高考第一轮文科数学（人教A版）课时规范练26　平面向量的数量积及其应用

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1.(2022全国乙,理3)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,则a·b=( )
A.-2B.-1C.1D.2
2.设平面向量a=(1,0),θ为a,b间夹角,若a·b=2,cs θ=13,则|b|=( )
A.2B.3
C.9D.6
3.已知a,b为单位向量,且满足|a-b|=2,则|2a+b|=( )
A.3B.7
C.5D.22
4.已知向量a=(-1,2),b=(3,2),设θ为a+b,a-b间夹角,则cs θ为( )
A.1010B.-55C.22D.-22
5.已知a与b满足|a|=1,|b|=2,|a-2b|=13,则a与b的夹角为( )
A.120°B.90°C.60°D.30°
6.(2022河南焦作二模)在边长为2的正六边形ABCDEF中,AC·BF=( )
A.-6B.-23C.23D.6
7.若向量a,b满足|a|=2,(a+2b)·a=6,则b在a方向上的投影为( )
A.1B.-1C.-12D.12
8.已知单位向量a,b,c,满足a+b+c=0,则a与b的夹角为( )
A.π6B.π3C.2π3D.5π6
9.若向量m=(0,-2),n=(3,1),写出一个与2m+n垂直的非零向量 .
10.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,BC=4,O为BC的中点,以O为圆心,1为半径的半圆与线段OC交于点D,P为半圆上任意一点,则BP·AD的最小值为 .
11.已知向量a,b满足:|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则a与b的夹角为 ;|2a-b|= .
综合提升组
12.(2022河南郑州二模)在△ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=60°,M是线段AC上任意一点,则MB·MC的最小值是( )
A.-12B.-1
C.-2D.-4
13.在△ABC中,已知AB=AC,D为BC边中点,点O在直线AD上,且BC·BO=3,则BC边的长度为( )
A.6B.23
C.26D.6
14.点A,B,C在圆O上,若|AB|=2,∠ACB=30°,则OC·AB的最大值为( )
A.3B.23
C.4D.6
15.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OP·FP的最大值为 .
创新应用组
16.(2022山东济宁一模)等边三角形ABC的外接圆的半径为2,点P是该圆上的动点,则PA·PB+PB·PC的最大值为( )
A.4B.7
C.8D.11
参考答案
课时规范练26 平面向量
的数量积及其应用
1.C 由已知得|a-2b|2=|a|2+4|b|2-4a·b=1+12-4a·b=9,解得a·b=1.
2.D cs θ=a·b|a||b|=13⇒21·|b|=13⇒|b|=6.
3.C a,b为单位向量,且满足|a-b|=2,所以a2-2a·b+b2=2,解得a·b=0,所以|2a+b|=4a2+4a·b+b2=5.
4.B 因为a=(-1,2),b=(3,2),所以a+b=(2,4),a-b=(-4,0).所以cs θ=(a+b)·(a-b)|a+b||a-b|=-825×4=-55.
5.C 由|a-2b|=13,等式左右平方得,(a-2b)2=a2-4a·b+4b2=1-4a·b+4×4=13,设θ为a,b间夹角,所以a·b=1,即1×2×cs θ=1,cs θ=12,θ=60°.
6.A 建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),C(3,3),F(-1,3),所以BF=(-3,3),AC·BF=(3,3)·(-3,3)=-9+3=-6.
7.D 设θ为a,b间夹角,由已知条件可得(a+2b)·a=a2+2a·b=4+2a·b=6,∴a·b=|a|·|b|cs θ=1,因此,b在a方向上的投影为|b|cs θ=12.
8.C 设θ为a,b间夹角,由a+b+c=0,得a+b=-c,所以|a+b|=|-c|,即|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=1,所以a·b=-12,由a·b=|a||b|·cs θ=-12,得θ=2π3.
9.(3,1)(答案不唯一) 因为m=(0,-2),n=(3,1),
所以2m+n=2(0,-2)+(3,1)=(3,-3),
设a=(x,y),x·y≠0,因为a与2m+n垂直,所以a·(2m+n)=0,即3x-3y=0,
令x=3,则y=1,所以a=(3,1).
10.2-5 建立如图所示的平面直角坐标系,则B(-2,0),A(0,2),D(1,0),设P(x,y),故BP=(x+2,y),AD=(1,-2),所以BP·AD=x-2y+2.令x-2y+2=t,根据直线的几何意义可知,当直线x-2y+2=t与半圆相切时,t取得最小值,由点到直线的距离公式可得|2-t|5=1,t=2-5,即BP·AD的最小值是2-5.
11.π3 27 设θ为a,b间夹角,由题意,向量a,b满足|a|=1,|b|=6,
因为a·(b-a)=a·b-a2=a·b-1=2,可得a·b=3,则cs θ=a·b|a||b|=31×6=12,因为θ∈[0,π],所以θ=π3,即a与b的夹角为π3,又由|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=4×12-4×3+62=28,所以|2a-b|=27.
12.B 设MC=λAC(λ∈[0,1]),MB=MA+AB=-(1-λ)AC+AB,MB·MC=[-(1-λ)AC+AB]·(λAC)=-λ(1-λ)AC2+λAB·AC=-9λ(1-λ)+λ×2×3×cs 60°=3λ(3λ-2),当λ=13时,MB·MC=3λ(3λ-2)取最小值-1.故选B.
13.A 在△ABC中,AB=AC,D为BC边中点,∴AD⊥BC,在Rt△BDO中有BD=BO·cs∠OBD,且BD=BC2,∵BC,BO的夹角为∠OBD,即BC·BO=|BC|·|BO|·cs∠OBD=3,∴|BC|22=3,可得|BC|=6,所以BC边的长度为6.
14.C 点A,B,C在圆O上,|AB|=2,∠ACB=30°,设三角形的外接圆的半径为R,可得2R=2sin30°=4,所以R=2,如图,因为|AB|=2,|OC|=R=2,所以当OC与AB共线同向时,向量的数量积取得最大值4.故选C.
15.6 由题意,得F(-1,0),设P(x0,y0),则有x024+y023=1,解得y02=31-x024,
因为FP=(x0+1,y0),OP=(x0,y0),所以OP·FP=x0(x0+1)+y02=x02+x0+31-x024=x024+x0+3=14(x0+2)2+2,因为-2≤x0≤2,故当x0=2时,OP·FP取得最大值6.
16.C 如图所示,以直线BC为x轴,线段BC的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系.设三角形ABC的边长为a,则asinA=2×2=4,所以a=23,A(0,3),B(-3,0),C(3,0).三角形ABC的外接圆的方程为x2+(y-1)2=4,则点P的坐标为(2cs θ,1+2sin θ),PA·PB+PB·PC=PB(PA+PC)=4+23cs θ+2sin θ=4+4csθ-π6≤8,故选C.