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    专题04 半角模型与倍角模型-2022年中考数学几何模型专项复习与训练

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    专题04 半角模型与倍角模型-2022年中考数学几何模型专项复习与训练

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    这是一份专题04 半角模型与倍角模型-2022年中考数学几何模型专项复习与训练,文件包含专题04半角模型与倍角模型讲+练解析版-2022年中考数学几何模型专项复习与训练docx、专题04半角模型与倍角模型讲+练原卷版-2022年中考数学几何模型专项复习与训练docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共26页, 欢迎下载使用。


    如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF=45°,连接EF,过点A作AG⊥于EF于点G,则:EF=BE+DF,AG=AD.

    例.如图,正方形ABCD的边长为4,点E,F分别在AB,AD上,若CE=5,且∠ECF=45°,则CF的长为 4 .
    【变式训练1】已知四边形ABCD是正方形,一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合,将此三角板绕A点旋转时,两边分别交直线BC,CD于M,N.
    (1)如图1,当M,N分别在边BC,CD上时,求证:BM+DN=MN
    (2)如图2,当M,N分别在边BC,CD的延长线上时,请直接写出线段BM,DN,MN之间的数量关系
    (3)如图3,直线AN与BC交于P点,MN=10,CN=6,MC=8,求CP的长.
    【变式训练2】如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=CD,∠ABC=∠ADC=90°,∠MAN=∠BAD.
    (1)如图1,将∠MAN绕着A点旋转,它的两边分别交边BC、CD于M、N,试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不用证明;
    (2)如图2,将∠MAN绕着A点旋转,它的两边分别交边BC、CD的延长线于M、N,试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?并证明你的结论;
    (3)如图3,将∠MAN绕着A点旋转,它的两边分别交边BC、CD的反向延长线于M、N,试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不用证明.
    模型二、 等腰直角三角形角含半角模型
    如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D,E在BC上,且∠DAE=45°,则:BD2+CE2=DE2.

    例.如图,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D,E是BC边上的点,将△ABD绕点A旋转,得到△ACD',当∠DAE=45°时,求证:DE=D'E;在(1)的条件下,猜想:BD2,DE2,CE2有怎样的数量关系?请写出,并说明理由.
    【变式训练1】在等腰Rt△ABC中,CA=CB,∠ACB=90º,O为AB的中点,∠EOF=45º,交CA于F,交BC的延长线于E.
    (1)求证:EF=CE+AF;
    (2)如图2,当E在BC上,F在CA的反向延长线上时,探究线段AF、CE、EF之间的数量关系,并证明.
    【变式训练2】如图所示,等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,E、F为AB上两点(E左F右),且∠ECF=45°,求证:.
    【变式训练3】如图,△ABC是边长为3的等边三角形,△BDC是等腰三角形,∠BDC=120º,以D为顶点作一个60º的角,使其两边分别交AB于M,交AC于N,连接MN,则△AMN的周长是多少?
    模型三、 二倍角模型
    (1)作二倍角的平分线,构成等腰三角形.
    (2)延长二倍角的一边,使其等于二倍角的另一边,构成两个等腰三角形.
    例.已知,求及的值(利用倍半角模型解题).
    【变式训练1】如图,在正方形ABCD中,E为AD边上的中点,过点A作AF⊥BE交CD边于点F,M是AD边上一点,且BM=DM+CD.
    (1)求证:点F是CD边上的中点;
    (2)求证:∠MBC=2∠ABE.
    【变式训练2】如图,在△ABC中,∠BAC=90º,AB=3,AC=4,点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED,连接CE,求线段CE的长.
    课后训练
    1.如图,在△ABC中,∠ACB=90º,D是AB边上的一点,M是CD的中点,若∠AMD=∠BMD.求证:∠CDA=2∠ACD.
    2.在△ABC中,∠C=90º,AC=8,AB=10,点P在AC上,AP=2,若的圆心在线段BP上,且与AB、AC都相切,试求的半径.
    3.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180º,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD,求证:EF=BE+FD.
    4.已知,在正方形ABCD中,∠MAN=45º,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),易证BM+DN=MN.
    (1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时 (如图2),线段BM、DN、和MN之间有怎样的数量关系?猜想一下,并加以证明;
    (2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.
    5.如图,在平面直角坐标系中,且.
    (1)求证:△ABC是等边三角形;
    (2)如图2,A、B两点在轴上、轴上的位置不变,在线段AB上有两动点M、N,满足∠MON=45º,试猜想线段BM、AN、MN之间的数量关系,并证明你的结论.
    6.已知正方形,,绕点A顺时针旋转,它的两边分别交、于点M、N,于点H.
    (1)如图①,当时,可以通过证明,得到与的数量关系,这个数量关系是___________;
    (2)如图②,当时,(1)中发现的与的数量关系还成立吗?说明理由;
    (3)如图③,已知中,,于点H,,,求的长.

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