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    2023-2024学年山东省淄博实验中学、齐盛高级中学高一(下)诊断数学试卷(4月份)(含解析)
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    2023-2024学年山东省淄博实验中学、齐盛高级中学高一(下)诊断数学试卷(4月份)(含解析)

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    这是一份2023-2024学年山东省淄博实验中学、齐盛高级中学高一(下)诊断数学试卷(4月份)(含解析),共18页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.已知向量a、b满足|a|=2,|b|=5,且a与b夹角的余弦值为15,则(a+2b)⋅(2a−b)=( )
    A. −36B. −28C. 3 3D. 12
    2.已知平面向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=|b|=1,|c|= 3,则a与b的夹角为( )
    A. π4B. π3C. 23πD. 34π
    3.要得到函数y=3cs(2x+π4)的图象,只需将y=3sin2x的图象( )
    A. 向左平移π8个单位B. 向左平移3π8个单位
    C. 向左平移3π4个单位D. 向右平移3π4个单位
    4.已知α∈(π4,3π4),sin2α−2cs2α=1,则tan(π4−α)=( )
    A. −2B. −12C. 12D. 2
    5.已知函数f(x)=2sin2ωx+ 3sin2ωx(ω>0)在(0,π)上恰有两个零点,则ω的取值范围是( )
    A. (23,1]B. (1,53]C. [23,1)D. [1,53)
    6.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且△ABC的面积S△ABC= 3,S△ABC= 34(a2+c2−b2),则AB⋅BC=( )
    A. 3B. − 3C. 2D. −2
    7.用数学的眼光观察世界,神奇的彩虹角约为42°.如图,眼睛与彩虹之间可以抽象为一个圆锥,设AO是眼睛与彩虹中心的连线,AP是眼睛与彩虹最高点的连线,则称∠OAP为彩虹角.若平面ABC为水平面,BC为彩虹面与水平面的交线,M为BC的中点,BC=1200米,AM=800米,则彩虹(BPC)的长度约为(参考数据:sin42°≈0.67,sin1.1≈6067)( )
    A. (1340π−1474)米B. (1340π−670)米
    C. (2000π−1474)米D. (2000π−670)米
    8.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c−b=2bcsA,则下列四个结论中正确的是( )
    A. B=2A
    B. B的取值范围为(0,π4)
    C. ab的取值范围为( 2, 3)
    D. 1tanB−1tanA+2sinA的最小值为2 2
    二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
    9.下列说法中正确的是( )
    A. AB+BA=0
    B. 若a,b为单位向量,则a=b
    C. 若a/​/b、b/​/c,则a/​/c
    D. 对于两个非零向量a,b,若|a+b|=|a−b|,则a⊥b
    10.已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,下面四个结论正确的是( )
    A. 若acsA=bcsB,则△ABC为等腰三角形
    B. 在锐角△ABC中,不等式sinA>csB恒成立
    C. 若B=π3,a=2 3,且△ABC有两解,则b的取值范围是(3,2 3)
    D. 若∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,BD=1,则4a+c的最小值为9
    11.函数f(x)=cs(ωx+π6)(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后与原图象关于x轴对称,则下列结论一定正确的是( )
    A. f(π2)=− 32B. f(x)的一个周期是π
    C. f(x−π12)是偶函数D. f(x)在(0,π3ω)上单调递减
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
    12.已知向量a=(−2,2),b=(1,1),则a−b在b方向上的投影向量为______.
    13.已知向量a=(m+1,m),b=(2,−1),若a与b所成的角为锐角,则实数m的取值范围为______.
    14.已知函数f(x)=sin(2x+π6),g(x)=f(x2+π4),若对任意的a,b∈[π−m,m],当a>b时,f(a)−f(b)四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    15.(本小题13分)
    在△ABC中,设A、B、C的对边分别为a、b、c,
    (1)若a=2且(2+b)⋅(sinA−sinB)=(c−b)sinC,求△ABC面积S的最大值
    (2)△ABC为锐角三角形,且B=2C,若m=(sinA,csA),n=(csB,sinB),求|3m−2n|2的取值范围.
    16.(本小题15分)
    在△ABC中,AB=2 7,C=π6,点D在AC边上,且∠ADB=π3.
    (1)若BD=4,求tan∠ABC;
    (2)若AD= 3BC,求△ABC的周长.
    17.(本小题15分)
    在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知ac=a2+b2−c2b2,且a≠c.
    (1)求证:B=2C;
    (2)若∠ABC的平分线交AC于D,且a=12,求线段BD的长度的取值范围.
    18.(本小题17分)
    已知函数f(x)=2 3sin2x+(sinx+csx)2− 3.
    (1)求函数f(x)的最小正周期;
    (2)若x∈[−π4,π4],求y=f(x)的最值及取最值时x的值;
    (3)若函数y=f(x)−m在x∈[0,π2]内有且只有一个零点,求实数m的取值范围.
    19.(本小题17分)
    已知函数f(x)=4sin(ωx+π12)cs(ωx+π12)+1,其中ω>0.
    (1)若f(x1)≤f(x)≤f(x2),|x1−x2|min=π2,求f(x)的对称中心;
    (2)若2<ω<4,函数f(x)图象向右平移π6个单位,得到函数g(x)的图象,x=π3是g(x)的一个零点,若函数g(x)在[m,n](m,n∈R且m(3)已知函数h(x)=acs(2x−π6)−2a(a<0),在第(2)问条件下,若对任意x1∈[0,π4],存在x2∈[0,π4],使得h(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.
    答案和解析
    1.【答案】A
    【解析】解:已知向量a、b满足|a|=2,|b|=5,且a与b夹角的余弦值为15,
    则a⋅b=|a||b|cs〈a,b〉=2×5×15=2,
    所以(a+2b)⋅(2a−b)=2a2−2b2+3a⋅b=2×22−2×52+3×2=−36.
    故选:A.
    根据给定条件,利用数量积的运算律计算即得.
    本题考查了平面向量数量积的运算,属基础题.
    2.【答案】B
    【解析】解:因为a+b+c=0,所以a+b=−c,
    所以|−c|=|a+b|= (a+b)2= a2+2a⋅b+b2= 1+2a⋅b+1= 3,
    解得a⋅b=12,
    设a与b的夹角为θ,θ∈[0,π],
    所以csθ=a⋅b|a||b|=12,所以θ=π3.
    故选:B.
    由题得a+b=−c,再由平面向量的数量积与夹角公式计算即可.
    本题考查平面向量的数量积与夹角,属于基础题.
    3.【答案】B
    【解析】解:由题意:y=3cs(2x+π4)=3sin(2x+π4+π2)
    =3sin(2x+3π4)=3sin[2(x+3π8)],
    故要得到函数y=3cs(2x+π4)的图象,
    只需将y=3sin2x的图象向左平移3π8个单位,
    故选:B.
    根据诱导公式把函数化为同名函数,结合函数图象变换的性质即可判定.
    本题考查的知识点:函数图象的平移变换,主要考查学生的运算能力,属于基础题.
    4.【答案】A
    【解析】解:因为sin2α−2cs2α=1,
    所以−2cs2α=1−sin2α,则−2(csα+sinα)(csα−sinα)=(csα−sinα)2,
    因为α∈(π4,3π4),所以csα−sinα≠0,csα+sinα≠0,
    则tan(π4−α)=1−tanα1+tanα=csα−sinαcsα+sinα=−2.
    故选:A.
    利用三角函数的倍角公式,结合正切函数的和差公式,逆用正余弦的和差公式即可得解.
    本题考查两角和与差的三角函数,考查运算能力,属于中档题.
    5.【答案】B
    【解析】解:由题意,函数f(x)=1−cs2ωx+ 3sin2ωx=1+2sin(2ωx−π6),
    令f(x)=0,即sin(2ωx−π6)=−12,
    ∵00,∴−π6<2ωx−π6<2ωπ−π6,
    又函数f(x)在(0,π)上恰有两个零点,
    所以11π6<2ωπ−π6≤19π6,
    解得1<ω≤53.
    故选:B.
    由二倍角公式和辅助角公式化简f(x),利用已知x的范围,求出2ωx−π6的范围,根据函数恰有两个零点列不等式,解出ω的取值范围.
    本题考查三角函数的图象和性质,属于中档题.
    6.【答案】D
    【解析】解:∵△ABC的面积S△ABC= 3=12acsinB,
    ∴acsinB=2 3,
    S△ABC= 34(a2+c2−b2),
    则 34(a2+c2−b2)=12acsinB,
    ∴tanB=sinBcsB= 3,
    ∵B∈(0,π),
    ∴B=π3,sinB= 32,
    ∴ac=4
    ∴AB⋅BC=accs(π−B)=−2.
    故选:D.
    根据已知条件,结合余弦定理,以及三角形的面积公式,即可求解.
    本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题.
    7.【答案】A
    【解析】解:在△AMB中,由勾股定理,
    可得:AB= AM2+BM2= 8002+6002=1000,
    连接PO,则在△APO中,PO=AP⋅sin42°≈670,
    连接OB,OC,OM,则在△OBM中,
    sin∠BOM=BMBO=600670=6067,
    故∠BOM≈1.1,∠BOC≈2.2,
    则彩虹(BPC)的长度约为:
    (2π−2.2)×670=1340π−1474.
    故选:A.
    先求出圆锥的母线长,再求出圆锥的底面半径,连接OB,OC,OM,进而在△OBM中求∠BOM,最后利用弧长公式求得彩虹长度.
    本题考查解三角形问题,正弦定理的应用,属中档题.
    8.【答案】C
    【解析】解:对A:由正弦定理可将式子c−b=2bcsA化为sinC−sinB=2sinBcsA,
    又sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB,
    代入上式得sinAcsB−csAsinB=sinB,即sin(A−B)=sinB,
    因为00,故0所以A−B=B或A−B+B=π,即A=2B或A=π(舍去),
    所以A=2B,故A错误;
    对B:因为△ABC为锐角三角形,A=2B,所以C=π−3B,
    由0对C:ab=sinAsinB=sin2BsinB=2csB,
    因为B∈(π6,π4),所以csB∈( 22, 32),2csB∈( 2, 3),
    即ab的取值范围为( 2, 3),故C正确;
    对D:1tanB−1tanA+2sinA=csBsinB−csAsinA+2sinA=sin(A−B)sinAsinB+2sinA
    =1sinA+2sinA≥2 1sinA×2sinA=2 2,
    当且仅当1sinA=2sinA,即sinA= 22时取等号,
    但因为B∈(π6,π4),所以A=2B∈(π3,π2),sinA∈( 32,1),无法取到等号,故D错误.
    故选:C.
    对A:借助正弦定理与两角差的正弦公式计算即可得;对B:借助锐角三角形及三角形内角的关系计算即可得;对C:借助正弦定理将边的比例化成正弦值的比例后借助角A与角B间的关系化简即可得;对D:借助三角函数间的关系与基本不等式计算即可得.
    本题考查三角形的正弦定理、三角函数的恒等变换和基本不等式、正弦函数和余弦函数的性质,考查方程思想和运算能力、推理能力,属于中档题.
    9.【答案】AD
    【解析】解:选项A,根据相反向量,知AB+BA=0,
    故A正确;
    选项B,由a,b为单位向量,
    即|a|=|b|=1,
    而a,b方向不一定相同,
    故B错误;
    选项C,规定零向量与任意向量共线,
    即当b=0时,
    则a/​/b,且b/​/c均成立,
    而a,c为任意向量,它们不一定共线,
    故C错误;
    选项D,由|a+b|=|a−b|,
    得|a+b|2=|a−b|2,
    则a2+2a⋅b+b2=a2−2a⋅b+b2,
    整理得a⋅b=0,
    又已知a,b是两个非零向量,
    故a⊥b.
    故D正确.
    故选:AD.
    A项,由相反向量与加法运算几何意义可得;B项,单位向量a,b的方向不一定相同;C项,由零向量的规定它与任何向量共线可得;D项,两边平方展开化简可得.
    本题考查了平面向量数量积运算,重点考查了向量模的运算,属中档题.
    10.【答案】BCD
    【解析】【分析】
    本题考查正弦定理及余弦定理的应用、三角形面积公式,基本不等式的性质的应用,属于中档题.
    A项,用余弦定理统一成边形式化简判断出A的真假;B项,由△ABC为锐角三角形,与正弦函数的单调性可得B选项的真假;C项,结合图形,根据边角的关系与解的数量判断C的真假;D项,根据三角形面积可得到1a+1c=1,将4a+c变为(4a+c)(1a+1c),展开后利用基本不等式,即可求得答案,判断出D的真假.
    【解答】
    解:选项A,因为acsA=bcsB,
    由正弦定理可得:a(b2+c2−a2)2bc=b(a2+c2−b2)2ac,
    所以有a2(b2+c2−a2)=b2(a2+c2−b2),
    整理可得(a2−b2)(a2+b2−c2)=0,
    所以a=b或a2+b2=c2,
    故△ABC为等腰三角形或直角三角形,故A错误;
    选项B,若△ABC为锐角三角形,所以A+B>π2,
    所以π2>A>π2−B>0,
    由正弦函数y=sinx在(0,π2)单调递增,
    则sinA>sin(π2−B)=csB,故B正确;
    选项C,如图,
    若△ABC有两解,则asinB所以3选项D,∠ABC的平分线交AC于点D,BD=1,
    由S△ABC=S△ABD+S△BCD,由角平分线性质和三角形面积公式得,
    得12acsin120°=12asin60°+12csin60°,
    即ac=a+c,得1a+1c=1,
    得4a+c=(4a+c)(1a+1c)=ca+4ac+5≥2 ca⋅4ac+5=4+5=9,
    当且仅当ca=4ac,即c=2a=3时,取等号,故D正确.
    故选BCD.
    11.【答案】ABD
    【解析】解:函数f(x)=cs(ωx+π6)(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到y=cs[ω(x+π2)+π6]的图象,
    由题意可得cs[ω(x+π2)+π6]=−cs(ωx+π6),即cs(ωx+ωπ2+π6)=−cs(ωx+π6),
    故ωπ2=π+2kπ,k∈Z,故ω=2+4k,k∈Z,由于ω>0,故ω=2+4k,k∈N,
    故f(x)=cs[(2+4k)x+π6],k∈N,
    对于A,f(π2)=cs[(2+4k)⋅π2+π6]=cs(π+π6)=− 32,A正确;
    对于B,f(x+π)=cs[(2+4k)(x+π)+π6]=cs[(2+4k)x+π6]=f(x),
    即f(x)的一个周期是π,B正确;
    对于C,f(x−π12)=cs[(2+4k)(x−π12)+π6]=cs[(2+4k)x−1+2k6π+π6]=cs[(2+4k)x−kπ3],
    不妨取k=1,此时f(x−π12)=cs(6x−π3),此时函数不是偶函数,
    即f(x−π12)不是偶函数,C错误;
    对于D,当x∈(0,π3ω)时,ωx∈(0,π3),ωx+π6∈(π6,π2),
    由于y=csx在(π6,π2)上单调递减,故f(x)在(0,π3ω)上单调递减,D正确.
    故选:ABD.
    根据三角函数图象平移变换结合平移后图象性质可得ω=2+4k,k∈N,即可得f(x)=cs[(2+4k)x+π6],k∈N,由此将x=π2代入可判断A;根据周期性定义可判断B;求出f(x−π12)的表达式结合偶函数定义判断C;结合x的范围,确定ωx+π6∈(π6,π2),结合余弦函数单调性,判断D.
    本题考查的知识要点:三角函数的关系式的变换,函数的图象的平移变换,主要考查学生的理解能力和计算能力,属于中档题.
    12.【答案】(−1,−1)
    【解析】解:a=(−2,2),b=(1,1)⇒a−b=(−3,1),
    a−b在b方向上的投影向量为(a−b)⋅b|b|2b=−3+12(1,1)=(−1,−1).
    故答案为:(−1,−1).
    根据投影向量的计算公式即可求解.
    本题主要考查投影向量的公式,属于基础题.
    13.【答案】(−2,−13)∪(−13,+∞)
    【解析】解:根据题意,因为a与b所成的角为锐角,故a⋅b>0且a,b不共线同向.
    若a⋅b>0,即2(m+1)−m>0,解可得m>−2.
    若a,b共线,则−(m+1)=2m,解可得m=−13,
    故实数m的取值范围为(−2,−13)∪(−13,+∞).
    故答案为:(−2,−13)∪(−13,+∞).
    根据题意,由向量数量积的性质可得a⋅b>0且a,b不共线同向,由此可得关于m的不等式,解可得答案.
    本题考查向量数量积的运算和性质,涉及向量的夹角,属于基础题.
    14.【答案】(π2,17π24]
    【解析】解:g(x)=f(x2+π4)=sin(x+π2+π6)=cs(x+π6),
    所以f(a)−f(b)所以sin(2a+π6)−sin(2b+π6)所以sin(2a+π6)−cs(2a+π6)所以 2sin(2a+π6−π4)< 2sin(2b+π6−π4)⇒sin(2a−π12)因为对任意的a,b∈[π−m,m],当a>b时,f(a)−f(b)所以对任意的a,b∈[π−m,m],当a>b时,2a−π12>2b−π12,sin(2a−π12)x∈[π−m,m],2x−π12∈[23π12−2m,2m−π12].
    不妨设2x−π12=t,则问题转化成h(t)=sint在t∈(23π12−2m,2m−π12)单调递减,
    所以23π12−2m≥π2+2kπ,2m−π12≤3π2+2kπ,2m−π12>23π12−2m其中k∈Z,解得π2所以m的取值范围为(π2,17π24].
    故答案为:(π2,17π24].
    将问题转化为对任意的a,b∈[π−m,m],当a>b时,sin(2a−π12)本题考查了利用不等式恒成立求参数的取值范围,考查了转化思想,属难题.
    15.【答案】解:(1)∵(2+b)⋅(sinA−sinB)=(c−b)sinC,
    ∴(2+b)⋅(a−b)=(c−b)c,
    ∵a=2,
    ∴(a+b)⋅(a−b)=(c−b)c,
    即a2−b2=c2−bc,
    ∴bc=b2+c2−a2.
    ∴csA=b2+c2−a22bc=12.
    ∴A=π3.
    ∵a2=b2+c2−2bc⋅csA=b2+c2−bc≥bc,
    ∴bc≤a2=4.
    ∴S△ABC=12bcsinA= 3bc4≤ 3.当且仅当b=c时取等号.
    ∴△ABC的面积最大值为 3.
    (2)∵m=(sinA,csA),n=(csB,sinB),
    ∴m2=1,n2=1,m⋅n=sinAcsB+csAsinB=sin(A+B)=sinC.
    ∴|3m−2n|2=9m2−12m⋅n+4n2=13−12sinC.
    ∵△ABC为锐角三角形,
    ∴0∵B=2C,A+B+C=π,
    ∴C=π−A3
    ∴π6∴12∴13−6 2<13−12sinC<7.
    ∴|3m−2n|2的取值范围是(13−6 2,7).
    【解析】(1)利用正弦定理可将已知条件化成a2−b2=c2−bc,再用余弦定理得出A,利用余弦定理和基本不等式可得出bc≤4,带入面积公式S△ABC=12bcsinA即可就出最大值.
    (2)展开得|3m−2n|2=13−12sinC,然后利用△ABC为锐角三角形,且B=2C判断C的范围.
    本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用,向量运算及三角函数,属于中档题.
    16.【答案】解:如图,已知∠ADB=π3,∠C=π6,
    所以∠DBC=π6,则BD=CD.
    在△BCD中,根据余弦定理,BC2=BD2+CD2−2BD·CDcs120°,
    所以BC= 3CD.
    (1)在△ADB中,AB=2 7,BD=4,∠ADB=π3,
    由余弦定理AB2=AD2+BD2−2AD·BDcs∠ADB,
    所以28=AD2+16−4AD,解得AD=6,所以AC=10,
    在△ABC中,由正弦定理ACsin∠ABC=ABsin∠ACB,
    所以10sin∠ABC=2 712,sin∠ABC=5 714,
    由AC=10,BC=4 3,AB=2 7,在△ADB中,由AD>AB,得∠ABD>∠ADB=60°,
    故∠ABC=∠ABD+∠DBC>π3+π6=π2,
    所以cs∠ABC=− 1−sin2∠ABC=− 2114,
    所以tan∠ABC=sin∠ABCcs∠ABC=−5 33
    (2)设CD=x,则BC= 3x,从而AD= 3BC=3x,
    故AC=AD+DC=4x.
    在△ABC中,由余弦定理得AB2=BC2+AC2−2BC⋅ACcs30°,
    因为AB=2 7,所以28=( 3x)2+(4x)2−2 3x⋅4x⋅ 32,解得x=2.
    所以AD=6.故△ABC周长为8+2 3+2 7.
    【解析】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用,三角形的解法,考查计算能力,属于中档题.
    依题意可得∠DBC=π6,则BD=CD,BC2=BD2+CD2−2BD⋅CDcs120°,即BC= 3CD,
    (1)在△ADB中,由余弦定理得AD=6,AC=10,在△ABC中,由正弦定理可得10sin∠ABC=2 712,sin∠ABC=5 714,cs∠ABC=− 1−sin2∠ABC=− 2114,
    即可得tan∠ABC=sin∠ABCcs∠ABC=−5 33.
    (2)设CD=x,则BC= 3x,从而AD= 3BC=3x,AC=AD+DC=4x,在△ABC中,由余弦定理得x=2.即可得△ABC周长.
    17.【答案】解:(1)证明:因为ac=a2+b2−c2b2,
    所以由余弦定理可得ac=2abcsCb2=2acsCb,即b=2ccsC,
    所以由正弦定理可得sinB=2sinCcsC=sin2C,
    所以在△ABC中,B=2C或B+2C=π,
    又因为a≠c,
    所以A≠C,
    所以B=2C;
    (2)在△BCD中,由正弦定理可得asin∠BDC=BDsinC,a=12,
    即12sin∠BDC=BDsinC,
    所以BD=12sinCsin∠BDC=12sinCsin2C=6csC,
    因为△ABC是锐角三角形,且B=2C,
    所以0解得π6所以4 3所以线段BD长度的取值范围是(4 3,6 2).
    【解析】(1)由题意利用余弦定理,二倍角公式,正弦定理化简已知等式可得sinB=sin2C,在△ABC中,可得B=2C或B+2C=π,结合a≠c,即可证明B=2C;
    (2)在△BCD中,由正弦定理,二倍角的正弦公式可得BD=12sinCsin∠BDC=12sinCsin2C=6csC,由题意可得0本题主要考查了余弦定理,二倍角公式,正弦定理以及余弦函数的性质在解三角形中的综合应用,考查了转化思想和函数思想,属于中档题.
    18.【答案】解:(1)f(x)=2 3sin2x+(sinx+csx)2− 3
    =2 3⋅1−cs2x2+1+2sinxcsx− 3
    =sin2x− 3cs2x+1
    =2sin(2x−π3)+1,
    故函数f(x)的最小正周期为2π2=π;
    (2)由(1)知f(x)=2sin(2x−π3)+1,
    因为x∈[−π4,π4],
    所以(2x−π3)∈[−5π6,π6],
    令t=(2x−π3),则y=sint,函数y=sint在区间[−5π6,−π2]上单调递减,在区间[−π2,π6]上单调递增,
    所以t=π6,即x=π4时,函数f(x)=2sin(2x−π3)+1有最大值,最大值为f(π4)=2,
    当t=−π2,即x=−π12,函数f(x)=2sin(2x−π3)+1有最小值,最小值为f(−π12)=−1,
    综上x∈[−π4,π4],y=f(x)的最小值为−1,此时x=−π12;最大值为2,此时x=π4;
    (3)因为函数y=f(x)−m在x∈[0,π2]内有且只有一个零点,
    所以f(x)−m=0在x∈[0,π2]只有一个实根,
    2sin(2x−π3)+1−m=0,即sin(2x−π3)=m−12,
    即函数y=sin(2x−π3)在x∈[0,π2]的图象在与直线y=m−12只有一个交点,
    当x∈[0,π2]时,2x−π3∈[−π3,2π3],
    画出y=sinz在z∈[−π3,2π3]上的图象,如下:

    结合函数图象可知:函数y=sin(2x−π3)在区间x∈[0,π2]的图象与直线y=m−12只有一个交点时,
    m−12∈[− 32, 32)∪{1},即m∈[1− 3,1+ 3)∪{3}.
    【解析】(1)根据三角恒等变换得到f(x)=2sin(2x−π3)+1,从而根据2π|ω|求出最小正周期;
    (2)x∈[−π4,π4]时,(2x−π3)∈[−5π6,π6],整体法求出函数的最值及对应的x;
    (3)转化为y=sin(2x−π3)在x∈[0,π2]的图象在与直线y=m−12只有一个交点,画出y=sinz在z∈[−π3,2π3]上的图象,数形结合进行求解.
    本题主要考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用,考查了数形结合思想和函数思想,属于中档题.
    19.【答案】解:(1)函数f(x)=4sin(ωx+π12)cs(ωx+π12)+1=2sin(2ωx+π6)+1,
    若f(x1)≤f(x)≤f(x2),|x1−x2|min=π2,
    则x1与x2是相邻的最小值点和最大值点,
    ∴f(x)的最小正周期为2×π2=π,
    即2π2ω=π,解得ω=1,
    得f(x)=2sin(2x+π6)+1,
    令2x+π6=kπ(k∈Z),
    解得x=−π12+kπ2(k∈Z),此时f(x)=1,
    ∴f(x)的对称中心为(−π12+kπ2,1)(k∈Z);
    (2)由题意可得g(x)=f(x−π6)=2sin[2ω(x−π6)+π6]+1=2sin(2ωx+1−2ω6π)+1,
    又∵x=π3是g(x)的一个零点,
    ∴g(π3)=2sin(2ωπ3+1−2ω6π)+1=2sin(ωπ3+π6)+1=0,
    ∴2sin(ωπ3+π6)=−1,
    ∴sin(ωπ3+π6)=−12,
    ∴ωπ3+π6=7π6+2kπ(k∈Z)或ωπ3+π6=11π6+2kπ(k∈Z),
    解得ω=3+6k(k∈Z)或ω=5+6k(k∈Z),
    又2<ω<4,得ω=3,
    ∴g(x)=2sin(6x−56π)+1,
    函数最小正周期T=2π6=π3,
    令g(x)=0,即sin(6x−56π)=−12,
    解得x=π9+k1π3(k1∈Z)或x=k2π3(k2∈Z),
    若g(x)在[m,n]上恰好有8个零点,
    则3T要使n−m最小,则m,n恰好为g(x)的零点,
    n−m的最小值为3×π3+π9=10π9;
    (3)由(2)知,g(x)=2sin(6x−56π)+1,
    设h(x)在[0,π4]上的值域为A,g(x)在[0,π4]上的值域为B,
    若对任意x1∈[0,π4],存在x2∈[0,π4],使得h(x1)=g(x2)成立,
    ∴A⊆B,
    当x∈[0,π4],6x−5π6∈[−5π6,2π3],sin(6x−5π6)∈[−1,1],则B=[−1,3],
    当x∈[0,π4],2x−π6∈[−π6,π3],cs(2x−π6)∈[12,1],则A=[−a,−32a],
    由A⊆B,可得−a≥−1−3a2≤3,
    又a<0,解得−2≤a<0,
    ∴实数a的取值范围为[−2,0).
    【解析】(1)利用倍角公式化简函数解析式,由已知确定最小正周期,可得ω,整体代入法求f(x)的对称中心;
    (2)由图象平移变换得到函数g(x),结合g(π3)=0和2<ω<4,得ω=3,根据g(x)的零点个数可得3T(3)根据已知,在[0,π4]上,h(x)的值域是g(x)值域的子集,求出这两个值域,由包含关系构造不等式示结果.
    本题考查了三角恒等变换、三角函数的图象及性质,属于中档题.
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