适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第4章一元函数的导数及其应用解答题专项1第3课时利用导数研究函数的零点课件新人教A版

这是一份适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第4章一元函数的导数及其应用解答题专项1第3课时利用导数研究函数的零点课件新人教A版，共26页。PPT课件主要包含了不能漏掉这种情形，构造函数等内容，欢迎下载使用。

考点一 确定函数零点的个数(多考向探究预测)
考向1利用单调性和函数零点存在定理确定零点个数例1(2024·福建宁德模拟)已知函数f(x)=ex-4sin x,其中e为自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)证明:f(x)在[0,+∞)上有两个零点.
(1)解 因为f(x)=ex-4sin x,所以f'(x)=ex-4cs x,则f(0)=1,f'(0)=-3,故所求切线方程为y-1=-3(x-0),即3x+y-1=0.
(2)证明 设g(x)=f'(x)=ex-4cs x,则g'(x)=ex+4sin x.显然当x∈(0,π]时,g'(x)>0,当x∈(π,+∞)时,g'(x)>eπ-4>0,所以f'(x)在(0,+∞)上单调递增.
[对点训练1](2024·江苏南京模拟)已知函数f(x)=ex+(a-e2)x,其中a∈R.(1)若a=e2-2,求函数f(x)在[0,2]上的最值;(2)当a<0时,证明:F(x)=f(x)- ax2在(0,2)内存在唯一零点.
(1)解 当a=e2-2时,f(x)=ex-2x,所以f'(x)=ex-2.令f'(x)>0,得x>ln 2;令f'(x)<0,得x1,所以f(x)在[0,2]上的最小值为2-2ln 2,最大值为e2-4.
考向2数形结合确定零点个数例2(2024·江西赣州模拟)已知函数f(x)= .(1)求函数f(x)的最值;(2)讨论函数g(x)=aex-ln x-1的零点个数.
(2)函数g(x)=aex-ln x-1的零点个数就是方程aex-ln x-1=0的解的个数,整理
[对点训练2](2024·重庆巴蜀期末)已知函数f(x)=ax-ln x-2.(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;(2)讨论函数f(x)的零点个数.
解 (1)当a=1时,f(x)=x-ln x-2(x>0),f'(x)=1- (x>0),令f'(x)>0,则x>1;令f'(x)<0,则0作出函数g(x)的图象(如图所示),因此当a>e时,直线y=a与y=g(x)的图象没有交点;当a=e或a≤0时,直线y=a与y=g(x)的图象有1个交点;当0综上,当a>e时,函数f(x)没有零点;当a=e或a≤0时,函数f(x)有1个零点;当0考点二 已知函数零点个数求参数的取值范围
例3(12分)(2024·江苏常州模拟)已知函数f(x)=1+ln x+2ax(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性;突破口:结合定义域对a分类讨论.(2)若f(x)存在两个零点,求a的取值范围.关键点:先结合(1)中函数单调性得到最值,确定参数a的取值范围,然后借助零点存在定理进行推理验证.审题指导:(1)确定函数定义域,求导后,从x>0入手,分类讨论f'(x)>0解的情况,从而确定函数单调性;(2)首先由(1)中函数的单调性得到函数最值,确定参数a的取值范围,然后再寻找恰当的区间端点,根据零点存在定理确定参数的取值范围.
不能忽视函数的定义域
分类讨论后对结果进行综述
借助(1)问的结果
寻找恰当合理的区间端点值
根据零点存在定理判定
[对点训练3](12分)(2024·辽宁锦州模拟)已知函数f(x)=x3-aln x.(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;(2)函数f(x)在区间(1,e]上存在两个不同的零点,求实数a的取值范围.
考点三 可化为函数零点的参数问题
例4(2023·北京,20)设函数f(x)=x-x3eax+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-x+1.(1)求a,b的值;(2)设函数g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;(3)求f(x)的极值点个数.
解 (1)因为f(x)=x-x3eax+b,所以f'(x)=1-(3x2+ax3)eax+b,因为曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=-x+1,所以f(1)=-1+1=0,f'(1)=-1,则
(3)由(1)得f(x)=x-x3e-x+1(x∈R),f'(x)=1-(3x2-x3)e-x+1,由(2)知f'(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(-∞,0),(x1,x2)上单调递增,当x<0时,f'(-1)=1-4e2 <0,f'(0)=1>0,即f'(-1)f'(0)<0,所以f'(x)在(-∞,0)上存在唯一零点,不妨设为x3,则-10,f(x)单调递增;所以f(x)在(-∞,0)上有一个极小值点.
当x∈(0,x1)时,f'(x)在(0,x1)上单调递减,则f'(x1)=f'(3- )0,f(x)单调递增;当x4f'(3)=1>0,故f'(x1)f'(x2)<0,所以f'(x)在(x1,x2)上存在唯一零点,不妨设为x5,则x10,f(x)单调递增,所以f(x)在(x1,x2)上有一个极小值点;当x>x2=3+ >3时,3x2-x3=x2(3-x)<0,所以f'(x)=1-(3x2-x3)e-x+1>0,则f(x)单调递增,所以f(x)在(x2,+∞)上无极值点.综上可知,f(x)在(-∞,0)和(x1,x2)上各有一个极小值点,在(0,x1)上有一个极大值点,共有3个极值点.
[对点训练4](2024·广东深圳模拟)已知函数f(x)=xex+ax2(a∈R).(1)当a= 时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数g(x)=xln x+xex-f(x)有两个极值点,求实数a的取值范围.
(2)因为g(x)=xln x+xex-xex-ax2=xln x-ax2,定义域为(0,+∞),则g'(x)=ln x+1-2ax.又g(x)有两个极值点,所以g'(x)有两个变号零点,即方程ln x+1-2ax=0 (x∈(0,+∞))有两个不相等的实数根.