专题03 平行模型（知识精讲）-冲刺中考数学几何专项复习

平行模型知识精讲

 在一些有平行线却没有截线的问题中，通常需要添加辅助线构造“三线八角”，再运用平行线的有关知识解题，常见的辅助线添加方式如下：

 如果遇到两条平行线之间夹折线，一般应过折点作出与已知平行线平行的直线.

1. 如图，已知AB∥CD，点E为AB、CD间的一点，过点E作EF∥AB，则∠A＋∠C＝∠AEC.

【证明】∵EF∥AB，AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠A＝∠1，∠C＝∠2，

又∵∠AEC＝∠1＋∠2，∴∠AEC＝∠A＋∠C.

除了上述证明方法之外，也可延长AE交CD于点H，由三角形外角和定理也可得到∠AEC＝∠A＋∠C.

2. 如图，已知AB∥CD，则∠A＋∠AEC＋∠C＝360°.

【证明】如图所示，过点E作EF∥AB，∵EF∥AB，AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，

∴∠A＋∠AEF＝180°，∠C＋∠CEF＝180°，∴∠A＋∠AEC＋∠C＝∠A＋∠AEF＋∠CEF＋∠C＝360°.

3. 如图，AB∥CD，则∠B＝∠D＋∠E.

【证明】∵AB∥CD，∴∠B＝∠CFE，

∵∠CFE是△FED的外角，∴∠CFE＝∠E＋∠D，∴∠B＝∠D＋∠E.

4. 如图，AB∥CD，则∠BEG＋∠D＋∠F＝180°.

【证明】∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠DGF，

又∵∠DGF＋∠D＋∠F＝180°，∴∠BEG＋∠D＋∠F＝180°.

5. 如图，AB∥CD，则∠ABE＝∠D＋∠E.

【证明】如图所示，延长EB交CD于点F，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CFE，

又∵∠CFE＝∠D＋∠E，∴∠ABE＝∠D＋∠E.

例1：如图，已知a∥b，∠1＝∠2，请判断c和d的位置关系，并说明理由．

【解答】c∥d

【解析】延长c与b相交，

∵a∥b，

∴∠3＝∠1，

∵∠4＝∠3，∠1＝∠2，

∴∠2＝∠4，

∴c∥d．

例2：如图，AB∥CD，AB∥GE，∠B＝110°，∠C＝100°．∠BFC等于多少度？为什么？

【解答】30°

【解析】∠BFC等于30度，理由如下：

∵AB∥GE，

∴∠B+∠BFG＝180°，

∵∠B＝110°，

∴∠BFG＝180°﹣110°＝70°，

∵AB∥CD，AB∥GE，

∴CD∥GE，

∴∠C+∠CFE＝180°，

∵∠C＝100°．

∴∠CFE＝180°﹣100°＝80°，

∴∠BFC＝180°﹣∠BFG﹣∠CFE＝180°﹣70°﹣80°＝30°．

例3：如图，AB∥CD，∠AFE＝140°，∠C＝30°，求∠CEF的度数．

【解答】∠CEF＝70°．

【解析】延长FE交CD于G点，

∵AB∥CD，∠AFE＝140°，

∴∠AFE+∠CGF＝180°，

∴∠CGF＝40°，

∵∠CEF＝∠C+∠CGE，∠C＝30°，∠CGE＝∠CGF＝40°，

∴∠CEF＝70°．

例4：实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图有两块互相垂直的平面镜MN、NP．一束光线AB射在其中一块MN上，经另外一块NP反射．两束光线会平行吗？若不平行，请说明理由，若平行，请给予证明．

【解答】AB∥CD．理由见解析

【解析】AB∥CD．

理由如下：作BE⊥NB，CF⊥NC，如图，

∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，BE∥NC，

∴∠2＝∠NCB，

∴∠2+∠3＝∠1+∠4＝90°，

∴∠ABC+∠BCD＝180°，

∴AB∥CD．