2023—2024学年下学期初中数学北师大新版七年级期中必刷常考题之完全平方公式

这是一份2023—2024学年下学期初中数学北师大新版七年级期中必刷常考题之完全平方公式，共19页。

A．6B．±6C．3D．±3
2．将一块边长为a米的正方形广场进行扩建，扩建后的正方形边长比原来长2米，则扩建后广场面积增大了（ ）
A．4平方米B．（a2+4）平方米
C．（2a+4）平方米D．（4a+4）平方米
3．在下面的正方形分割方案中，可以验证（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知9x2﹣kx+4是一个完全平方式，则常数k的值为（ ）
A．6B．±6C．12D．±12
5．已知a﹣b+2＝5，则代数式a2﹣b2﹣6b的值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
二．填空题（共5小题）
6．若x2﹣mx+25是完全平方式，则m＝ ．
7．如图，两个正方形边长分别为m，n，如果m+n＝mn＝5，则阴影部分的面积为 ．
8．若9x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值为 ．
9．若x2﹣（k﹣2）x+9是完全平方式，则k＝ ．
10．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图①，将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和12，则图②所示的大正方形的面积为 ．
三．解答题（共5小题）
11．如图，将边长为（a+b）的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：
（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．
方法1： ；
方法2： ；
（2）从中你得到什么等式？ ；
（3）运用你发现的结论，解决下列问题：
①已知x+y＝6，，求x2+y2的值；
②已知（2021﹣x）2+（x﹣2024）2＝49，求（2021﹣x）（x﹣2024）的值．
12．如图1，是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图）．
（1）自主探究：如果用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是 ；
（2）知识运用：运用你所得到的公式，计算：若2x﹣3y＝5，xy＝1，则（2x+3y）2＝ ；
（3）知识延伸：已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝10，求x﹣2022的值．
13．如图，两个正方形边长分别为a、b，则：
（1）用含a，b的式子表示阴影部分的面积；
（2）若a+b＝10，ab＝18，求阴影部分的面积．
14．（1）已知5x＝3，5y＝2，试求53x﹣4y的值；
（2）已知（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝4，求x2+3xy+y2的值．
15．【知识生成】通过第九章的学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题：
（1）写出图1中所表示的数学等式 ．
（2）如图2，是用4块完全相同的长方形拼成正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是 ．
（3）【知识应用】若x+y＝7，xy，求x﹣y的值；
（4）【灵活应用】图3中有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得到图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和11，则正方形A，B的面积之和 ．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版七年级期中必刷常考题之完全平方公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．若x2﹣mx+9是完全平方式，则m的值是（ ）
A．6B．±6C．3D．±3
【考点】完全平方式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】利用完全平方公式的结构特征确定出m的值即可．
【解答】解：∵x2﹣mx+9＝x2±2•x•3+32，是完全平方式，
∴m＝±6．
故选：B．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
2．将一块边长为a米的正方形广场进行扩建，扩建后的正方形边长比原来长2米，则扩建后广场面积增大了（ ）
A．4平方米B．（a2+4）平方米
C．（2a+4）平方米D．（4a+4）平方米
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】用扩大后的面积减去原来的面积，即可求出答案．
【解答】解：（a+2）2﹣a2＝a2+4a+4﹣a2＝4a+4，
故选：D．
【点评】本题考查了整式的混合运算，注意完全平方公式的使用．
3．在下面的正方形分割方案中，可以验证（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】数形结合；整式；推理能力．
【答案】D
【分析】根据图形进行列式表示图形的面积即可．
【解答】解：∵由选项A可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∴选项A不符合题意；
∵由选项B可得（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴选项B不符合题意；
∵由选项C可得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
∴选项C不符合题意；
∵由选项D可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了乘法公式几何意义的几何意义，关键是能根据图形准确列出整式．
4．已知9x2﹣kx+4是一个完全平方式，则常数k的值为（ ）
A．6B．±6C．12D．±12
【考点】完全平方式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【解答】解：∵9x2﹣kx+4是一个完全平方式，
∴﹣k＝±12，
解得：k＝±12，
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．已知a﹣b+2＝5，则代数式a2﹣b2﹣6b的值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【考点】完全平方公式．
【专题】常规题型．
【答案】C
【分析】直接把已知代入原式，进而求出答案．
【解答】解：∵a﹣b+2＝5，
∴a﹣b＝3，
∴a2﹣b2﹣6b
＝（a+b）（a﹣b）﹣6b
＝3（a+b）﹣6b
＝3a﹣3b
＝3（a﹣b）
＝3×3
＝9．
故选：C．
【点评】此题主要考查了代数式求值，正确把已知代入是解题关键．
二．填空题（共5小题）
6．若x2﹣mx+25是完全平方式，则m＝ ±10 ．
【考点】完全平方式．
【专题】计算题；整式．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【解答】解：∵x2﹣mx+25是完全平方式，
∴m＝±10，
故答案为：±10
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．如图，两个正方形边长分别为m，n，如果m+n＝mn＝5，则阴影部分的面积为 5 ．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】5．
【分析】先根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个空白三角形的面积，再利用完全平方公式的变形求解代数式的值即可．
【解答】解：∵两个正方形边长分别为m，n，
∴阴影部分的面积为：；
∵m+n＝mn＝5，
∴原式



＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查的是列代数式，整式的乘法运算，完全平方公式的变形，熟练的利用完全平方公式的变形求解代数式的值是解本题的关键．
8．若9x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值为 ±12 ．
【考点】完全平方式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】±12．
【分析】根据完全平方公式即可求得答案．
【解答】解：∵9x2+kx+4是一个完全平方式，
∴kx＝±（2×3x×2）＝±12x，
∴k＝±12，
故答案为：±12．
【点评】本题考查完全平方公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
9．若x2﹣（k﹣2）x+9是完全平方式，则k＝ 8或﹣4 ．
【考点】完全平方式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】8或﹣4．
【分析】根据题意可得：x2﹣（k﹣2）x+9＝（x±3）2，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：x2﹣（k﹣2）x+9＝（x±3）2，
∴x2﹣（k﹣2）x+9＝x2±6x+9，
∴﹣（k﹣2）＝±6，
k﹣2＝±6，
解得：k＝8或﹣4，
故答案为：8或﹣4．
【点评】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键．
10．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图①，将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和12，则图②所示的大正方形的面积为 25 ．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】数形结合；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】25．
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据题意可得a2﹣b2﹣2b（a﹣b）＝1，（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，然后进行化简计算即可解答．
【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图①得：a2﹣b2﹣2b（a﹣b）＝1，
∴a2﹣b2﹣2ab+2b2＝1，
∴a2﹣2ab+b2＝1，
由图②得：（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，
∴a2+2ab+b2﹣a2﹣b2＝12，
∴2ab＝12，
∴a2+b2＝13，
∴图②所示的大正方形的面积＝（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25，
故答案为：25．
【点评】本题考查了整式的混合运算，根据图形列出算式是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．如图，将边长为（a+b）的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：
（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．
方法1： a2+b2 ；
方法2： （a+b）2﹣2ab ；
（2）从中你得到什么等式？ a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ；
（3）运用你发现的结论，解决下列问题：
①已知x+y＝6，，求x2+y2的值；
②已知（2021﹣x）2+（x﹣2024）2＝49，求（2021﹣x）（x﹣2024）的值．
【考点】完全平方公式的几何背景；多项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）a2+b2；（a+b）2﹣2ab；（2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）①24；②﹣20．
【分析】（1）方法1可采用两个正方形的面积和，方法2可以用大正方形的面积减去两个长方形的面积；
（2）由（1）中两种方法表示的面积是相等的，从而得出结论；
（3）①由（2）的结论，代入计算即可；
②设a＝2021﹣x，b＝x﹣2024，则a2+b2＝49，a+b＝﹣3，求ab即可．
【解答】解：（1）方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即a2+b2，
方法2，从边长为（a+b）的大正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2；（a+b）2﹣2ab；
（2）在（1）两种方法表示面积相等可得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（3）①∵，
∴xy＝6，
又∵x+y＝6，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝62﹣2×6＝36﹣12＝24；
②设a＝2021﹣x，b＝x﹣2024，则a2+b2＝49，a+b＝﹣3，
∴原式＝﹣20，
答：（2021﹣x）（x﹣2024）的值为﹣20．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征，用不同方法表示同一部分的面积是得出关系式的关键．
12．如图1，是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图）．
（1）自主探究：如果用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是 （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ；
（2）知识运用：运用你所得到的公式，计算：若2x﹣3y＝5，xy＝1，则（2x+3y）2＝ 49 ；
（3）知识延伸：已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝10，求x﹣2022的值．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2）49；（3）±2．
【分析】（1）由阴影部分正方形的边长为b﹣a，可得其面积，结合阴影部分正方形的面积等于大正方形的面积减去四个长方形的面积，可得公式；
（2）由（2x+3y）2＝（2x﹣3y）2+4⋅2x⋅3y，再代入数值进行计算即可；
（3）设a＝x﹣2021，b＝x﹣2023，可得，再求解ab＝3，（a+b）2＝a2+2ab+b2＝16，从而可得答案．
【解答】解：（1）图2的阴影正方形面积可表示为：（b﹣a）2，即（a﹣b）2，
也可表示为：（a+b）2﹣4ab，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．
（2）∵2x﹣3y＝5，xy＝1，
∴（2x+3y）2＝（2x﹣3y）2+4⋅2x⋅3y
＝52+24×1
＝49
故答案为：49．
（3）设a＝x﹣2021，b＝x﹣2023，
∴，
∴a2﹣2ab+b2＝4，
∵（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝10，
∴a2+b2＝10，
∴10﹣2ab＝4，
∴ab＝3，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝16，
∴a+b＝±4，
∴．
【点评】本题考查的是完全平方公式的几何意义，利用完全平方公式及其变形求解代数式的值，利用完全平方公式的求解代数式的最小值，利用完全平方公式分解因式，灵活应用完全平方公式是解本题的关键．
13．如图，两个正方形边长分别为a、b，则：
（1）用含a，b的式子表示阴影部分的面积；
（2）若a+b＝10，ab＝18，求阴影部分的面积．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】（1）；
（2）23．
【分析】（1）用大正方形面积减去空白的两个三角形面积即可；
（2）利用a+b＝10，ab＝18代入求解即可．
【解答】解：（1）∵阴影面积＝大正方形﹣大三角形面积﹣小三角形面积，
∴
；
（2）




＝23．
【点评】此题考查了数形结合法解决问题的能力，解答本题的关键是能根据图形列出正确算式并计算．
14．（1）已知5x＝3，5y＝2，试求53x﹣4y的值；
（2）已知（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝4，求x2+3xy+y2的值．
【考点】完全平方公式；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）；
（2）14．
【分析】（1）由5x＝3，5y＝2可得53x＝27，54y＝16，根据同底数幂的书法计算即可；
（2））将（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝4展开后得x2+2xy+y2＝12，x2﹣2xy+y2＝4，则x2+y2＝8，3xy＝6，
代入即可．
【解答】解：（1）∵5x＝3，5y＝2，
∴（5x）3＝33＝27，（5y）4＝24＝16，
∴53x＝27，54y＝16，
∴53x﹣4y＝53x÷54y；
（2）∵（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝4，
∴x2+2xy+y2＝12①，x2﹣2xy+y2＝4②，
∴①+②得：2x2+2y2＝16，即x2+y2＝8，
①﹣②得：4xy＝8，即3xy＝6，
∴x2+3xy+y2＝8+6＝14．
【点评】本题考幂的乘方、积的乘方、完全平方式的应用，理解题意是解决问题的关键．
15．【知识生成】通过第九章的学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题：
（1）写出图1中所表示的数学等式 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ．
（2）如图2，是用4块完全相同的长方形拼成正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是 （a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab ．
（3）【知识应用】若x+y＝7，xy，求x﹣y的值；
（4）【灵活应用】图3中有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得到图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和11，则正方形A，B的面积之和 13 ．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】整式；应用意识．
【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
（3）x﹣y＝±6；
（4）13．
【分析】（1）根据大正方形面积＝两个边长分别为a、b的小正方形面积+2个长方形面积进行求解即可；
（2）根据空白部分的面积＝大正方形面积﹣4个长方形面积进行求解即可；
（3）设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图甲和图乙的阴影部分面积求出（a﹣b）2＝2，2ab＝11，据此求解即可．
【解答】解：（1）∵，，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）∵S＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，S＝4ab，
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
（3）∵x+y＝7，
∴（x+y）2＝49，
∴，
∴x﹣y＝±6；
（4）设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由题意得：（a﹣b）2＝2，（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab＝11，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝2+11＝13，
故答案为：13．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解题意熟知完全平方公式是解题的关键．
考点卡片
1．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
2．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
3．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
4．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
5．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
6．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
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