2022-2023学年山东省威海市乳山市银滩高级中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省威海市乳山市银滩高级中学高二上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．设，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】计算，再计算模长得到答案.

【详解】，则，故.

故选：D

2．是等差数列，，，的第（    ）项．

A．98 B．99 C．100 D．101

【答案】C

【分析】等差数列，，中，，，由此求出，令，得到是这个数列的第100项．

【详解】解：等差数列，，中，，

令，得

是这个数列的第100项．

故选：C．

3．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由向量在向量上的投影向量为，计算即可求出答案．

【详解】解：向量，

则，，，

所以向量在向量上的投影向量为．

故选：．

4．设等差数列的前项和为，，，（    ）

A．2022 B．2021 C．2019 D．2018

【答案】B

【解析】先求出等差数列的公差，再由等差数列通项公式求解.

【详解】设等差数列的公差为，由，可得:

解得 ，则

所以

故选：B

5．已知双曲线，则（    ）

A．双曲线C的焦距为 B．双曲线C的虚轴长是实轴长的6倍

C．双曲线与双曲线C的渐近线相同 D．直线与双曲线C有公共点

【答案】C

【分析】根据双曲线的性质依次判断即可.

【详解】对A，由双曲线方程可得，则焦距为，故A错误；

对B，由双曲线方程可得，，故实轴长为2，虚轴长为，故虚轴长是实轴长的倍，故B错误.

对C，双曲线的渐近线为，双曲线的渐近线为，故C正确；

对D，将代入双曲线方程可得，方程无解，故没有公共点，故D错误.

故选：C.

6．已知四棱锥中，，，，则点到底面的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出平面的一个法向量，然后求与法向量夹角的余弦值，利用点到面的距离公式即可求解.

【详解】设是平面的一个法向量，

则由题设，即

令，可得， ，所以 ，    

，

，，

，

故点到平面的距离为

故点到平面的距离为，

故选：D．

【点睛】方法点睛：向量方法求点到面的距离

设是平面的一条斜线，是平面的一个法向量，则点到平面的距离为

7．直线与直线交于点，点是圆上的动点，为坐标原点，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意得直线过定点，直线过定点，且，从而得点在以为直径的圆上，又点是圆上的动点，从而可得的最大值为与两圆半径之和，再计算即可得解．

【详解】解：由题意可得直线过定点，直线过定点，当时，，

当时，的斜率，的斜率，因为，得，

点A在以为直径的圆上（不包含O），且圆心，半径，

又点是圆上的动点，且圆心，半径，

的最大值为．

故选：C.

8．是椭圆的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，I是的内切圆圆心，若的面积等于的面积的3倍，则椭圆C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设出点的坐标，根据内切圆半径公式表示出，然后再根据两个三角形的面积关系求出.

【详解】设椭圆方程为：

如图，设三角形的周长为，

由椭圆的定义可得

，

又，解之：

故选：B

二、多选题

9．已知点，且点P在圆上，C为圆心，则下列结论正确的是（    ）

A．的最大值为

B．以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为：

C．当最大时，的面积为

D．的面积的最大值为

【答案】BD

【分析】由求得最大值判断A，求出以AC为直径的圆的方程与圆C的方程相减得公共弦所在直线方程，判断B，由圆心在直线上，确定当时，直线距离最大为圆半径，从而求得的面积的最大值判断D，当最大时，是圆的切线，不可能，这样可判断C．

【详解】由已知圆心为，半径为，

，，即在圆外，在圆内，

，当且仅当是的延长线与圆的交点时等号成立，所以最大值是，A错；

中点为，圆方程为，

此方程与圆方程相减得并化简得，即为两圆公共弦所在直线方程，B正确；

直线的方程为，即，圆心在直线上，到直线的距离的最大值等于圆半径，

，所以的面积的最大值为，D正确；

当的面积为时，，而最大时，是圆的切线，此时，不可能有，因此C错误．

故选：BD．

10．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1+4a3＝S7，则以下结论正确的有（   ）

A．a14＝0 B．S14最小 C．S11＝S16 D．S27＝0

【答案】ACD

【分析】根据题意，由2a1+4a3＝S7，可得a14＝0，然后逐项分析即可得解.

【详解】因为数列{an}为等差数列，设其等差为d，由于2a1+4a3＝S7，

即6a1+8d＝7a1+21d，即a1+13d＝a14＝0，故A正确；

当时，Sn没有最小值，故B错误；

因为S16﹣S11＝a12+a13+a14+a15+a16＝5a14＝0，

所以S11＝S16，故C正确；

S27＝＝27（a1+13d）＝27a14＝0，故D正确.

故选：ACD.

11．在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点，则下列判断正确的是（    ）

A．为的中点

B．与所成的角为

C．平面

D．三棱锥与四棱锥的体积之比等于

【答案】ACD

【分析】在A中，连结，交于点，连结，则平面平面，推导出，由四边形是正方形，从而，进而；

在B中，由，得（或其补角）为与所成角，推导出，从而与所成角为；

在C中，推导出，，由此能证明平面；

在D中，设，则，．由此能求出三棱锥与四棱锥的体积之比等于．

【详解】解：在A中，连结，交于点，连结，则平面平面，

∵平面，平面，∴，

∵四边形是正方形，∴，∴，故A正确；

在B中，∵，∴（或其补角）为与所成角，

∵平面，平面，∴，

在中，，∴，

∴与所成角为，故B错误；

在C中，∵四边形为正方形，∴，

∵平面，平面，∴，

∵，、平面，

∴平面，故C正确；

在D中，设，则，

．

∴，故D正确．

故选：ACD．

12．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：(a>0，b>0)的离心率为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为，，则下列说法正确的是（    ）

A．双曲线C的渐近线方程为y=±2x B．双曲线C的方程为

C．为定值 D．存在点P，使得+=2

【答案】BCD

【解析】根据双曲线C：(a>0，b>0)的离心率为和抛物线的准线过双曲线的左焦点，分别求得a，b，验证选项A，B.然后根据斜率公式和点p的坐标，验证选项C，D.

【详解】因为双曲线C：(a>0，b>0)的离心率为，

所以，，渐近线方程为，故A错误；

又，则，所以双曲线方程为，故B正确；

因为，设，则，故C正确；

，因为点P在第一象限，渐近线方程为，所以，则 ，所以，所以存在点P，使得+=2，故正确；

故选：BCD

三、填空题

13．在数列中，若，，则________．

【答案】

【分析】根据题干递推关系可知数列为等差数列，由等差数列通项公式求出.

【详解】因为，即，

所以数列是公差为的等差数列，

又，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查等差数列，属于基础题.

14．已知，且与的夹角为钝角，则实数k的取值范围为_____．

【答案】

【解析】利用去掉反向的情形即得．

【详解】由，，

所以，解得

若与反向，则

则，所以

所以与的夹角为钝角则且

综上的范围是．

故答案为：

【点睛】思路点睛：本题考查向量的夹角与向量的数量积的关系，根据向量夹角求参数时，可由是两个非零向量，则夹角是锐角时，，夹角是钝角时，，反之要注意可能同向也可能反向．属于中档题.

15．已知点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，其中为切点，若的最大值为，则的值为________．

【答案】

【分析】根据直角三角形边与角的关系分析得到当最小时，最大，再根据当时，最小即可求解.

【详解】由题可知，，所以的最大值为，

在直角中，,，

所以当最小时，最大，此时，

所以，

当时，最小，等于圆心到直线的距离，

所以，解得，

故答案为: .

16．如图,椭圆的右焦点为,过的直线交椭圆于两点,点是点关于原点的对称点,若且,则椭圆的离心率为__________．

【答案】

【分析】作另一焦点,连接和和,则四边形为平行四边,进一步得到三角形为等腰直角三角形,设,求出,在三角形 中由勾股定理得,即可求出,则答案可求.

【详解】作另一焦点,连接和和,则四边形为平行四边,

所以,且,则三角形为等腰直角三角形,

设 ,则,解得,

,在三角形 中由勾股定理得,

所以,

故答案为:.

【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,属中档题.

四、解答题

17．已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交点，且与直线x+y﹣2＝0垂直．

(1)求直线l的方程；

(2)若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求得直线和直线的交点坐标，再用点斜式求得直线的方程.

（2）设圆的标准方程为，根据已知条件列方程组，求得，由此求得圆的标准方程.

【详解】（1）.

直线的斜率为，所以直线的斜率为，

所以直线的方程为.

（2）设圆的标准方程为，

则，

所以圆的标准方程为.

18．已知数列满足

(1)求的值；

(2)求的前50项和．

【答案】(1)2，

(2)675

【分析】（1）根据递推公式依次求出2,3,4,5项即可；（2）先说明奇数项成等差，然后将和分为奇数项与偶数项的和分别求和即可.

【详解】（1）根据递推公式可知：．

（2）根据递推公式知：当时，．

于是，即．

所以，是以1为首项，1为公差的等差数列；且

19．在①上的点到的距离比它到直线的距离少，

②是椭圆的一个焦点，

③，对于上的点的最小值为，

这三个条件任选一个，补充在下面问题中并完成解答.

已知抛物线的焦点为，满足        .

（1）求抛物线的标准方程；

（2）是抛物线上在第一象限内的一点，直线与交于两点，若的面积为，求的值.

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）选条件①：利用抛物线定义求解；选条件②：根据焦点坐标求解；选条件③：所根据三点共线时，线段的和最小，然后再结合两点间的距离公式求解；

（2）直线与抛物线联立，表示出弦长，然后根据的面积为，建立方程，解方程即可.

【详解】解：（1）选条件①：

由条件可解，到点的距离与到的距离相等，

由抛物线的定义可得，

所以抛物线的方程为

选条件②:

因为抛物线的焦点坐标为

所以由已知得椭圆的一个焦点为。

所以又，所以，

所以抛物线的方程为

选条件③：

由题意可知得，当三点共线时，，

由两点间距离公式，

解得，

所以抛物线的方程为

（2）把代入方程，可得，

设，

联立方程组消去可得，

由，解得，

又知，

所以

，

由到直线的距离为，

所以，

即，

解得或

经检验均满足，

所以的值为或.

20．如图，在三棱锥中，，，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论；

（2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果．

【详解】（1）因为，为的中点，所以，且．

连结．

因为，所以为等腰直角三角形，

且 ，由知．

由知，平面．

（2）［方法一］：【通性通法】向量法

如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ．

由已知得

取平面的法向量．

设，则．

设平面的法向量为．

由得 ，

可取

所以 ．由已知得 ．

所以 ．解得(舍去)， ．

所以 ．

又 ，所以 ．

所以与平面所成角的正弦值为．

［方法二］：三垂线＋等积法

由（1）知平面，可得平面平面．如图5，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即．

设，则，在中，．在中，由，得，则．设点C到平面的距离为h，由，得，解得，则与平面所成角的正弦值为．

［方法三］：三垂线＋线面角定义法

由（1）知平面，可得平面平面．如图6，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即．同解法1可得．

在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结．在中，．因为，所以．

由平面，可得平面平面，交线为．在平面内，由，可得平面，则为直线与平面所成的角．

设，则，又，所以直线与平面所成角的正弦值为．

［方法四］：【最优解】定义法

如图7，取的中点H，联结，则．过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）．联结，则即为二面角的平面角，即，得．

联结，则为直线与平面所成的角．在中，，所以．

【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法；

方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段；

方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦；

方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解．

21．数列的各项均为正数，其前项和为，，且.

（1）证明：数列为等差数列；

（2）若数列满足，求数列的前项和.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）求出，再得到，即可证数列为等差数列；

（2）由（1）知，，得到，即得解.

【详解】解：（1）因为，

当时，，，，所以，

当时，，所以，

即，

数列的各项均为正数，所以，

，而，所以当时，，

所以数列为等差数列.

（2）由（1）知，，

因为，所以

.

数列的前项和

22．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程.

（2）设动直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于，两点.在轴上是否存在定点，使得恒成立.若存在，求点的坐标.若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，定点.

【解析】（1）根据椭圆的离心率，以及椭圆过点，列出方程求出，，即可得出椭圆方程；

（2）先假设存在点满足题意，设，，，先讨论直线的斜率存在，设出直线方程，代入椭圆方程，根据韦达定理，以及向量数量积的坐标运算，根据题中条件，求出；再讨论直线斜率不存在时，求出，坐标，根据向量数量积求出，即可得出结果.

【详解】（1）因为椭圆的离心率，，所以，

则椭圆的方程为，

将代入方程，解得，，

∴椭圆的方程为；

（2）假设在轴上存在点满足题意，设，，.

当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为，

由消去，整理得

∴，

又，

∴

整理得

∵上式对任意值恒成立，

∴，

解得；

当直线的斜率不存在时，，，

∴，

∴

整理得，解得或.

综上所述，在轴上存在定点，使得恒成立.

【点睛】思路点睛：

求解圆锥曲线中的定点或定值问题时，一般需要联立直线与曲线方程，消去（或），得到关于（或）的一元二次方程，根据韦达定理，结合题中条件，即可求解.