2023—2024学年下学期初中数学北师大新版七年级期中必刷常考题之两条直线的位置关系

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A．160°B．150°C．140°D．165°
2．如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，则∠3与∠1的关系是（ ）
A．∠3＝∠1B．∠3＝90°+∠1
C．∠3＝90°﹣∠1D．∠3＝180°﹣∠1
3．小明将一副三角板摆成如图形状，下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠COA＝∠DOBB．∠COA与∠DOA互余
C．∠AOD＝∠BD．∠AOD与∠COB互补
4．若∠1与∠2互补，∠3与∠1互余，则∠2﹣∠3的值为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．无法确定
5．如图，两个直角∠AOB，∠COD有公共顶点O，下列结论：
（1）∠AOC＝∠BOD；
（2）∠AOD是∠BOC的补角；
（3）若OC平分∠AOB，则OB平分∠COD；
（4）∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线．
其中正确的个数（ ）
A．4B．3C．2D．1
二．填空题（共5小题）
6．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝70°，∠1＝25°，则∠2＝ °．
7．如图，直线AB，CD相交于O，若∠EOC：∠EOD＝4：5，OA平分∠EOC，则∠BOE＝ ．
8．如图是一种对顶角量角器，它所测量的角的度数是 ，用它测量角的原理是 ．
9．已知∠1＝100°，若∠2与∠1互补，∠3与∠2互余，则∠3＝ °．
10．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，若∠AOC＝115°，则∠BOD＝ ．
三．解答题（共5小题）
11．如图1，已知，点O为直线AB上一点：OC在直线AB的上方，∠AOC＝60°．一直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）在图1的时刻，∠BOC的度数为 °，∠CON的度数为 °；
（2）如图2，当三角板绕点O旋转至一边OM恰好平分∠BOC时，求∠BON的度数；
（3）如图3，当三角板绕点O旋转至一边ON在∠AOC的内部时，∠AOM﹣∠CON的度数为 °；
（4）在三角板绕点O逆时针旋转180°的过程中，直接写出∠COM与∠AON的数量关系．
12．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC．
（1）若∠COE＝54°，求∠DOF的度数；
（2）若∠COE：∠EOF＝2：1，求∠DOF的度数．
13．已知O为直线AB上一点，作射线OC、OD、OM，且OM平分∠AOC．
（1）如图1，当OC、OD、OM均在AB上方时，若∠COD＝60°，∠BOC＝10°，求∠DOM的度数；
（2）如图2，当OC、OM在AB上方，OD在AB的下方时，若∠COD＝90°，∠AOD：∠BOC＝1：10，求∠DOM的度数；
（3）在（2）的条件下，作射线OP，若∠BOP与∠AOM互余，请画出图形，并求∠COP的度数．
14．如图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠BOC与∠BOD互为余角，且∠BOC＝4∠BOD．
（1）求∠BOC的度数；
（2）若OE平分∠AOC，求∠BOE的度数．
15．【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化．
【操作发现】如图①，∠AOB＝∠COD＝90°且两个角重合．
（1）将∠COD绕着顶点O顺时针旋转45°如图②，此时OB平分∠ ；∠BOC的余角有 个（本身除外），分别是 ．
【实践探究】
（2）将∠COD绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若∠BOC＝45°，射线OE在∠BOC内部，且∠BOC＝3∠BOE请探究：
①求∠DOE的度数．
②∠BOC的补角分别是： ．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版七年级期中必刷常考题之两条直线的位置关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，且∠DOC＝20°，则∠AOB＝（ ）
A．160°B．150°C．140°D．165°
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】A
【分析】求出∠AOD的度数，然后根据∠AOB＝∠AOD+∠DOB，即可得出答案．
【解答】解：∵∠AOC＝90°，∠COD＝20°，
∴∠AOD＝70°，
∴∠AOB＝∠AOD+∠DOB＝70°+90°＝160°．
故选：A．
【点评】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是仔细观察图形，求出∠AOD的度数．
2．如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，则∠3与∠1的关系是（ ）
A．∠3＝∠1B．∠3＝90°+∠1
C．∠3＝90°﹣∠1D．∠3＝180°﹣∠1
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
【分析】根据∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，可得∠1+∠2＝90°①，∠2+∠3＝180°②，通过求差，可得∠3与∠1的关系．
【解答】解：∵∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，
∴∠1+∠2＝90°①，∠2+∠3＝180°②，
②﹣①得，∠3﹣∠1＝180°﹣90°＝90°，
变形为：∠3＝90°+∠1，
故选：B．
【点评】本题考查互为余角、互为补角的意义，利用等式的性质进行恒等变形，是寻找关系的一般方法．
3．小明将一副三角板摆成如图形状，下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠COA＝∠DOBB．∠COA与∠DOA互余
C．∠AOD＝∠BD．∠AOD与∠COB互补
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由余角和补角的概念分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵∠COD＝∠AOB＝90°，
∴∠COD﹣∠AOD＝∠AOB﹣∠AOD，
即∠AOC＝∠DOB，故选项A不符合题意；
B、∵∠COA+∠DOA＝90°，
∴∠COA与∠DOA互余，故选项B不符合题意；
C、当AB⊥OD时，∠AOD＝∠B，故选项C符合题意；
D、∵∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠COA+∠AOB＝∠COD+∠AOB＝90°+90°＝180°，
∴∠AOD与∠COB互补，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了余角和补角的概念，熟记余角和补角的概念是解题的关键．
4．若∠1与∠2互补，∠3与∠1互余，则∠2﹣∠3的值为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．无法确定
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】根据∠1与∠2互补，∠3与∠1互余，可得∠1+∠2＝180°①，∠1+∠3＝90°②，通过求差，可得∠2与∠3的关系．
【解答】解：∵∠1与∠2互补，∠3与∠1互余，
∴∠1+∠2＝180°①，∠1+∠3＝90°②，
∴①﹣②得，∠2﹣∠3＝180°﹣90°＝90°．
故选：C．
【点评】本题考查互为余角、互为补角的意义，利用等式的性质进行恒等变形，是寻找关系的一般方法．
5．如图，两个直角∠AOB，∠COD有公共顶点O，下列结论：
（1）∠AOC＝∠BOD；
（2）∠AOD是∠BOC的补角；
（3）若OC平分∠AOB，则OB平分∠COD；
（4）∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线．
其中正确的个数（ ）
A．4B．3C．2D．1
【考点】余角和补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】A
【分析】根据角的计算和角平分线性质，对四个结论逐一进行计算即可．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠BOC，∠BOD＝90°﹣∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD；
故本选项正确．
（2）只要是图中的位置，该结论都正确；
故本选项正确．
（3）∵∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠COB＝45°，则∠BOD＝90°﹣45°＝45°，
∴OB平分∠COD；
故本选项正确．
（4）∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOC＝∠BOD（已证）；
∴∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线．
故本选项正确．
故选：A．
【点评】此题主要考查学生对角的计算，角平分线的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题，关键是明白互为余角的两角和为90度，互为补角的两角和为180度．
二．填空题（共5小题）
6．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝70°，∠1＝25°，则∠2＝ 45 °．
【考点】对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】45．
【分析】根据对顶角相等可得∠BOD＝70°，再根据角的和差关系可得答案．
【解答】解：∵∠AOC＝70°，∠AOC＝∠BOD，
∴∠BOD＝70°，
∵∠1＝25°，
∴∠2＝∠BOD﹣∠1＝70°﹣25°＝45°．
故答案为：45．
【点评】此题主要考查了对顶角，关键是掌握对顶角相等．
7．如图，直线AB，CD相交于O，若∠EOC：∠EOD＝4：5，OA平分∠EOC，则∠BOE＝ 140° ．
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用平角的定义得出：∠COE＝80°，∠EOD＝100°，进而结合角平分线的定义得出∠AOC＝∠BOD，进而得出答案．
【解答】解：∵∠EOC：∠EOD＝4：5，
∴设∠EOC＝4x，∠EOD＝5x，
故4x+5x＝180°，
解得：x＝20°，
可得：∠COE＝80°，∠EOD＝100°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠COA＝∠AOE＝40°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝140°．
故答案为：140°
【点评】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角，正确把握相关定义是解题关键
8．如图是一种对顶角量角器，它所测量的角的度数是 30° ，用它测量角的原理是 对顶角相等 ．
【考点】对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】30°，对顶角相等．
【分析】根据对顶角相等，由量角器所得度数就是要测量的角的度数．
【解答】解：由量角器的读数可知，所测量角的度数为30°，
原理：对顶角相等，
故答案为：30°，对顶角相等．
【点评】本题考查对顶角，掌握对顶角相等的性质，是正确应用的前提．
9．已知∠1＝100°，若∠2与∠1互补，∠3与∠2互余，则∠3＝ 10 °．
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据互余两角之和为90°，互补两角之和为180°，求解即可．
【解答】解：∵∠1＝100°，∠2与∠1互补，
∴∠2+∠1＝180°，
∴∠2＝80°，
∵∠3与∠2互余，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠3＝10°，
故答案为：10．
【点评】本题考查了余角和补角的知识，掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°是解答本题的关键．
10．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，若∠AOC＝115°，则∠BOD＝ 65° ．
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据角的和差关系即可解答．
【解答】解：∵∠AOC＝115°，
∴∠BOD＝∠COD+∠AOB﹣∠AOC＝90°+90°﹣115°＝65°．
故答案为：65°．
【点评】本题考查了余角和补角的知识，首先确定这几个角之间的关系，求出∠BOD的度数．
三．解答题（共5小题）
11．如图1，已知，点O为直线AB上一点：OC在直线AB的上方，∠AOC＝60°．一直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）在图1的时刻，∠BOC的度数为 120 °，∠CON的度数为 150 °；
（2）如图2，当三角板绕点O旋转至一边OM恰好平分∠BOC时，求∠BON的度数；
（3）如图3，当三角板绕点O旋转至一边ON在∠AOC的内部时，∠AOM﹣∠CON的度数为 30 °；
（4）在三角板绕点O逆时针旋转180°的过程中，直接写出∠COM与∠AON的数量关系．
【考点】余角和补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）120，150；（2）30°；（3）30°；（4）有三种①∠COM+∠AON＝210°，②∠AON﹣∠COM＝150°，③∠AON+∠COM＝150°．
【分析】（1）利用已知角求出∠BOC和∠CON即可；
（2）根据角平分线和已知角的度数求出∠BON即可；
（3）设∠AON＝x，∠AOM＝90°﹣x，∠CON＝60°﹣x，则有∠AOM﹣∠CON＝（90°﹣x）﹣（60°﹣x）＝30°．
（4）分情况进行分析计算即可．
【解答】解：（1）∠BOC＝180°﹣60°＝120°，∠CON＝90°+60°＝150°，
故答案为：120，150；
（2）∵OM恰好平分∠BOC，
∴∠COM＝∠BOM∠BOC＝60°，
∴∠BON＝∠MON﹣∠BOM＝90°﹣60°＝30°，
（3）设∠AON＝x，则∠AOM＝90°﹣x，∠CON＝60°﹣x，
∴∠AOM﹣∠CON＝（90°﹣x）﹣（60°﹣x）＝30°，
故答案为：30°；
（4）在三角板绕点O逆时针旋转180°的过程中，有三种情况，
①当OM在∠BOC内部，ON在OB下方时，如图：
∠COM+∠AON＝360°﹣90°﹣60°＝210°，
②当OM、ON都在∠COM内部时，如图：
∠AON﹣∠COM＝150°，
③当OM在∠AOC内部，ON在∠COB内部时，如图：
设∠AOM＝x，则∠AON＝90°+x，∠COM＝60°﹣x，
∴∠AON+∠COM＝150°，
综上分析∠COM与∠AON的数量关系有三种①∠COM+∠AON＝210°，②∠AON﹣∠COM＝150°，③∠AON+∠COM＝150°．
【点评】本题考查了角平分线以及角的计算，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键．
12．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC．
（1）若∠COE＝54°，求∠DOF的度数；
（2）若∠COE：∠EOF＝2：1，求∠DOF的度数．
【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】（1）108°．
（2）112.5°．
【分析】（1）先由OE⊥AB得出∠AOE＝∠BOE＝90°，再根据角平分线定义求出∠COF＝72°，然后由∠DOF＝180°﹣∠COF即可求解．
（2）设∠EOF＝x°，则∠COE＝2x°，则∠COF＝3x°，再根据角平分线定义求出∠AOF＝∠COF＝3x°，所以∠AOE＝4x°，由垂直的定义可知∠AOE＝90°，则4x＝90，解之，求出x即可．
【解答】解：（1）∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°；
∵∠COE＝54°，
∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝144°，
∵OF平分∠AOC，
∴∠COF∠AOC＝72°，
∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝108°．
（2）设∠EOF＝x°，则∠COE＝2x°，
∴∠COF＝3x°，
∵OF平分∠AOC，
∴∠AOF＝∠COF＝3x°，
∴∠AOE＝4x°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∴4x＝90，解得x＝22.5，
∴∠COF＝3x°＝67.5°，
∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝112.5°．
【点评】本题考查了角的计算，根据垂直的定义、角的和差关系列方程进行求解，即可计算出答案，难度适中．
13．已知O为直线AB上一点，作射线OC、OD、OM，且OM平分∠AOC．
（1）如图1，当OC、OD、OM均在AB上方时，若∠COD＝60°，∠BOC＝10°，求∠DOM的度数；
（2）如图2，当OC、OM在AB上方，OD在AB的下方时，若∠COD＝90°，∠AOD：∠BOC＝1：10，求∠DOM的度数；
（3）在（2）的条件下，作射线OP，若∠BOP与∠AOM互余，请画出图形，并求∠COP的度数．
【考点】余角和补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据图中角之间位置关系得角之间数量关系，∠MOD＝∠MOC﹣∠COD，计算求解．
（2）设∠AOD＝a，则∠BOC＝10a，∠AOC＝90°﹣a，由平角180°建立方程求解，得a＝10°，∠AOC＝80°，，于是∠DOM＝50°．
（3）分情况讨论：当P在AB上方，可求∠COP＝∠MOP﹣∠COM＝50°；当P在AB下方，可求得∠BOP＝50°，从而∠COP＝180°﹣∠AOC+∠BOP＝150°．
【解答】解：（1）∠AOC＝180°﹣10°＝170°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC＝170°÷2＝85°．
∴∠MOD＝85°﹣60°＝25°．
答：∠MOD为25°；
（2）设∠AOD＝a，则∠BOC＝10a，∠AOC＝90°﹣a，
由题意得：∠AOC+∠BOC＝90°﹣a+10a＝180°，
解得a＝10°．
∴∠AOC＝90°﹣10°＝80°，∠BOC＝100°．
∵OM平分∠AOC，
∴．
∴∠DOM＝40°+10°＝50°．
答：∠DOM的度数是50°；
（3）当P在AB上方，
∵∠BOP与∠AOM互余，
∴∠BOP+∠AOM＝90°．
∠MOP＝180°﹣（∠BOP+∠AOM）＝90°．
∵∠COM＝∠AOM＝40°，
∴∠COP＝∠MOP﹣∠COM＝90°﹣40°＝50°．
当P在AB下方，
∵∠BOP+∠AOM＝90°，∠AOM＝40°，
∴∠BOP＝50°．
∴∠COP＝180°﹣∠AOC+∠BOP＝180°﹣80°+50°＝150°．
答：∠COP是50°或150°．
【点评】本题主要考查角度的计算，根据图形中角之间的位置关系导出角之间的数量关系是解题的关键．
14．如图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠BOC与∠BOD互为余角，且∠BOC＝4∠BOD．
（1）求∠BOC的度数；
（2）若OE平分∠AOC，求∠BOE的度数．
【考点】余角和补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据余角的性质可得∠BOC+∠BOD＝90°．由已知条件∠BOC＝4∠BOD，可得∠BOC90°，计算即可得出答案．
（2））根据题意∠AOC与∠BOC互为补角，可得∠AOC+∠BOC＝180°．即可算出∠AOC＝180°﹣∠BOC的度数，由角平分线的定义可得，∠COEAOC的度数，根据∠BOE＝∠COE+∠BOC代入计算即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠BOC与∠BOD互为余角，
∴∠BOC+∠BOD＝90°．
∵∠BOC＝4∠BOD，
∴∠BOC90°＝72°．
（2）∵∠AOC与∠BOC互为补角，
∴∠AOC+∠BOC＝180°．
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣72°＝108°．
∵OE平分∠AOC，
∴∠COEAOC108°＝54°，
∴∠BOE＝∠COE+∠BOC＝54°+72°＝126°．
【点评】本题主要考查了余角和补角，角平分线的定义，熟练掌握余角和补角，角平分线的定义进行求解是解决本题的关键．
15．【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化．
【操作发现】如图①，∠AOB＝∠COD＝90°且两个角重合．
（1）将∠COD绕着顶点O顺时针旋转45°如图②，此时OB平分∠ COD ；∠BOC的余角有 2 个（本身除外），分别是 ∠AOC和∠BOD ．
【实践探究】
（2）将∠COD绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若∠BOC＝45°，射线OE在∠BOC内部，且∠BOC＝3∠BOE请探究：
①求∠DOE的度数．
②∠BOC的补角分别是： ∠AOC、∠BOD、∠AOD ．
【考点】余角和补角；角平分线的定义；角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）COD，2，∠AOC和∠BOD；
（2）①120°；②∠AOC、∠BOD、∠AOD．
【分析】（1）由旋转的性质得：∠AOC＝∠BOD＝45°，由此可求出∠COB＝45°，则∠COB＝∠BOD＝45°，根据角平分线的定义可得出答案；由∠BOC+∠AOC＝90°，∠BOC+∠BOD＝90°，根据余角的定义可得出答案；
（2）①先求出∠BOE＝15°，进而求出∠COE＝30°，然后根据∠DOE＝∠COD+∠COE可得出答案；
②根据∠COB＝45°，求出图中所有等于135°的角即可得出∠BOC的补角．
【解答】解：（1）由旋转的性质得：∠AOC＝∠BOD＝45°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠COB＝∠BOD＝45°，
∴OB平分∠COD；
∵∠BOC+∠AOC＝90°，∠BOC+∠BOD＝90°，
∴∠BOC的余角有2个，分别是：∠AOC和∠BOD；
故答案为：COD，2，∠AOC和∠BOD．
（2）①∵∠BOC＝45°，∠BOC＝3∠BOE，
∴∠BOE＝1/3∠BOC＝1/2×45°＝15°，
∴∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝45°﹣15°＝30°，
又∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝90°+30°＝120°，
②∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝45°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+45°＝135°，
∴∠AOC+∠BOC＝135°+45°＝180°，
∴∠BOC的补角是∠AOC；
∵∠BOD＝∠BOC+∠COD＝45°+90°＝135°，
∴∠BOD+∠BOC＝135°+45°＝180°，
∴∠BOC的补角是∠BOD；
∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣90°﹣45°﹣90°＝135°，
∴∠AOD+∠BOC＝135°+45°＝180°，
∴∠BOC的补角是∠AOD；
综上所述：∠BOC的补角是∠AOC、∠BOD、∠AOD．
故答案为：∠AOC、∠BOD、∠AOD．
【点评】此题主要考查了角度的计算，角平分线的定义，补角和余角的定义，熟练掌握角度的计算，理解角平分线的定义，补角和余角的定义是解决问题的关键．
考点卡片
1．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
2．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
3．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
4．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
5．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
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