山东省威海市乳山市银滩高级中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题

2023-2024学年度第一学期高一9月模块考试

数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间150分钟．考试结束后，将答卷纸和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（共60分）

注意事项

1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的班级、姓名、座号、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并将答题卡上的考号、科目、试卷类型涂好．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答卷纸各题的答题区域内作答；不能写在试题卷上，不按以上要求作答的答案无效．

1．在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（    ）

A． B． C． D．

2．如图，在三棱柱中，M为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（    ）

A． B． C． D．

3．若平面经过三点，，，则平面的法向量可以是（    ）

A． B． C． D．

4．设是平面的一个法向量，是直线l的一个方向向量，则直线l与平面的位置关系是（    ）

A．平行或直线在平面内  B．垂直

C．相交但不垂直  D．不能确定

5．已知向量为平面的法向量，点在内，则到的距离为（    ）

A． B． C． D．

6．如图，已知正方形ABCD和正方形ADEF的边长均为6，且它们所在的平面互相垂直，O是BE的中点，，则线段OM的长为（    ）

A． B． C． D．

7．在正方体中，若F，G分别是棱AB，的中点，则直线FG与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

8．如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，，，平面ABCD，则二面角的大小为（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9．下面是关于复数（为虚数单位）命题，其中真命题为（    ）

A．  B．

C．的共轭复数为  D．的虚部为

10．下列命题中正确的是（    ）

A．A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间向量的一组基底，则A，B，M，N四点共面

B．已知为空间向量的一组基底，若，则也是空间向量的一组基底

C．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线

D．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成角的正弦值为

11．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此之间的夹角都是60°，则下列说法中正确的是（    ）

A． B．

C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为

12．若将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列结论正确的有（    ）

A．AD与BC所成的角为45° B．AC与BD所成的角为90°

C．BC与平面ACD所成角的正弦值为 D．平面ABC与平面BCD所成角的正切值是

第Ⅱ卷（共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题目中横线上）

13．已知空间向量，，若，则实数x的值为______．

14．已知，，，点在平面ABC内，则______．

15．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面ABC，，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为______．

16．如图，在三棱锥中，，且，M、N分别是AB和SC的中点，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为______，直线SM与平面SAC所成角的大小为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，E为棱PC的中点．

（1）证明：；

（2）若F为棱PC上一点，满足，求线段PF的长．

18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，平面ABCD，，．

（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；

（2）求点D到平面PBC的距离．

19．如图1，在边长为5的菱形ABCD中，，现沿对角线BD把△ABD折起，折起后（如图2）使的余弦值为．

（1）求证：平面平面CBD；

（2）若M是AB的中点，求折起后AC与平面MCD所成角的正弦值．

20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，．

（1）求证：平面PAD；

（2）在棱AB上是否存在一点F，使得平面平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．

21．如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是梯形，，，，，，M为CD的中点，N为PB上一点，且．

（1）当时，求证：平面PAD；

（2）若直线AN与平面PBC所成角的正弦值为，求异面直线AD与CN所成角的余弦值．

22．如图，四棱锥的底面ABCD是直角梯形，，，平面平面ABCD，是等边三角形，，E，F，G分别是棱PD，PC，BC的中点．

（1）求证：平面EFG；

（2）求二面角的大小；

（3）若线段PB上存在一点Q，使得平面ADQ，且，求的值．

2023-2024学年度第一学期高一9月模块考试

数学试题答案全解全析

一、单项选择题

1．A  ∵复数z对应的点的坐标为，，．

2．A  ．

3．D  设平面的法向量为，对于A选项，，故A选项错误；对于B选项，，故B选项错误；对于C选项，，故C选项错误；对于D选项，由于，，且不共线向量，有共同的始点，故D选项正确．故选D．

4．A  因为，所以，故直线平面或直线平面．故选A．

5．B  解：∵向量为平面的法向量，点在内，，

∴，∴到的距离．

6．B  由题意可得DA，DC，DE两两互相垂直．以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，．因为O是BE的中点，所以．

因为，所以，所以，即线段OM的长为．故选B．

7．D  解法一：过F作BD的平行线交AC于点M，连接MG，易证得平面，所以，即为直线FG与平面所成的角，

设正方体的棱长为1，易得，，所以．

解法二：以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

设正方体的棱长为1，易得平面的一个法向量，，，所以．

设直线FG与平面所成的角为，则．

8．C  取BC中点M，连接DM，由已知可得四边形ADMB为正方形，易得DM，DA，DP两两互相垂直，故以点D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，

设平面PAB的一个法向量为，

则即令，则，所以．

设平面PBC的一个法向量为，易得，，

所以即令，则，所以，

所以．易知二面角的平面角为钝角，

所以二面角的大小为120°．故选C．

二、多项选择题

9．BD  解析：解：，，A错误；

，B正确；的共轭复数为，C错误；的虚部为，D正确．

10．ABD  对于A，A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间向量的一组基底，则，，共面，则A，B，M，N四点共面，故A正确；

对于B，已知为空间向量的一组基底，所以，，不共面，若，则，，也不共面，故也是空间向量的一组基底，故B正确；

对于C，因为，所以，所以或，故C错误；

对于D，因为，所以直线l与平面所成角的正弦值为，故D正确．

故选ABD．

11．AB  由题意可知平行六面体的各棱长均相等，设棱长为1，则，

所以，

，所以A正确．

，所以B正确．

向量，显然为等边三角形，故，所以向量与的夹角是120°，即向量与的夹角是120°，所以C不正确．

因为，，

所以，，

，

所以，所以D不正确．

故选AB．

12．BCD  取BD中点O，连接AO，CO．

若将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则，，，

∴以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则，，，，∴，，

∴，∴AD与BC所成的角为60°，故A不正确；

易得，，∵，∴，故B正确；

设平面ACD的一个法向量为，则取，则，

∴，又，设BC与平面ACD所成的角为，

∴，故C正确；

易知平面BCD的一个法向量，，，

设平面ABC的一个法向量为，

则取，则，，∴，

设平面ABC与平面BCD所成的角为，则，

∴，，

∴平面ABC与平面BCD所成角的正切值是，故D正确．故选BCD．

三、填空题

13．解：向量，，若，则，

解得．故答案为：1．

14．解：由共面向量定理，可设，其中x，，于是代入点的坐标有：

，得方程组：得，故答案为：11

15．答案 

解析  易知，，，故以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x轴，y轴，过点B且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，由M为PC的中点可得，

，，．

设为平面MBA的一个法向量，则即

令，则，所以，所以点P到平面MAB的距离．

16．答案  ；

解析  因为，所以以S为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．设，则，，，，，，

所以，，所以，

所以异面直线SM与BN所成的角的余弦值为．

易得平面SAC一个法向量为，则由得，

所以直线SM与平面SAC所成角的大小为．

四、解答题

17．解析  （1）证明：易得AB，AD，AP两两互相垂直，故以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，

∴，，∴，∴．（5分）

（2）由（1）可得，，，

由点F在棱PC上，设，，

∴．

∵，∴，解得，

∴，即线段PF的长为．（10分）

18．解析  （1）易得AB，AD，AP两两互相垂直，故以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，（2分）

所以，．

设异面直线PB与CD所成的角为，

则，（4分）所以异面直线PB与CD所成角的大小为．（6分）

（2）设平面PBC的一个法向量为，由（1）可得，

则即取，得，（9分）

所以点D到平面PBC的距离．（12分）

19．解析  （1）证明：在菱形ABCD中，记AC，BD的交点为O，

则，∵，∴．

将折起后变成三棱锥，在中，

．

在中，，∴，即．

又，，

∴平面CBD．又平面ABD，∴平面平面CBD．（5分）

（2）由（1）知OC，OD，OA两两互相垂直，故以O为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，（7分）

则，，，，，（8分）

∴，，．

设平面MCD的一个法向量为，

则即取，则，，∴．（10分）

设AC与平面MCD所成的角为，

则，

∴AC与平面MCD所成角的正弦值为．（12分）

20．解析  （1）证明：取PA的中点G，连接EG，DG．因为，且，，

所以，且，所以四边形BEGA为平行四边形，所以，且．

因为四边形ABCD是正方形，所以，，所以，且，

所以四边形CDGE为平行四边形，所以．

因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．（4分）

（2）易得AB，AD，AP两两互相垂直，故以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，（5分）

所以，，．

设平面PCE的一个法向量为，则

令，则，，所以．（8分）

假设存在点满足题意，如图，连接EF，DF，DE，则，．设平面DEF的一个法向量为，

则

令，则，，所以．（10分）

因为平面平面PCE，所以，即，所以，

故存在点满足题意，此时．（12分）

21．解析  （1）证明：当时，，在PA上取，连接EN，DE．

∵，，，∴，且．

∵M为CD的中点，，∴．又∵，∴，，

∴四边形DMNE是平行四边形，

∴，又∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD．（5分）

（2）过点D作于H，则，故DH，DC，DP两两互相垂直．以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，（6分）

则，，，，，

∴，，，，

则．

设平面PBC的一个法向量为，则即

令，则，，∴．（9分）

设直线AN与平面PBC所成的角为，则

，

解得或（舍去），则，，

设异面直线AD与CN所成的角为，易知，

所以，

所以异面直线AD与CN所成角的余弦值为．（12分）

22．解析（1）证明：取AD的中点H，连接EH，GH．

∵E，F，G，H分别是PD，PC，BC，AD的中点，

∴，，，∴．∴E，F，G，H四点共面．

∵，平面EFG，平面EFG，∴平面EFG．（4分）

（2）∵平面平面ABCD，平面平面，，∴平面PDC．

以DA，DC所在直线分别为x轴，y轴，过点D且与平面ABCD垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，

则，，，

∴，，易得平面EFD的一个法向量．

设平面EFG的一个法向量为，

∴即令，则，∴．（7分）

∴，

∴，易知二面角的平面角为锐角，

∴二面角的大小为30°．（8分）

（3）易得，，，，设，

则，，

，

∴，．（10分）

∵平面ADQ，∴，

∴，解得，满足题意．（12分）