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2023—2024学年下学期初中数学沪教新版七年级期中必刷常考题之领补角、对顶角
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这是一份2023—2024学年下学期初中数学沪教新版七年级期中必刷常考题之领补角、对顶角，共20页。试卷主要包含了下列说法中，正确的是，如图①，两条直线相交有一个交点等内容，欢迎下载使用。
1．如图所示，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠BOE＝36°，则∠AOF的度数为（ ）
A．54°B．126°C．36°D．90°
2．泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（ ）
A．等角的补角相等B．同角的余角相等
C．等角的余角相等D．同角的补角相等
3．如图，若∠AOC＝∠BOD＝Rt∠，则∠1＝∠2的理由是（ ）
A．同角的余角相等B．同角的补角相等
C．对顶角相等D．角平分线的定义
4．根据语句“直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M．”画出的图形是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．两点之间直线最短
B．如果∠α＝53°38'，那么∠α余角的度数为36.22°
C．如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小
D．相等的角是对顶角
二．填空题（共5小题）
6．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝70°，∠1＝25°，则∠2＝ °．
7．如图，直线AB，CD相交于O，若∠EOC：∠EOD＝4：5，OA平分∠EOC，则∠BOE＝ ．
8．如图是一种对顶角量角器，它所测量的角的度数是 ，用它测量角的原理是 ．
9．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝76°，∠1＝25°．则∠2的度数为 ．
10．如图①，两条直线相交有一个交点．如图②，三条直线相交最多有3个交点．如图③，四条直线相交最多有6个交点．如图④，五条直线相交最多有10个交点，则n条直线相交最多交点个数为 ．（用含n的代数式表示）
三．解答题（共5小题）
11．直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）若∠BOD＝68°，∠DOF＝90°，求∠EOF的度数；
（2）若OF平分∠COE，∠BOF＝30°，求∠BOD的度数．
12．如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作两条射线OM，ON，且∠AOM＝∠CON＝90°．
（1）若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；
（2）若∠1∠BOC，求∠AOC和∠MOD．
13．如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．
（1）求∠DOF的度数；
（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．
14．如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOE＝∠DOF＝90°．
（1）写出∠AOF的所有余角；
（2）若∠AOF＝69°，求∠BOF的度数．
15．如图1，直线AB与CD相交于点O，∠BOD＝50°，OE平分∠BOD，∠EOF＝55°，OG平分∠AOF．
（1）图中与∠BOE互补的角是 ；
（2）求∠DOG的度数；
（3）如图2，若射线OM从射线OF的位置出发，绕点O以每秒10°的速度逆时针旋转一周，当旋转时间为t秒时，OD，OM，OG三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请你直接写出旋转时间t的值．（旋转过程中∠DOM，∠GOM，∠DOG都只考虑小于180°的角）
2023—2024学年下学期初中数学沪教新版七年级期中必刷常考题之领补角、对顶角
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图所示，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠BOE＝36°，则∠AOF的度数为（ ）
A．54°B．126°C．36°D．90°
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义以及邻补角、对顶角的定义分别求出图形中的各个角，再根据角的和差关系进行计算即可．
【解答】解：∵OE平分∠BOD，∠BOE＝36°，
∴∠BOD＝2∠BOE＝72°，
∴∠BOC＝180°﹣∠BOD＝108°，
∵OF平分∠COB，
∴∠BOF＝∠COF∠BOC＝54°，
∵∠AOC＝∠BOD＝72°，
∴∠AOF＝∠AOC+∠COF
＝72°+54°
＝126°．
故选：B．
【点评】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，掌握角平分线的定义，对顶角相等以及邻补角的定义是正确解答的关键．
2．泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（ ）
A．等角的补角相等B．同角的余角相等
C．等角的余角相等D．同角的补角相等
【考点】对顶角、邻补角；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】D
【分析】由补角的性质：同角的补角相等，即可判断．
【解答】解：论证“对顶角相等”使用的依据是：同角的补角相等．
故选：D．
【点评】本题考查对顶角，邻补角，补角的性质，关键是掌握：补角的性质．
3．如图，若∠AOC＝∠BOD＝Rt∠，则∠1＝∠2的理由是（ ）
A．同角的余角相等B．同角的补角相等
C．对顶角相等D．角平分线的定义
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】A
【分析】由∠AOC＝∠BOD＝90°，得到∠1+∠BOC＝∠2+∠BOC＝90°，由此即可得到∠1＝∠2的理由．
【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠1+∠BOC＝∠2+∠BOC＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2的理由是同角的余角相等．
故选：A．
【点评】本题考查余角，关键是掌握余角的性质．
4．根据语句“直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M．”画出的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】相交线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】D
【分析】根据直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M进行判断，即可得出结论．
【解答】解：A．直线l2不经过点M，故本选项不合题意；
B．点M在直线l1上，故本选项不合题意；
C．点M在直线l1上，故本选项不合题意；
D．直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．两点之间直线最短
B．如果∠α＝53°38'，那么∠α余角的度数为36.22°
C．如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小
D．相等的角是对顶角
【考点】对顶角、邻补角；线段的性质：两点之间线段最短；度分秒的换算；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据线段的性质，度分秒的换算，余角与补角的性质，对顶角进行分析即可．
【解答】解：A、两点之间线段最短，故A不符合题意；
B、∵90°﹣53°38'＝36°22'，∴∠α余角的度数为36.22°，故B不符合题意；
C、如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小，故C符合题意；
D、相等的角不是对顶角，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查线段的性质，度分秒的换算，余角与补角，解答的关键是对相应的知识点的掌握．
二．填空题（共5小题）
6．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝70°，∠1＝25°，则∠2＝ 45 °．
【考点】对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】45．
【分析】根据对顶角相等可得∠BOD＝70°，再根据角的和差关系可得答案．
【解答】解：∵∠AOC＝70°，∠AOC＝∠BOD，
∴∠BOD＝70°，
∵∠1＝25°，
∴∠2＝∠BOD﹣∠1＝70°﹣25°＝45°．
故答案为：45．
【点评】此题主要考查了对顶角，关键是掌握对顶角相等．
7．如图，直线AB，CD相交于O，若∠EOC：∠EOD＝4：5，OA平分∠EOC，则∠BOE＝ 140° ．
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用平角的定义得出：∠COE＝80°，∠EOD＝100°，进而结合角平分线的定义得出∠AOC＝∠BOD，进而得出答案．
【解答】解：∵∠EOC：∠EOD＝4：5，
∴设∠EOC＝4x，∠EOD＝5x，
故4x+5x＝180°，
解得：x＝20°，
可得：∠COE＝80°，∠EOD＝100°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠COA＝∠AOE＝40°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝140°．
故答案为：140°
【点评】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角，正确把握相关定义是解题关键
8．如图是一种对顶角量角器，它所测量的角的度数是 30° ，用它测量角的原理是 对顶角相等 ．
【考点】对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】30°，对顶角相等．
【分析】根据对顶角相等，由量角器所得度数就是要测量的角的度数．
【解答】解：由量角器的读数可知，所测量角的度数为30°，
原理：对顶角相等，
故答案为：30°，对顶角相等．
【点评】本题考查对顶角，掌握对顶角相等的性质，是正确应用的前提．
9．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝76°，∠1＝25°．则∠2的度数为 51° ．
【考点】对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】51°．
【分析】根据对顶角相等可得∠BOD＝76°，再根据角的和差关系可得答案．
【解答】解：∵∠AOC＝76°，∠AOC＝∠BOD，
∴∠BOD＝76°，
∵∠1＝25°，
∴∠2＝∠BOD﹣∠1＝76°﹣25°＝51°．
故答案为：51°．
【点评】此题主要考查了对顶角，关键是掌握对顶角相等．
10．如图①，两条直线相交有一个交点．如图②，三条直线相交最多有3个交点．如图③，四条直线相交最多有6个交点．如图④，五条直线相交最多有10个交点，则n条直线相交最多交点个数为 n（n﹣1） ．（用含n的代数式表示）
【考点】相交线；列代数式．
【专题】规律型；线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据图①得最多交点的个数为1个，由图②得最多交点的个数为1+2＝3个，由图③得最多交点的个数为1+2+3＝6个，图④得出最多交点的个数为1+2+3+4＝10个；…，以此类推，n条直线相交最多交点个数为：1+2+3+4+…+（n﹣1），据此可得出答案．
【解答】解：由图①可知：两条直线有1个交点；
由图②可知：三条直线相交最多有3个交点，即3＝1+2；
由图③可知：四条直线相交最多有6个交点，即6＝1+2+3；
由图④可知，五条直线相交最多有10个交点，即10＝1+2+3+4；
…，以此类推，n条直线相交最多交点个数为：1+2+3+4+…+（n﹣1）n（n﹣1）．
故答案为：n（n﹣1）．
【点评】此题主要考查了图形的变化规律，解决问题时，首先要观察、分析、归纳总结出规律，在归纳总结规律时，要特别注意哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，哪些部分没有发生变化．
三．解答题（共5小题）
11．直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）若∠BOD＝68°，∠DOF＝90°，求∠EOF的度数；
（2）若OF平分∠COE，∠BOF＝30°，求∠BOD的度数．
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）56°；
（2）80°．
【分析】（1）根据已知条件得到∠BOF＝∠DOF﹣∠BOD＝90°﹣68°＝22°，角平分线得到，再根据∠EOF＝∠BOF+∠BOE，即可得解；
（2）角平分线和平角得到，再根据角平分线，得到，再利用∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE，进行计算即可．
【解答】解：（1）∵∠DOF＝90°，∠BOD＝68°，
∴∠BOF＝∠DOF﹣∠BOD＝90°﹣68°＝22°，
∵OE平分∠BOD，
∴，
∴∠EOF＝∠BOF+∠BOE＝22°+34°＝56°；
（2）∵OE平分∠BOD，
∴，
∴，
∵OF平分∠COE，
∴
，
∵∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE，
∴，
∴∠BOD＝80°．
【点评】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角度之间的和差，倍数关系，是解题的关键．
12．如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作两条射线OM，ON，且∠AOM＝∠CON＝90°．
（1）若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；
（2）若∠1∠BOC，求∠AOC和∠MOD．
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）135°；（2）60°；150°．
【分析】①根据角平分线定义求出∠1＝∠AOC＝45°，代入∠AOD＝180°﹣∠AOC求出即可；
②求出∠BOM＝180°﹣90°＝90°，根据∠1∠BOC求出∠1∠BOM＝30°，即可求出答案．
【解答】解：①∠AOM＝90°，OC平分∠AOM，
∴∠1＝∠AOC＝45°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC
＝180°﹣45°
＝135°；
②∵∠AOM＝90°，
∴∠BOM＝180°﹣90°＝90°，
∵∠1∠BOC，
∴∠1∠BOM＝30°，
∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°，
∠MOD＝180°﹣30°＝150°．
【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，掌握角平分线定义是关键．
13．如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．
（1）求∠DOF的度数；
（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】（1）90°；（2）60°．
【分析】（1）由角平分线定义得到∠DOF∠AOB，即可得到答案；
（2）由平角定义得到∠AOC＝30°，由对顶角的性质得到∠BOD＝30°，而∠DOF＝90°，即可求出∠EOF的度数．
【解答】解：（1）∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，
∴∠EOD∠BOE，∠EOF∠AOE，
∴∠EOD+∠EOF（∠BOE+∠AOE），
∴∠DOF∠AOB180°＝90°；
（2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOC＝30°，
∴∠BOD＝∠AOC＝30°，
∵OD平分∠BOE，
∴∠EOD＝∠BOD＝30°，
∴∠EOF＝∠DOF﹣∠EOD＝90°﹣30°＝60°．
【点评】本题考查角的计算，关键是掌握角平分线定义．
14．如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOE＝∠DOF＝90°．
（1）写出∠AOF的所有余角；
（2）若∠AOF＝69°，求∠BOF的度数．
【考点】对顶角、邻补角；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）∠BOD，∠AOC，∠EOF；
（2）111°．
【分析】（1）根据∠BOE＝∠DOF＝90°得到∠BOD+∠DOE＝∠FOE+∠DOE，∠FOC＝∠AOE＝90°，即可得到∠DOB＝∠FOE，结合∠DOB＝∠AOC即可得到答案；
（2）根据领补角互补即可得到答案．
【解答】解：（1）∵∠BOE＝∠DOF＝90°，
∴∠BOD+∠DOE＝∠FOE+∠DOE，∠FOC＝∠AOE＝90°，
∴∠DOB＝∠FOE，∠AOF+∠FOE＝90°，
∵∠DOB＝∠AOC，
∴∠AOF的余角有：∠BOD，∠AOC，∠EOF；
（2）∵∠AOF+∠BOF＝180°，∠AOF＝69°，
∴∠BOF＝180°﹣69°＝111°．
【点评】本题考查领补角互补，対顶角相等及两角和为90°则两角互余，解题的关键是根据90°等角及角度加减得到相等的角．
15．如图1，直线AB与CD相交于点O，∠BOD＝50°，OE平分∠BOD，∠EOF＝55°，OG平分∠AOF．
（1）图中与∠BOE互补的角是 ∠AOE和∠COE ；
（2）求∠DOG的度数；
（3）如图2，若射线OM从射线OF的位置出发，绕点O以每秒10°的速度逆时针旋转一周，当旋转时间为t秒时，OD，OM，OG三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请你直接写出旋转时间t的值．（旋转过程中∠DOM，∠GOM，∠DOG都只考虑小于180°的角）
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）∠AOE和∠COE；
（2）80°；
（3）1或13或25．
【分析】（1）根据补角的定义，进行判断即可；
（2）利用180°﹣∠BOD求出∠AOD，利用角平分线求出∠DOE，∠EOF﹣∠ODE求出∠DOF，∠AOD﹣∠FOD求出∠AOF，角平分线，求出∠GOF，∠GOF+∠DOF即可得解；
（3）分OM平分∠DOG，OG平分∠DOM，OD平分∠GOM三种情况讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE，
∵∠BOE+∠AOE＝180°，∠DOE+∠COE＝180°，
∴∠BOE+∠COE＝180°，
∴∠BOE互补的角是：∠AOE和∠COE；
故答案为：∠AOE和∠COE；
（2）∵∠BOD＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝130°，
∵OE平分∠BOD，
∴，
∵∠EOF＝55°，
∴∠DOF＝∠EOF﹣∠ODE＝30°，
∴∠AOF＝∠AOD﹣∠FOD＝100°
∵OG平分∠AOF，
∴，
∴∠DOG＝∠GOF+∠DOF＝80°；
（3）①当OM平分∠DOG时，
∵∠DOG＝80°，
∴，即：30°+∠FOM＝40°，
∴∠FOM＝10°，
∴t＝10°÷10°＝1；
②OG平分∠DOM时，
则：∠GOM＝∠DOG＝80°，
∴∠FOM＝∠MOG+∠FOG＝80°+50°＝130°
∴t＝130°÷10°＝13；
③当OD平分∠GOM时：
则：∠DOM＝∠DOG＝80°，
∴∠FOM＝∠DOF+∠DOM＝110°，
∴点M旋转的角度为：360°﹣∠FOM＝250°，
∴t＝250°÷10°＝25；
综上：t的值为：1或13或25．
【点评】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角的和差关系，是解题的关键．
考点卡片
1．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
2．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
3．度分秒的换算
（1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
（2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
4．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
5．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
6．相交线
（1）相交线的定义
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．
（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
7．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
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1．如图所示，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠BOE＝36°，则∠AOF的度数为（ ）
A．54°B．126°C．36°D．90°
2．泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（ ）
A．等角的补角相等B．同角的余角相等
C．等角的余角相等D．同角的补角相等
3．如图，若∠AOC＝∠BOD＝Rt∠，则∠1＝∠2的理由是（ ）
A．同角的余角相等B．同角的补角相等
C．对顶角相等D．角平分线的定义
4．根据语句“直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M．”画出的图形是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．两点之间直线最短
B．如果∠α＝53°38'，那么∠α余角的度数为36.22°
C．如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小
D．相等的角是对顶角
二．填空题（共5小题）
6．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝70°，∠1＝25°，则∠2＝ °．
7．如图，直线AB，CD相交于O，若∠EOC：∠EOD＝4：5，OA平分∠EOC，则∠BOE＝ ．
8．如图是一种对顶角量角器，它所测量的角的度数是 ，用它测量角的原理是 ．
9．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝76°，∠1＝25°．则∠2的度数为 ．
10．如图①，两条直线相交有一个交点．如图②，三条直线相交最多有3个交点．如图③，四条直线相交最多有6个交点．如图④，五条直线相交最多有10个交点，则n条直线相交最多交点个数为 ．（用含n的代数式表示）
三．解答题（共5小题）
11．直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）若∠BOD＝68°，∠DOF＝90°，求∠EOF的度数；
（2）若OF平分∠COE，∠BOF＝30°，求∠BOD的度数．
12．如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作两条射线OM，ON，且∠AOM＝∠CON＝90°．
（1）若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；
（2）若∠1∠BOC，求∠AOC和∠MOD．
13．如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．
（1）求∠DOF的度数；
（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．
14．如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOE＝∠DOF＝90°．
（1）写出∠AOF的所有余角；
（2）若∠AOF＝69°，求∠BOF的度数．
15．如图1，直线AB与CD相交于点O，∠BOD＝50°，OE平分∠BOD，∠EOF＝55°，OG平分∠AOF．
（1）图中与∠BOE互补的角是 ；
（2）求∠DOG的度数；
（3）如图2，若射线OM从射线OF的位置出发，绕点O以每秒10°的速度逆时针旋转一周，当旋转时间为t秒时，OD，OM，OG三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请你直接写出旋转时间t的值．（旋转过程中∠DOM，∠GOM，∠DOG都只考虑小于180°的角）
2023—2024学年下学期初中数学沪教新版七年级期中必刷常考题之领补角、对顶角
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图所示，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠BOE＝36°，则∠AOF的度数为（ ）
A．54°B．126°C．36°D．90°
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义以及邻补角、对顶角的定义分别求出图形中的各个角，再根据角的和差关系进行计算即可．
【解答】解：∵OE平分∠BOD，∠BOE＝36°，
∴∠BOD＝2∠BOE＝72°，
∴∠BOC＝180°﹣∠BOD＝108°，
∵OF平分∠COB，
∴∠BOF＝∠COF∠BOC＝54°，
∵∠AOC＝∠BOD＝72°，
∴∠AOF＝∠AOC+∠COF
＝72°+54°
＝126°．
故选：B．
【点评】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，掌握角平分线的定义，对顶角相等以及邻补角的定义是正确解答的关键．
2．泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（ ）
A．等角的补角相等B．同角的余角相等
C．等角的余角相等D．同角的补角相等
【考点】对顶角、邻补角；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】D
【分析】由补角的性质：同角的补角相等，即可判断．
【解答】解：论证“对顶角相等”使用的依据是：同角的补角相等．
故选：D．
【点评】本题考查对顶角，邻补角，补角的性质，关键是掌握：补角的性质．
3．如图，若∠AOC＝∠BOD＝Rt∠，则∠1＝∠2的理由是（ ）
A．同角的余角相等B．同角的补角相等
C．对顶角相等D．角平分线的定义
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】A
【分析】由∠AOC＝∠BOD＝90°，得到∠1+∠BOC＝∠2+∠BOC＝90°，由此即可得到∠1＝∠2的理由．
【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠1+∠BOC＝∠2+∠BOC＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2的理由是同角的余角相等．
故选：A．
【点评】本题考查余角，关键是掌握余角的性质．
4．根据语句“直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M．”画出的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】相交线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】D
【分析】根据直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M进行判断，即可得出结论．
【解答】解：A．直线l2不经过点M，故本选项不合题意；
B．点M在直线l1上，故本选项不合题意；
C．点M在直线l1上，故本选项不合题意；
D．直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．两点之间直线最短
B．如果∠α＝53°38'，那么∠α余角的度数为36.22°
C．如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小
D．相等的角是对顶角
【考点】对顶角、邻补角；线段的性质：两点之间线段最短；度分秒的换算；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据线段的性质，度分秒的换算，余角与补角的性质，对顶角进行分析即可．
【解答】解：A、两点之间线段最短，故A不符合题意；
B、∵90°﹣53°38'＝36°22'，∴∠α余角的度数为36.22°，故B不符合题意；
C、如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小，故C符合题意；
D、相等的角不是对顶角，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查线段的性质，度分秒的换算，余角与补角，解答的关键是对相应的知识点的掌握．
二．填空题（共5小题）
6．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝70°，∠1＝25°，则∠2＝ 45 °．
【考点】对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】45．
【分析】根据对顶角相等可得∠BOD＝70°，再根据角的和差关系可得答案．
【解答】解：∵∠AOC＝70°，∠AOC＝∠BOD，
∴∠BOD＝70°，
∵∠1＝25°，
∴∠2＝∠BOD﹣∠1＝70°﹣25°＝45°．
故答案为：45．
【点评】此题主要考查了对顶角，关键是掌握对顶角相等．
7．如图，直线AB，CD相交于O，若∠EOC：∠EOD＝4：5，OA平分∠EOC，则∠BOE＝ 140° ．
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用平角的定义得出：∠COE＝80°，∠EOD＝100°，进而结合角平分线的定义得出∠AOC＝∠BOD，进而得出答案．
【解答】解：∵∠EOC：∠EOD＝4：5，
∴设∠EOC＝4x，∠EOD＝5x，
故4x+5x＝180°，
解得：x＝20°，
可得：∠COE＝80°，∠EOD＝100°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠COA＝∠AOE＝40°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝140°．
故答案为：140°
【点评】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角，正确把握相关定义是解题关键
8．如图是一种对顶角量角器，它所测量的角的度数是 30° ，用它测量角的原理是 对顶角相等 ．
【考点】对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】30°，对顶角相等．
【分析】根据对顶角相等，由量角器所得度数就是要测量的角的度数．
【解答】解：由量角器的读数可知，所测量角的度数为30°，
原理：对顶角相等，
故答案为：30°，对顶角相等．
【点评】本题考查对顶角，掌握对顶角相等的性质，是正确应用的前提．
9．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝76°，∠1＝25°．则∠2的度数为 51° ．
【考点】对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】51°．
【分析】根据对顶角相等可得∠BOD＝76°，再根据角的和差关系可得答案．
【解答】解：∵∠AOC＝76°，∠AOC＝∠BOD，
∴∠BOD＝76°，
∵∠1＝25°，
∴∠2＝∠BOD﹣∠1＝76°﹣25°＝51°．
故答案为：51°．
【点评】此题主要考查了对顶角，关键是掌握对顶角相等．
10．如图①，两条直线相交有一个交点．如图②，三条直线相交最多有3个交点．如图③，四条直线相交最多有6个交点．如图④，五条直线相交最多有10个交点，则n条直线相交最多交点个数为 n（n﹣1） ．（用含n的代数式表示）
【考点】相交线；列代数式．
【专题】规律型；线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据图①得最多交点的个数为1个，由图②得最多交点的个数为1+2＝3个，由图③得最多交点的个数为1+2+3＝6个，图④得出最多交点的个数为1+2+3+4＝10个；…，以此类推，n条直线相交最多交点个数为：1+2+3+4+…+（n﹣1），据此可得出答案．
【解答】解：由图①可知：两条直线有1个交点；
由图②可知：三条直线相交最多有3个交点，即3＝1+2；
由图③可知：四条直线相交最多有6个交点，即6＝1+2+3；
由图④可知，五条直线相交最多有10个交点，即10＝1+2+3+4；
…，以此类推，n条直线相交最多交点个数为：1+2+3+4+…+（n﹣1）n（n﹣1）．
故答案为：n（n﹣1）．
【点评】此题主要考查了图形的变化规律，解决问题时，首先要观察、分析、归纳总结出规律，在归纳总结规律时，要特别注意哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，哪些部分没有发生变化．
三．解答题（共5小题）
11．直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）若∠BOD＝68°，∠DOF＝90°，求∠EOF的度数；
（2）若OF平分∠COE，∠BOF＝30°，求∠BOD的度数．
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）56°；
（2）80°．
【分析】（1）根据已知条件得到∠BOF＝∠DOF﹣∠BOD＝90°﹣68°＝22°，角平分线得到，再根据∠EOF＝∠BOF+∠BOE，即可得解；
（2）角平分线和平角得到，再根据角平分线，得到，再利用∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE，进行计算即可．
【解答】解：（1）∵∠DOF＝90°，∠BOD＝68°，
∴∠BOF＝∠DOF﹣∠BOD＝90°﹣68°＝22°，
∵OE平分∠BOD，
∴，
∴∠EOF＝∠BOF+∠BOE＝22°+34°＝56°；
（2）∵OE平分∠BOD，
∴，
∴，
∵OF平分∠COE，
∴
，
∵∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE，
∴，
∴∠BOD＝80°．
【点评】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角度之间的和差，倍数关系，是解题的关键．
12．如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作两条射线OM，ON，且∠AOM＝∠CON＝90°．
（1）若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；
（2）若∠1∠BOC，求∠AOC和∠MOD．
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）135°；（2）60°；150°．
【分析】①根据角平分线定义求出∠1＝∠AOC＝45°，代入∠AOD＝180°﹣∠AOC求出即可；
②求出∠BOM＝180°﹣90°＝90°，根据∠1∠BOC求出∠1∠BOM＝30°，即可求出答案．
【解答】解：①∠AOM＝90°，OC平分∠AOM，
∴∠1＝∠AOC＝45°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC
＝180°﹣45°
＝135°；
②∵∠AOM＝90°，
∴∠BOM＝180°﹣90°＝90°，
∵∠1∠BOC，
∴∠1∠BOM＝30°，
∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°，
∠MOD＝180°﹣30°＝150°．
【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，掌握角平分线定义是关键．
13．如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．
（1）求∠DOF的度数；
（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】（1）90°；（2）60°．
【分析】（1）由角平分线定义得到∠DOF∠AOB，即可得到答案；
（2）由平角定义得到∠AOC＝30°，由对顶角的性质得到∠BOD＝30°，而∠DOF＝90°，即可求出∠EOF的度数．
【解答】解：（1）∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，
∴∠EOD∠BOE，∠EOF∠AOE，
∴∠EOD+∠EOF（∠BOE+∠AOE），
∴∠DOF∠AOB180°＝90°；
（2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOC＝30°，
∴∠BOD＝∠AOC＝30°，
∵OD平分∠BOE，
∴∠EOD＝∠BOD＝30°，
∴∠EOF＝∠DOF﹣∠EOD＝90°﹣30°＝60°．
【点评】本题考查角的计算，关键是掌握角平分线定义．
14．如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOE＝∠DOF＝90°．
（1）写出∠AOF的所有余角；
（2）若∠AOF＝69°，求∠BOF的度数．
【考点】对顶角、邻补角；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）∠BOD，∠AOC，∠EOF；
（2）111°．
【分析】（1）根据∠BOE＝∠DOF＝90°得到∠BOD+∠DOE＝∠FOE+∠DOE，∠FOC＝∠AOE＝90°，即可得到∠DOB＝∠FOE，结合∠DOB＝∠AOC即可得到答案；
（2）根据领补角互补即可得到答案．
【解答】解：（1）∵∠BOE＝∠DOF＝90°，
∴∠BOD+∠DOE＝∠FOE+∠DOE，∠FOC＝∠AOE＝90°，
∴∠DOB＝∠FOE，∠AOF+∠FOE＝90°，
∵∠DOB＝∠AOC，
∴∠AOF的余角有：∠BOD，∠AOC，∠EOF；
（2）∵∠AOF+∠BOF＝180°，∠AOF＝69°，
∴∠BOF＝180°﹣69°＝111°．
【点评】本题考查领补角互补，対顶角相等及两角和为90°则两角互余，解题的关键是根据90°等角及角度加减得到相等的角．
15．如图1，直线AB与CD相交于点O，∠BOD＝50°，OE平分∠BOD，∠EOF＝55°，OG平分∠AOF．
（1）图中与∠BOE互补的角是 ∠AOE和∠COE ；
（2）求∠DOG的度数；
（3）如图2，若射线OM从射线OF的位置出发，绕点O以每秒10°的速度逆时针旋转一周，当旋转时间为t秒时，OD，OM，OG三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请你直接写出旋转时间t的值．（旋转过程中∠DOM，∠GOM，∠DOG都只考虑小于180°的角）
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）∠AOE和∠COE；
（2）80°；
（3）1或13或25．
【分析】（1）根据补角的定义，进行判断即可；
（2）利用180°﹣∠BOD求出∠AOD，利用角平分线求出∠DOE，∠EOF﹣∠ODE求出∠DOF，∠AOD﹣∠FOD求出∠AOF，角平分线，求出∠GOF，∠GOF+∠DOF即可得解；
（3）分OM平分∠DOG，OG平分∠DOM，OD平分∠GOM三种情况讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE，
∵∠BOE+∠AOE＝180°，∠DOE+∠COE＝180°，
∴∠BOE+∠COE＝180°，
∴∠BOE互补的角是：∠AOE和∠COE；
故答案为：∠AOE和∠COE；
（2）∵∠BOD＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝130°，
∵OE平分∠BOD，
∴，
∵∠EOF＝55°，
∴∠DOF＝∠EOF﹣∠ODE＝30°，
∴∠AOF＝∠AOD﹣∠FOD＝100°
∵OG平分∠AOF，
∴，
∴∠DOG＝∠GOF+∠DOF＝80°；
（3）①当OM平分∠DOG时，
∵∠DOG＝80°，
∴，即：30°+∠FOM＝40°，
∴∠FOM＝10°，
∴t＝10°÷10°＝1；
②OG平分∠DOM时，
则：∠GOM＝∠DOG＝80°，
∴∠FOM＝∠MOG+∠FOG＝80°+50°＝130°
∴t＝130°÷10°＝13；
③当OD平分∠GOM时：
则：∠DOM＝∠DOG＝80°，
∴∠FOM＝∠DOF+∠DOM＝110°，
∴点M旋转的角度为：360°﹣∠FOM＝250°，
∴t＝250°÷10°＝25；
综上：t的值为：1或13或25．
【点评】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角的和差关系，是解题的关键．
考点卡片
1．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
2．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
3．度分秒的换算
（1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
（2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
4．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
5．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
6．相交线
（1）相交线的定义
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．
（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
7．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
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