适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用解答题专项一第3课时利用导数研究函数的零点课件北师大版

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考向1利用单调性和函数零点存在定理确定零点个数例题(2022·山东枣庄一模)已知函数f(x)=xex-asin x(a∈R).(1)若∀x∈[0,π],f(x)≥0,求a的取值范围;(2)当a≥-59时,试讨论f(x)在(0,2π)内零点的个数,并说明理由.
解 (1)f'(x)=(x+1)ex-acs x,①若a≤0,当x∈[0,π]时,-a≥0,sin x≥0,f(x)=xex+(-a)sin x≥0,当且仅当x=0时取等号,可见,a≤0符合题意.可见,当x∈[0,π]时,f'(x)≥0,当且仅当a=1,且x=0时取等号.所以f(x)在[0,π]上单调递增,所以f(x)≥f(0)=0.所以01,因为y=(x+1)ex在[0,π]上单调递增,y=-acs x在[0,π]上单调递增,所以f'(x)=(x+1)ex-acs x在[0,π]上单调递增,
当x∈(0,x0)时,f'(x)0,h(x)单调递增.所以h(x)min=h(2)=2-ln 2>0,即x>0时,h(x)>0恒成立.故当00,g(x)单调递增.所以g(x)min=g(1)=-e﹐又由x→0时,g(x)→0,当x→+∞时,g(x)→+∞,画出函数g(x)的示意图象,如图所示,
结合图象可得:当a