最新中考几何专项复习专题07 倍半角模型知识精讲

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高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。
策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊
总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。
策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。
几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。
倍半角模型知识精讲
一、二倍角模型处理方法
1.作二倍角的平分线，构成等腰三角形.
例：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，DB＝DC，即△DBC是等腰三角形.
2.延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.
例：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，延长CB到点D，使得BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.
例题：如图，在△ABC中，∠C＝2∠A，AC＝2BC，求证：∠B＝90º.
【解答】见解析
【证法一】如图1，作∠C的平分线CE交AB于点E，过点E作ED⊥AC于点D.
则∠ACE＝∠A，AE＝CE，
∵AE＝EC，ED⊥AC，∴CD＝AC，
又∵AC＝2BC，∴CD＝CB，∴△CDE≌△CBE，∴∠B＝∠CDE＝90º；
【证法二】如图2，延长AC到点D，使得CD＝CB，连接BD，取AC的中点E，连接BE.
由题意可得EC＝CD＝BC，∠DBE＝90º，
∵CD＝CB，∠D＝∠CBD，∴∠ACB＝2∠D，
∵∠ACB＝2∠A，∠A＝∠D，∴AB＝BD，
又∵AE＝DC，∴△ABE≌△DBC，∴∠ABE＝∠DBC，∴∠ABC＝∠EBD＝90º.
【证法三】如图3，作∠C的平分线CD，延长CB到点E，使得CE＝AC，∴AC＝BC＋BE.
∵AC＝2BC，∴BC＝BE，在△ACD与△ECD中，AC＝EC，∠ACD＝∠ECD，CD＝CD，
∴△ACD≌△ECD，∴∠A＝∠E，
又∵∠DCB＝∠DCA＝∠A，∴∠E＝∠DCB，∴DC＝DE，∴∠ABC＝90º.
二、倍半角综合
1.由“倍”造“半”
已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可.
如图，若，则()
2.由“半”造“倍”
已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可.
如图，在Rt△ABC(∠A＜45º)的直角边AC上取点D，当BD＝AD时，则∠BDC＝2∠A，设，则，在Rt△BCD中，由勾股定理可得，解得，故有.
三、一些特殊的角度
1.由特殊角30º求tan15º的值
如图，先构造一个含有30º角的直角三角形，设BC＝1，，AB＝2，再延长CA至D，使得AD＝AB＝2，连接BD，构造等腰△ABD，则∠D＝∠BAC＝15º，.
2.由特殊角45º求tan22.5º的值
由图可得，.
3.“345”三角形
(1)如图1，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，若，则；
(2)如图2，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，若，则；
(3)如图3，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，若，则.