin60°+12csin60°，
即ac=a+c，得1a+1c=1，
得4a+c=(4a+c)(1a+1c)=ca+4ac+5≥2 ca⋅4ac+5=4+5=9，
当且仅当ca=4ac，即c=2a=3时，取等号，故D正确．
故选BCD．
11.【答案】ABD
【解析】解：函数f(x)=cs(ωx+π6)(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到y=cs[ω(x+π2)+π6]的图象，
由题意可得cs[ω(x+π2)+π6]=−cs(ωx+π6)，即cs(ωx+ωπ2+π6)=−cs(ωx+π6)，
故ωπ2=π+2kπ,k∈Z，故ω=2+4k，k∈Z，由于ω>0，故ω=2+4k，k∈N，
故f(x)=cs[(2+4k)x+π6],k∈N，
对于A，f(π2)=cs[(2+4k)⋅π2+π6]=cs(π+π6)=− 32，A正确；
对于B，f(x+π)=cs[(2+4k)(x+π)+π6]=cs[(2+4k)x+π6]=f(x)，
即f(x)的一个周期是π，B正确；
对于C，f(x−π12)=cs[(2+4k)(x−π12)+π6]=cs[(2+4k)x−1+2k6π+π6]=cs[(2+4k)x−kπ3]，
不妨取k=1，此时f(x−π12)=cs(6x−π3)，此时函数不是偶函数，
即f(x−π12)不是偶函数，C错误；
对于D，当x∈(0,π3ω)时，ωx∈(0,π3)，ωx+π6∈(π6,π2)，
由于y=csx在(π6,π2)上单调递减，故f(x)在(0,π3ω)上单调递减，D正确．
故选：ABD．
根据三角函数图象平移变换结合平移后图象性质可得ω=2+4k，k∈N，即可得f(x)=cs[(2+4k)x+π6],k∈N，由此将x=π2代入可判断A；根据周期性定义可判断B；求出f(x−π12)的表达式结合偶函数定义判断C；结合x的范围，确定ωx+π6∈(π6,π2)，结合余弦函数单调性，判断D．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图象的平移变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12.【答案】(−1,−1)
【解析】解：a=(−2,2),b=(1,1)⇒a−b=(−3,1)，
a−b在b方向上的投影向量为(a−b)⋅b|b|2b=−3+12(1,1)=(−1,−1)．
故答案为：(−1,−1)．
根据投影向量的计算公式即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
13.【答案】(−2,−13)∪(−13,+∞)
【解析】解：根据题意，因为a与b所成的角为锐角，故a⋅b>0且a,b不共线同向．
若a⋅b>0，即2(m+1)−m>0，解可得m>−2．
若a,b共线，则−(m+1)=2m，解可得m=−13，
故实数m的取值范围为(−2,−13)∪(−13,+∞)．
故答案为：(−2,−13)∪(−13,+∞)．
根据题意，由向量数量积的性质可得a⋅b>0且a,b不共线同向，由此可得关于m的不等式，解可得答案．
本题考查向量数量积的运算和性质，涉及向量的夹角，属于基础题．
14.【答案】(π2,17π24]
【解析】解：g(x)=f(x2+π4)=sin(x+π2+π6)=cs(x+π6)，
所以f(a)−f(b)所以sin(2a+π6)−sin(2b+π6)所以sin(2a+π6)−cs(2a+π6)所以 2sin(2a+π6−π4)< 2sin(2b+π6−π4)⇒sin(2a−π12)因为对任意的a，b∈[π−m,m]，当a>b时，f(a)−f(b)所以对任意的a，b∈[π−m,m]，当a>b时，2a−π12>2b−π12,sin(2a−π12)x∈[π−m,m],2x−π12∈[23π12−2m,2m−π12]．
不妨设2x−π12=t，则问题转化成h(t)=sint在t∈(23π12−2m,2m−π12)单调递减，
所以23π12−2m≥π2+2kπ,2m−π12≤3π2+2kπ,2m−π12>23π12−2m其中k∈Z，解得π2所以m的取值范围为(π2,17π24]．
故答案为：(π2,17π24]．
将问题转化为对任意的a，b∈[π−m,m]，当a>b时，sin(2a−π12)本题考查了利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想，属难题．
15.【答案】解：(1)∵(2+b)⋅(sinA−sinB)=(c−b)sinC，
∴(2+b)⋅(a−b)=(c−b)c，
∵a=2，
∴(a+b)⋅(a−b)=(c−b)c，
即a2−b2=c2−bc，
∴bc=b2+c2−a2．
∴csA=b2+c2−a22bc=12．
∴A=π3．
∵a2=b2+c2−2bc⋅csA=b2+c2−bc≥bc，
∴bc≤a2=4．
∴S△ABC=12bcsinA= 3bc4≤ 3.当且仅当b=c时取等号．
∴△ABC的面积最大值为 3．
(2)∵m=(sinA,csA)，n=(csB,sinB)，
∴m2=1，n2=1，m⋅n=sinAcsB+csAsinB=sin(A+B)=sinC．
∴|3m−2n|2=9m2−12m⋅n+4n2=13−12sinC．
∵△ABC为锐角三角形，
∴0∵B=2C，A+B+C=π，
∴C=π−A3
∴π6∴12∴13−6 2<13−12sinC<7．
∴|3m−2n|2的取值范围是(13−6 2,7)．
【解析】(1)利用正弦定理可将已知条件化成a2−b2=c2−bc，再用余弦定理得出A，利用余弦定理和基本不等式可得出bc≤4，带入面积公式S△ABC=12bcsinA即可就出最大值．
(2)展开得|3m−2n|2=13−12sinC，然后利用△ABC为锐角三角形，且B=2C判断C的范围．
本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，向量运算及三角函数，属于中档题．
16.【答案】解：如图，已知∠ADB=π3，∠C=π6，
所以∠DBC=π6，则BD=CD．
在△BCD中，根据余弦定理，BC2=BD2+CD2−2BD·CDcs120°，
所以BC= 3CD．
(1)在△ADB中，AB=2 7，BD=4，∠ADB=π3，
由余弦定理AB2=AD2+BD2−2AD·BDcs∠ADB，
所以28=AD2+16−4AD，解得AD=6，所以AC=10，
在△ABC中，由正弦定理ACsin∠ABC=ABsin∠ACB，
所以10sin∠ABC=2 712，sin∠ABC=5 714，
由AC=10，BC=4 3，AB=2 7，在△ADB中，由AD>AB，得∠ABD>∠ADB=60°，
故∠ABC=∠ABD+∠DBC>π3+π6=π2，
所以cs∠ABC=− 1−sin2∠ABC=− 2114，
所以tan∠ABC=sin∠ABCcs∠ABC=−5 33
(2)设CD=x，则BC= 3x，从而AD= 3BC=3x，
故AC=AD+DC=4x．
在△ABC中，由余弦定理得AB2=BC2+AC2−2BC⋅ACcs30°，
因为AB=2 7，所以28=( 3x)2+(4x)2−2 3x⋅4x⋅ 32，解得x=2.
所以AD=6.故△ABC周长为8+2 3+2 7．
【解析】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力，属于中档题．
依题意可得∠DBC=π6，则BD=CD，BC2=BD2+CD2−2BD⋅CDcs120°，即BC= 3CD，
(1)在△ADB中，由余弦定理得AD=6，AC=10，在△ABC中，由正弦定理可得10sin∠ABC=2 712，sin∠ABC=5 714，cs∠ABC=− 1−sin2∠ABC=− 2114，
即可得tan∠ABC=sin∠ABCcs∠ABC=−5 33．
(2)设CD=x，则BC= 3x，从而AD= 3BC=3x，AC=AD+DC=4x，在△ABC中，由余弦定理得x=2.即可得△ABC周长．
17.【答案】解：(1)证明：因为ac=a2+b2−c2b2，
所以由余弦定理可得ac=2abcsCb2=2acsCb，即b=2ccsC，
所以由正弦定理可得sinB=2sinCcsC=sin2C，
所以在△ABC中，B=2C或B+2C=π，
又因为a≠c，
所以A≠C，
所以B=2C；
(2)在△BCD中，由正弦定理可得asin∠BDC=BDsinC，a=12，
即12sin∠BDC=BDsinC，
所以BD=12sinCsin∠BDC=12sinCsin2C=6csC，
因为△ABC是锐角三角形，且B=2C，
所以0解得π6所以4 3所以线段BD长度的取值范围是(4 3,6 2)．
【解析】(1)由题意利用余弦定理，二倍角公式，正弦定理化简已知等式可得sinB=sin2C，在△ABC中，可得B=2C或B+2C=π，结合a≠c，即可证明B=2C；
(2)在△BCD中，由正弦定理，二倍角的正弦公式可得BD=12sinCsin∠BDC=12sinCsin2C=6csC，由题意可得0本题主要考查了余弦定理，二倍角公式，正弦定理以及余弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
18.【答案】解：(1)f(x)=2 3sin2x+(sinx+csx)2− 3
=2 3⋅1−cs2x2+1+2sinxcsx− 3
=sin2x− 3cs2x+1
=2sin(2x−π3)+1，
故函数f(x)的最小正周期为2π2=π；
(2)由(1)知f(x)=2sin(2x−π3)+1，
因为x∈[−π4,π4]，
所以(2x−π3)∈[−5π6,π6]，
令t=(2x−π3)，则y=sint，函数y=sint在区间[−5π6,−π2]上单调递减，在区间[−π2,π6]上单调递增，
所以t=π6，即x=π4时，函数f(x)=2sin(2x−π3)+1有最大值，最大值为f(π4)=2，
当t=−π2，即x=−π12，函数f(x)=2sin(2x−π3)+1有最小值，最小值为f(−π12)=−1，
综上x∈[−π4,π4]，y=f(x)的最小值为−1，此时x=−π12；最大值为2，此时x=π4；
(3)因为函数y=f(x)−m在x∈[0,π2]内有且只有一个零点，
所以f(x)−m=0在x∈[0,π2]只有一个实根，
2sin(2x−π3)+1−m=0，即sin(2x−π3)=m−12，
即函数y=sin(2x−π3)在x∈[0,π2]的图象在与直线y=m−12只有一个交点，
当x∈[0,π2]时，2x−π3∈[−π3,2π3]，
画出y=sinz在z∈[−π3,2π3]上的图象，如下：

结合函数图象可知：函数y=sin(2x−π3)在区间x∈[0,π2]的图象与直线y=m−12只有一个交点时，
m−12∈[− 32, 32)∪{1}，即m∈[1− 3,1+ 3)∪{3}．
【解析】(1)根据三角恒等变换得到f(x)=2sin(2x−π3)+1，从而根据2π|ω|求出最小正周期；
(2)x∈[−π4,π4]时，(2x−π3)∈[−5π6,π6]，整体法求出函数的最值及对应的x；
(3)转化为y=sin(2x−π3)在x∈[0,π2]的图象在与直线y=m−12只有一个交点，画出y=sinz在z∈[−π3,2π3]上的图象，数形结合进行求解．
本题主要考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查了数形结合思想和函数思想，属于中档题．
19.【答案】解：(1)函数f(x)=4sin(ωx+π12)cs(ωx+π12)+1=2sin(2ωx+π6)+1，
若f(x1)≤f(x)≤f(x2),|x1−x2|min=π2，
则x1与x2是相邻的最小值点和最大值点，
∴f(x)的最小正周期为2×π2=π，
即2π2ω=π，解得ω=1，
得f(x)=2sin(2x+π6)+1，
令2x+π6=kπ(k∈Z)，
解得x=−π12+kπ2(k∈Z)，此时f(x)=1，
∴f(x)的对称中心为(−π12+kπ2,1)(k∈Z)；
(2)由题意可得g(x)=f(x−π6)=2sin[2ω(x−π6)+π6]+1=2sin(2ωx+1−2ω6π)+1，
又∵x=π3是g(x)的一个零点，
∴g(π3)=2sin(2ωπ3+1−2ω6π)+1=2sin(ωπ3+π6)+1=0，
∴2sin(ωπ3+π6)=−1，
∴sin(ωπ3+π6)=−12，
∴ωπ3+π6=7π6+2kπ(k∈Z)或ωπ3+π6=11π6+2kπ(k∈Z)，
解得ω=3+6k(k∈Z)或ω=5+6k(k∈Z)，
又2<ω<4，得ω=3，
∴g(x)=2sin(6x−56π)+1，
函数最小正周期T=2π6=π3，
令g(x)=0，即sin(6x−56π)=−12，
解得x=π9+k1π3(k1∈Z)或x=k2π3(k2∈Z)，
若g(x)在[m,n]上恰好有8个零点，
则3T要使n−m最小，则m，n恰好为g(x)的零点，
n−m的最小值为3×π3+π9=10π9；
(3)由(2)知，g(x)=2sin(6x−56π)+1，
设h(x)在[0,π4]上的值域为A，g(x)在[0,π4]上的值域为B，
若对任意x1∈[0,π4]，存在x2∈[0,π4]，使得h(x1)=g(x2)成立，
∴A⊆B，
当x∈[0,π4]，6x−5π6∈[−5π6,2π3]，sin(6x−5π6)∈[−1,1]，则B=[−1,3]，
当x∈[0,π4]，2x−π6∈[−π6,π3]，cs(2x−π6)∈[12,1]，则A=[−a,−32a]，
由A⊆B，可得−a≥−1−3a2≤3，
又a<0，解得−2≤a<0，
∴实数a的取值范围为[−2,0)．
【解析】(1)利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得ω，整体代入法求f(x)的对称中心；
(2)由图象平移变换得到函数g(x)，结合g(π3)=0和2<ω<4，得ω=3，根据g(x)的零点个数可得3T(3)根据已知，在[0,π4]上，h(x)的值域是g(x)值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式示结果．
本题考查了三角恒等变换、三角函数的图象及性质，属于中档题．