第5讲 素养提升之函数与导数新情境、新考法专项冲刺（新高考考向探究）-【冲刺双一流】备战2023年高考数学二轮复习核心专题讲练（新高考版）

第5讲　素养提升之函数与导数新情境、新考法专项冲刺
目录
一、新情境
角度1：紧跟社会热点
角度2：关注经济发展
角度3：聚焦科技前沿
角度4：结合生产实践
角度5：渗透数学文化
角度6：强调五育并举
二、新考法
角度1：以高观点为背景
角度2：以给定定义、热点信息为背景
角度3：考查开放、探究精神
角度4：考查数学运算、数据分析得核心素养
角度5：相近学科融合










一、新情境
角度1：紧跟社会热点
1．（2022·江西·萍乡市第二中学高三阶段练习（理））某容量为万立方米的小型湖，由于周边商业过度开发，长期大量排放污染物，水质变差，今年政府准备治理，用没有污染的水进行冲洗，假设每天流进和流出的水均为万立方米，下雨和蒸发正好平衡.用函数表示经过天后的湖水污染质量分数，已知，其中表示初始湖水污染质量分数.如果，要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的以下，至少需要经过（    ）天（参考数据：）
A．113 B．116 C．119 D．120
2．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））年月日，河南平顶山抽干湖水成功抓捕了两只鳄雀鳝，这一话题迅速冲上热搜榜．与此同时，关于外来物种泛滥的有害性受到了热议．为了研究某池塘里某种植物生长面积（单位：）与时间（单位：月）之间的关系，通过观察建立了函数模型（，，且）．已知第一个月该植物的生长面积为，第个月该植物的生长而积为，给出下列结论：
①第个月该植物的生长面积超过；
②若该植物的生长面积达到，则至少要经过个月；
③若，则成等差数列；
④若成等差数列，，，则．
其中正确结论的个数为（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川绵阳·高二期末（文））酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20～80mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了2.4mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（    ）
（参考数据：，）
A．12 B．11 C．10 D．9
4．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）2022年北京冬奥会成功举办，更加激发全国人民对冰雪运动的爱好，某地为响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场.该滑雪场中某滑道的示意图如图所示，点A，B分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为20.两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图象的一部分.综合滑行的安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面所成的夹角约为44°.若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则A，B两点在水平方向的距离约为（    ）

A．23 B．25 C．27 D．29
5．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三阶段练习）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T近似满足．有学者基于已有数据估计出．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为（    ）
A．3.6天 B．3.0天 C．2.4天 D．1.8天

角度2：关注经济发展
1．（2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三阶段练习）美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的，两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）成正比，已知投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示．现在公司准备投入40千万元资金同时生产，两种芯片，则可以获得的最大利润是______千万元．（毛收入＝营业收入－营业成本）

2．（2022·山东枣庄·高二期末）某小微企业制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，可获利0.4分，且能制作的瓶子的最大半径为6cm，当每瓶饮料的利润最大时，瓶子的半径为______cm．
3．（2022·北京丰台·高二期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.每个瓶子的造价P1（单位：元）、瓶内饮料的获利P2（单位：元）分别与瓶子的半径r（单位：cm，）之间的关系如图甲、乙所示.设制造商的利润为，给出下列四个结论：
①    当时，；
②    在区间上单调递减；
③    在区间上存在极小值；
④    在区间上存在极小值.
其中所有正确结论的序号是_________.

4．（2022·全国·高一）端午节来临之际，商家推出了两种礼盒进行售卖．A类礼盒中有4个甜味粽，4个肉馅粽；B类礼盒中有2个甜味粽，4个肉馅粽，6个咸鸭蛋，两种礼盒的成本分别为盒中食品的成本之和，包装费用忽略不计．其中，每个咸鸭蛋的成本为每个肉馅粽成本的，每个甜味粽的成本比每个肉馅粽的成本少，且每个甜味粽和每个肉馅粽的成本均为整数．已知A类礼盒的售价为50元，利润率为25%．端午节当天一共卖出了两类礼盒共计128盒，且卖出的B类礼盒至少50盒．后续工作人员在核算总成本的过程中，把每个甜味粽和每个肉馅粽的成本看反了，并用看反的每个肉馅粽的成本的去计算每个成鸭蛋的成本，结果算出来的总成本比实际总成本少了480元，则当日实际卖出的两种礼盒的总成本为______元．


角度3：聚焦科技前沿
1．（2022·北京朝阳·高二期末）激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数．函数是常用的激活函数之一，其解析式为．关于函数的以下结论
①函数是增函数；
②函数是奇函数；
③对于任意实数a，函数至少有一个零点；
④曲线不存在与直线垂直的切线．
其中所有正确结论的序号是___________．
2．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））在人工智能领域，神经网络是一个比较热门的话题．由神经网络发展而来的深度学习正在飞速改变着我们身边的世界．从AlphaGo到自动驾驶汽车，这些大家耳熟能详的例子，都是以神经网络作为其理论基础的．在神经网络当中，有一类很重要的函数称为激活函数，Sigmoid函数即是神经网络中最有名的激活函数之一，其解析式为：．下列关于Sigmoid函数的表述正确的是：______．
①Sigmoid函数是单调递增函数；
②Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为；
③对于任意正实数a，方程有且只有一个解；
④Sigmoid函数的导数满足：．
3．（2022·北京朝阳·高三阶段练习）2022年6月5日神舟十四号载人飞船在长征二号F遥十四运载火箭的托举下点火升空，成功进入预定轨道．我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．根据火箭理想速度公式，可以计算理想状态下火箭的最大速度v（单位：），其中（单位：）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，应称为总质比．己知A型火箭喷流相对速度为，根据以上信息：
（1）当总质比为50时，A型火箭的最大速度为___________；
（2）若经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为___________．
（所有结果保留整数，参考数据：）










角度4：结合生产实践
1．（2022·云南昆明·高一期末）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值（单位：万元）的小微企业进行奖励，奖励方案为：奖金y（单位：万元）随企业年产值x的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过企业年产值的15%．若函数，则m的取值范围为__________．
2．（2022·河北·承德市双滦区实验中学高一期中）某公司生产防疫器材，生产固定成本为20000元，若每生产一台该器材需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：，当该公司月生产量为______________台，公司利润最大，最大利润是____________________元（总收入=总成本+利润）
3．（2022·河南·安阳37中高一期中）某蔬菜仓库供应甲、乙两个大型超市．蔬菜仓库的设计容量为万吨，去年年底时该仓库的蔬菜存储量为万吨，从今年开始，每个月购进蔬菜万吨，再按照需求量向两个超市调出蔬菜．已知甲超市每月的蔬菜需求量为万吨，乙超市前个月的蔬菜总需求量为万吨，其中且，且前个月，乙超市的蔬菜总需求量为万吨．
(1)求第个月月底时，该仓库的蔬菜存储量（万吨）与的函数关系式；
(2)若要今年每月按计划购进蔬菜之后，仓库总能满足两个超市的需求，且每月调出蔬菜后，仓库的蔬菜剩余量不超过设计容量，试确定的取值范围．

















4．（2022·上海市南洋模范中学高一期中）2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新更强的爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入a万元，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员工x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
(1)求调整后企业对全部技术人员的年总投入和对全部研发人员的年总投入的表达式：
(2)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人?
(3)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件，①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不低于调整前的水平．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件，若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由．




角度5：渗透数学文化
1．（2022·重庆市第十一中学校高一阶段练习）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，､已知函数，则函数的值域是（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数（且）的反函数为（且）．已知函数，，则对于任意的，有恒成立，则实数k的取值范围为（    ）
A． B． C． D．

3．（2022·全国·高三专题练习）太极图被称为“中华第一图”，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼．太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美．现定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”．设圆，下列说法正确的是(    )

①函数是圆O的一个“太极函数”；
②若函数是圆O的“太极函数”，则；
③函数的图像关于原点中心对称是为圆O的“太极函数”的充要条件；
④圆O的所有非常值函数的太极函数都不能为偶函数．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
4．（2022·四川·南江中学高三阶段练习（文））中国魏晋期间伟大的数学家刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用多边形的周长近似代替圆的周长，随着边数的增加，正多边形的周长也越来越接近于圆的周长．这是世界上最早出现的“以直代曲”的例子．“以直代曲”的思想，在几何上，就是用直线或者直线段来近似代替曲线或者曲线段．利用“切线近似代替曲线”的思想方法计算，所得的结果用分数表示为__________．

角度6：强调五育并举
1．（2022·内蒙古赤峰·高三阶段练习（理））体育运动是增强体质的最积极有效的方法，经常进行体育运动能增强身体机能，提高抗病能力.对于岁的青少年，每天进行中等强度的运动有助于提高睡眠质量，使第二天精神充足，学习效率更高.是否达到中等强度运动，简单测量方法为，其中为运动后心率（单位：次/分）与正常时心率的比值，为每个个体的体质健康系数.若介于之间，则达到了中等强度运动；若低于25，则运动不足；若高于28，则运动过量.已知某同学正常时心率为78，体质健康系数，他经过慢跑后心率（单位：次/分）满足为慢跑里程（单位：米）.已知学校运动场每圈400米，若该同学要达到中等强度运动，则较合适的慢跑圈数为（    ）（e为自然对数的底数，）
A．3 B．4 C．5 D．6



2．（2022·湖南·永州市第一中学高三阶段练习）为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计的比赛，其中某位同学利用函数图象设计了如图的，那么该同学所选的函数最有可能是（    ）

A． B．
C． D．
3．（多选）（2022·吉林·长春市第五中学高二期中）意大利画家列奥纳多·达・芬奇的画作《抱银鼠的女子》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达・芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”．后人给出了悬链线的函数解析式： ，其中为曲线顶点到横坐标轴的距离， 称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地，双曲正弦函数的表达式为．若直线与双曲余弦函数双曲正弦函数的图象分别相交于点，，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，则下列结论正确的为（    ）
A．
B．是偶函数
C．
D．若是以为直角顶点的直角三角形，则实数










二、新考法
角度1：以高观点为背景
1．（2022·陕西·礼泉县第二中学高三阶段练习（理））黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在上，其解析式如下：．若函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当时，，则（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京朝阳·高三阶段练习）对于二元函数，若存在，则称为在点处对x的偏导数，记为；若存在，则称为在点处对y的偏导数，记为．已知二元函数，则下列命题为假命题的是（    ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为
3．（2022·上海市延安中学高一阶段练习）若，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：若，设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，则___________.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数和的定义域分别为和，若对任意的，都恰好存在个不同的实数，使得（其中，则称为的“重覆盖函数”，如，是，的“4重覆盖函数”．
(1)试判断，是否为，的“2重覆盖函数”，并说明理由；
(2)若为,的“3重覆盖函数”，求实数的取值范围；
(3)若，为，的“9重覆盖函数”，求的最大值．
5．（2022·广东深圳·高三阶段练习）记为函数的阶导数且，若存在，则称阶可导．英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称为次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值．据此计算在处的3次泰勒多项式为=_________；在处的10次泰勒多项式中的系数为_________



角度2：以给定定义、热点信息为背景
1．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高三阶段练习）国内首个百万千瓦级海上风电场－三峡阳江沙扒海上风电项目宣布实现全容量并网发电，为粤港澳大湾区建设提供清洁能源动力．风速预测是风电出力大小评估的重要工作，通常采用威布尔分布模型，有学者根据某地气象数据得到该地的威布尔分布模型：，其中k为形状参数，x为风速．已知风速为1m/s时，F≈0.221，则风速为4m/s时，（参考数据：，）（    ）
A．0.920 B．0.964 C．0.975 D．0.982
2．（多选）（2022·江苏·常州市第一中学高三开学考试）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知，其中为地震震级．下列说法正确的是（       ）．
A．若地震震级增加1级，则最大振幅增加到原来的10倍
B．若地震震级增加1级，则放出的能量增加到原来的10倍
C．若最大振幅增加到原来的10倍，则放出的能量也增加到原来的倍
D．若最大振幅增加到原来的10倍，则放出的能量增加到原来的1000倍
3．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））若可以作为一个三角形的三条边长，`则称函数是区间D上的“稳定函数”．已知函数是区间上的“稳定函数”，则实数m的取值范围为___________．
4．（2022·重庆·西南大学附中高一阶段练习）2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新的更强爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入万元，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？
(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．



















角度3：考查开放、探究精神
1．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在一点的邻域中的值，常见的公式有：；.则利用泰勒公式估计的近似值为（    ）（精确到）
A． B． C． D．
2．（2022·湖南湘潭·高三开学考试）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法.若定义是函数零点近似解的初始值，在点的切线为，切线与轴交点的横坐标为，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，X满足精度的初始值即为函数零点近似解．设函数，满足．应用上述方法，则（    ）
A．3 B． C． D．
3．（2022·湖北孝感·高三阶段练习）对于问题“求证方程只有一个解”，可采用如下方法进行证明“将方程化为，设，因为在上单调递减，且，所以原方程只有一个解”.类比上述解题思路，则不等式的解集是（    ）
A． B．
C． D．



角度4：考查数学运算、数据分析得核心素养
1．（2022·江苏省射阳中学高一期中）1614年纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算面发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系，对数源于指数，对数的发明先于指数，这已成为历史珍闻. ，，，估计的值约为（    ）
A．0.1654 B．0.2314 C．0.3055 D．0.4897
2．（2022·江苏·宿迁中学高一期中）空间复杂度是指一个算法运行过程所占用的空间，根据相关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而中国象棋空间复杂度的上限约为（参考数据：，则下列各数中与最接近的是（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏省如皋中学高一阶段练习）我们知道，任何一个正实数可以表示成（，），此时（）．当时，是位数．试用上述方法，判断是（    ）位数．（）．
A．607 B．608 C．609 D．610



角度5：相近学科融合
1．（2022·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：）
A．72 B．74 C．76 D．78
2．（2022·浙江大学附属中学高一期中）声强级Li（单位：dB）为声强I（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]（单位：dB），下列选项中错误的是（    ）
A．闻阈的声强级为0dB
B．此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：）
C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍
D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍
3．（2022·全国·高一单元测试）其类蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式为，其中为Peukert常数．为了测算该类蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间．则该蓄电池的Peukert常数大约为（参考数据：，）（    ）
A． B． C． D．2
4．（2022·全国·高一课时练习）纯音数学模型是函数音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是.下列说法中正确的是（    ）
A．函数不具有奇偶性
B．函数在区间上单调递增
C．若甲对应函数为，则甲响度一定比纯音响度大
D．若甲对应函数为，则声音甲一定比纯音更低沉
5．（多选）（2022·全国·高一课时练习）某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，若使这种溶液的杂质含量达到市场要求，则过滤次数可以为（参考数据：，）（    ）
A．7 B．8 C．9 D．10