高中数学高考4 第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系　新题培优练

这是一份高中数学高考4 第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系　新题培优练，共6页。试卷主要包含了直线l，已知圆C，如果圆C，已知直线l，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
[基础题组练]1．直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是(　　)A．[－，]　　　　　　 B．[－2，2]C．[－－1，－1]   D．[－2－1，2－1]解析：选D.圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d＝＝，若直线l与圆C恒有公共点，则≤2，解得－2－1≤m≤2－1，故选D.2．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为(　　)A．1   B．2C．3   D．4解析：选C.因为圆心到直线的距离为＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．3．(2019·成都模拟)已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则·的值是(　　)A．－   B.C．－   D．0解析：选A.在△OAB中，|OA|＝|OB|＝1，|AB|＝，可得∠AOB＝120°，所以·＝1×1×cos 120°＝－.4．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝(　　)A．－   B．±C．－   D．±解析：选D.记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，由圆心C到y轴的距离为1，|CA|＝|CB|＝可知，圆心C(1，2)到直线2x－y＋b＝0的距离也等于1才符合题意，于是＝1，解得b＝±.5．(2019·四川南充模拟)已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，圆O2的圆心坐标为(2，1)．若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，则圆O2的方程为(　　)A．(x－2)2＋(y－1)2＝6B．(x－2)2＋(y－1)2＝22C．(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22D．(x－2)2＋(y－1)2＝36或(x－2)2＋(y－1)2＝32解析：选C.设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r>0)．因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，所以直线AB的方程为4x＋4y＋r2－10＝0，圆心O1到直线AB的距离d＝，由d2＋22＝6，得＝2，所以r2－14＝±8，r2＝6或22.故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22.6．如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是________．解析：圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.依题意得0<<2＋2，所以0<|a|<2.所以a∈(－2，0)∪(0，2)．答案：(－2，0)∪(0，2)7．过点A(，1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是____________．解析：(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是x＝，此时直线l与圆相离，没有公共点，不符合题意．(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－)，即kx－y－k＋1＝0.因为直线l和圆有公共点，所以圆心到直线的距离小于或等于半径，则≤1，计算得0≤k≤，所以直线l的倾斜角的取值范围是.答案：8．(2019·唐山模拟)已知直线l：kx－y－k＋2＝0与圆C：x2＋y2－2y－7＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．解析：直线l的方程为y－2＝k(x－1)，经过定点P(1，2)，由已知可得圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝8，可知圆心C(0，1)，半径r＝2，由圆的性质可知当直线l与CP垂直时弦长最小，因为|CP|＝＝，故|AB|min＝2＝2.答案：29．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心坐标为(2，1)．(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．解：(1)因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心O1(0，－1)，半径r1＝2.设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2.又|O1O2|＝＝2，所以r2＝|O1O2|－r1＝2－2.所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，又圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，相减得AB所在的直线方程为4x＋4y＋r－8＝0.设线段AB的中点为H，因为r1＝2，所以|O1H|＝＝.又|O1H|＝＝，所以＝，解得r＝4或r＝20.所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.10．已知抛物线C：y2＝2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2.由可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上．(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4.故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径r＝.由于圆M过点P(4，－2)，因此·＝0，故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4.所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3，1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为＋＝.[综合题组练]1．(创新型)已知直线ax＋y－1＝0与圆C：(x－1)2＋(y＋a)2＝1相交于A、B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为(　　)A.或－1   B．－1C．1或－1   D．1解析：选C.由题意得圆心(1，－a)到直线ax＋y－1＝0的距离为，所以＝，解得a＝±1，故选C.2．(2019·合肥市第二次质量检测)在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点(0，1)，(0，3)，且与x轴正半轴相切，若圆C上存在点M，使得直线OM与直线y＝kx(k>0)关于y轴对称，则k的最小值为(　　)A.   B.C．2   D．4解析：选D.由圆C过点(0，1)，(0，3)知，圆心的纵坐标为＝2，又圆C与x轴正半轴相切，所以圆的半径为2，则圆心的横坐标x＝＝，即圆心为(，2)，所以圆C的方程为(x－)2＋(y－2)2＝4.因为k>0，所以k取最小值时，直线y＝－kx与圆相切，可得2＝，即k2－4k＝0，解得k＝4(k＝0舍去)，故选D.3．(应用型)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．解析：由x2＋y2＋2x－4y－4＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆C的圆心坐标为C(－1，2)，半径为3.由AC⊥BC可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形，故可得圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为，由点到直线的距离公式可得＝，解得a＝0或a＝6.答案：0或64．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．解析：因为两圆在点A处的切线互相垂直，所以OA⊥O1A，所以|OO1|＝＝5，故m＝±5，连接AB，交x轴于点C，由对称性知|AB|＝2|AC|＝2×2×＝4.答案：45．(2019·河北武邑中学4月模拟)已知⊙H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相等的四部分，且截x轴所得线段的长为2.(1)求⊙H的方程；(2)若存在过点P(a，0)的直线与⊙H相交于M，N两点，且|PM|＝|MN|，求实数a的取值范围．解：(1)设⊙H的方程为(x－m)2＋(y－n)2＝r2(r>0)，因为⊙H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相等的四部分，所以圆心H(m，n)一定是两互相垂直的直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0的交点，易得交点坐标为(2，1)，所以m＝2，n＝1.又⊙H截x轴所得线段的长为2，所以r2＝12＋n2＝2.所以⊙H的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝2.(2)设N(x0，y0)，由题意易知点M是PN的中点，所以M.因为M，N两点均在⊙H上，所以(x0－2)2＋(y0－1)2＝2，①＋＝2，即(x0＋a－4)2＋(y0－2)2＝8，②设⊙I：(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8，由①②知⊙H与⊙I：(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8有公共点，从而2－≤|HI|≤2＋，即≤≤3，整理可得2≤a2－4a＋5≤18，解得2－≤a≤1或3≤a≤2＋，所以实数a的取值范围是[2－，1]∪[3，2＋]．6.(综合型)如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴的正半轴交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|＝3.(1)求圆C的方程；(2)过点M任作一直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kAN＋kBN为定值．解：(1)因为圆C与y轴相切于点T(0，2)，可设圆心的坐标为(m，2)(m>0)，则圆C的半径为m，又|MN|＝3，所以m2＝4＋()2＝，解得m＝，所以圆C的方程为(x－)2＋(y－2)2＝.(2)证明：由(1)知M(1，0)，N(4，0)，当直线AB的斜率为0时，易知kAN＝kBN＝0，即kAN＋kBN＝0.当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝1＋ty，将x＝1＋ty代入x2＋y2－4＝0，并整理得，(t2＋1)y2＋2ty－3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以，则kAN＋kBN＝＋＝＋＝＝＝0.综上可知，kAN＋kBN为定值．