2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--第四章　一元函数的导数及其应用 高考解答题专项一　第3课时　利用导数研究函数的零点（课件）

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考向1.利用单调性和函数零点存在定理确定零点个数例1.(2021山东济南高三月考)若函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且满足f(x)-g(x)=cs 2x+e-x-ex.(1)求函数f(x),g(x)的解析式;(2)令h(x)=f(x)+g(x),试判断函数h(x)零点的个数.
解 (1)因为f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,所以
(2)由(1)得h(x)=cs 2x+ex-e-x,则h'(x)=-2sin 2x+ex+e-x,因为ex+e-x≥2(当且仅当ex=e-x,即x=0时取等号),-1≤sin 2x≤1,所以h'(x)≥0在R上恒成立,即h(x)在R上单调递增,
方法点拨利用单调性和函数零点存在定理确定零点个数(1)讨论函数的单调性,确定函数的单调区间;(2)在每个单调区间上,利用函数零点存在定理判断零点的个数;(3)注意区间端点的选取技巧;(4)含参数时注意分类讨论.
对点训练1(2021北京延庆高三模拟)已知函数f(x)=-ln x+2x-2.(1)求曲线y=f(x)的斜率等于1的切线方程;(2)求函数f(x)的极值;(3)设g(x)=x2f(x)-2f(x),判断函数g(x)的零点个数,并说明理由.
x0=1,所以y0=-ln 1+2-2=0,故切线方程为y=x-1.
考向2.利用两个函数图象的交点确定零点个数例2.(2021湖南长沙高三期中)已知函数f(x)=axex,a为非零实数.(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)讨论方程f(x)=(x+1)2的实数解的个数.
解 (1)f'(x)=aex+axex=a(x+1)ex,由f'(x)=0得x=-1.①若a>0时,由f'(x)0,g(x)在(-∞,-1)上单调递增;当x∈(-1,0)∪(0,+∞)时,g'(x)0时,原方程有且只有一个解;当ae时,h(x)>-1,又因为m≤4,所以- ≥-1.所以当m=4时,函数h(x)的图象与射线y=-1(x≥1)有两个交点,当m0.所以f(x)在(-∞,ln a)单调递减,在(ln a,+∞)单调递增,故当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a).
方法总结已知函数零点个数求参数取值范围问题的解法
对点训练3(2021辽宁锦州高三期中)已知函数f(x)=(x-1)ex+ax2,a∈R.(1)若a